word完整版)7年级培优：角与动角

1、BC三角板有两种：一种为等腰直角三角形（如图60o角的直角三角形（如图1中的 DBE ），这是此类问题的隐含条件。DBA= / DBC- / ABC ;MBN= / MBA+ / ABE+ / EBN，/ MBA= / DBA/2，/ EBN= / EBC/2 ,5图1【提示】30o角和(1) Z(2) Z7年级培优：角与动角【例1】一副三角板 ABC、DEB，如图（1）放置，（/ D=30、/ BAC=45 ）（1 ）求/ DBA的度数.（2 ）若三角板 DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分/ DBA、/ EBC，则/ MBN 如何变化？（3）若三角板 BDE绕B

2、点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？BC图31中的 ABC ），一种为含/ MBN= (/ DBA + / EBC+2 / ABE ) /2=(/ DBA + / ABE ) /2+ (/ EBC+ / ABE ) /2 =/ DBE/2+ / ABC/2 =30o+22.5o=52.5o;(3)vZ MBN= / MBE+ / ABE+ / ABN , / MBE= / MBA- / ABE ,/ ABN= / EBN- / ABE ,/ MBN= / MBA + / EBN- / ABE =(2 / MBA +2 / EBN-2 / ABE ) /2=(2 /

3、 MBA- / ABE ) /2+ ( 2 / EBN- / ABE ) /2=(/ DBA- / ABE ) /2+ (/ EBC- / ABE ) /2=/ DBE/2+ / ABC/2=30o+22.5o=52.5o;【注】求一个角度通常用其他角的和或差来表示，通过等量变换，用已知角度来表 示。【例2】已知线段 AB=30cm.（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点 Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2） 如图1，几秒后，点P、Q两点相距 10cm ?（3）如图 2, AO=4cm , PO=2cm，当点 P在 AB的上

4、方，且/ POB=60 时，点 P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B【提示】（1）动点相遇问题，可用相遇公式”（详见7年级培优：数轴上的动点 ）来解决；（2） PQ=10cm，点P和Q的位置有两种可能：P左Q右；P右Q左。所以可用 讨论法分两种情况来解决；也可以建立数轴模型来解决，只需列出绝对值方程并解出方程，无需讨论。【解析】以点 A为原点，射线 AB为正方向建立数轴（如图 1-1 ）。,030mi设t秒后点P、Q两点相距10cm，则A表示的数为 0, B表示的数为 30 , P表示的数 为2t, Q表示的数为 30-3t，根据题意：I 2t- （

5、30-2t ）| =10，化简得：I 4t-30 | =10 , 4t-30= 10，解得：t=10，或 t=5。当t=5时，PQ=10，且 P在Q的左边；当 t=10时，PQ=10，且P在 Q的右边。（3）当P、Q相遇时，必定在圆 O和线段 AB的交点 M、N处（图2-1 ）。P当P、Q在点M处相遇时：点P转过的角度为： 360-60=300（度），所以点P转到点 M所用的时间为： 300-30=10 （秒）；因为 BM=30-2-4=24 ，故Q的速度为：24 +10=2.4 （ cm/s）；当P、Q在点N处相遇时：点P转过的角度为： 180-60=120 （度），所以点P转到点 M所用的

6、时间为:120 +30=4 （秒）；因为BN=30-2=28，故Q的速度为：28 詔=7 ( cm/s )。综上所述，若点P、Q两点能相遇，则点Q的运动速度为 2.4cm/s或7cm/s.【例3】如图3-1，点0为直线 AB上一点，过 0点作射线 0C,使得/ AOC :/ B0C=1 : 2,将一直角三角板的直角顶点放在点0处，一边 0M 在射线0B上，另一边 0N在直线 AB的下方。(1) 求/ C0N的角度；(2) 将图3-1中的三角板绕点0按逆时针方向旋转至图3-2的位置，使得 0N落在射线0B上，此时三角板转过的角度是多少？(3) 继续将图 3-2中的三角板绕点0按逆时针方向旋转至图

7、3-3的位置，使得 0N在/ A0C的内部，试求/ A0M 与/ N0C的数量关系；(4) 在上述三角板从图3-1旋转到3-3的位置的过程中，若三角板绕点0按150每秒的速度旋转，当三角板的直角边0N所在直线恰好平分/A0C时，求三角板绕点0转过的时间t的值。【解析】（1 ）/ A0C :/ B0C=1 : 2，/ A0C+ / B0C=180o ,二/ A0C=60o ;/ MON=90o ,/ AON=90o ,/ CON= / AOC+ / AON=60o +90o=150o;N转过的角度为(2)在旋转过程中，三角板上任意一点转过的角度都相等，根据点90o,所以三角板转过的角度是90o；

8、（3）v / AOM= / NOM- / AON/ NOC= / AOC - / AON等式-等式：/ AOM - / NOC= / NOM- / AOC=90o -60o=30o,/ AOM= / NOC+30o ;（4） 当射线 ON的反向延长线平分/AOC时，点N转到点N处（如图3-4）/ N OM=Z AOC/2=30o ,/ NON =60o ;三角板绕点 0按15o每秒的速度旋转，三角板转过的时间t为：600150=4 （秒）；【知识点】与角度有关的(1) 直线、线段中的平角(2) 直线、线段中的周角(3) 三角板的三个角度：E均为格点”(每个小正方形的顶点)，（如图4-1 ）,6

9、00；当射线 ON平分/ AOC时，点N转到点 N处(如图3-5).此时，点 N 转过的角度为/NOM+ / MOC+ / CON =90o+120o+30o=240q三角板转过的时间t为：240o+15o=16 (秒).综上所述，当三角板的直角边ON所在直线恰好平分/AOC时，三角板绕点 O转过的时间t的值为4秒或16秒。【例4】在4X4的网格上，点 A、B、C、D、 则/ ABC+ / CDE为多少？【解题思路】找到与相关角度相等的角度，将他们 察。【解析】取 DE的中点 M，连接BM、AM 则/ CBM= / BMD= / EAM= / CDE ,/ EAM+ / EMA=90o ,/ EMA+ / BMD=90o ,/ AMB=90o ;/ ABC+ / CDE= / ABC+ / CBM= / ABM 又 AM=BM , ABM为等腰直角三角形， ABM=45o ,/ ABC+