18 19第1章12第1课时余弦定理1

1、1.2余弦定理第1课时余弦定理（1）学习目标：1.掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法.（重点）2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.（难点）自主预习探新知1. 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 a2= b2+ c2 2bccos A,b2= c2+ a2 2cacos B,2 2 2c = a + b 2abcos C.思考1:根据勾股定理，若 ABC中，/ C= 90贝U c2 = a2 +a2 + b22abcos C.试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？提示当 a= b = c 时，/ C = 602 ,

2、 2 2 2 2a + b 2abcos C = c + c 2c ccos 60 = c ,即式仍成立，据此猜想，对一般 ABC，都有c2 = a2 + b2 2abcos C.思考2：在c2 = a2 + b2 2abcos C 中, abcos C能解释为哪两个向量的数量积？ 你能由此证明思考1的猜想吗？提示abcos C= |CB| |CA|cos = CB CA.2 2a + b 2abcos C=C1B2+ CA2 2CB Ca=(CB CA)2= AB2 = c2.猜想得证.2. 余弦定理的变形(1)余弦定理的变形b 9即 b2 尹9= 0，解得b=6.答案6 + c2 a2co

3、s A2bc ，a2 + c2 b2 cos B=2ca ，a2+ b2 c2cos C= 2ab(2)余弦定理与勾股定理的关系在厶ABC 中，c2= a2+ b2? C 为直角;c2a2+ b2? C 为钝角;c2a2+ b2? C 为锐角.思考3:勾股定理和余弦定理有何联系与区别?提示二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任 一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关 系，是余弦定理的特例.基础自测1.在 ABC 中，若 b= 1,A= n，贝y a =.解析a ;b2+ c2 2bccos A= 1.答案192 .在 ABC 中，若 a= 5，

4、 c= 4， cos A= 16，贝b=.解析由余弦定理可知225= b + 16 2X 4bcos A，3. 在 ABC 中，a = 3, b=逗,c= 2,贝U B=.2 2 2a + c b 9 + 4 7 i解析cosB= 2ac = i2 = 2,:.B = 60答案604. 在厶ABC中，若b已知两边及一角解三角形在厶ABC中，已知a=(3, b=迈，B = 45解此三角形.思路探究法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边.解法一：由余弦定理知 2 2b = a + c 2accos B, 2 = 3+ c2 2,3疑，即c2 6c+ 1 =

5、0,解得c=宁或c=宁. + c2 a20,则厶ABC必为 角形.【导学号:57452019】,2 2 2b + c a解析T cos A=0, A (90 180). ABC 必为钝角三角形.答案钝角合作探究攻重难卜例J回购码上右一扫S1|第15页c=+ 时,由余弦定理得b2+ c2 a2 2 +cos A=2bc2X ,2X ；6+ ；2v 0A180,3_ 1=2. A= 60, / C = 75.6 2当c=时，由余弦定理得cos A=v 0OAb,二 AB,二 A= 60或 120.当 A= 60时，得 C = 75.由余弦定理得c2= a2 + b2 2abcos C=3+ 2 2

6、X 6 X-6 = 2+ 3,- 6+ ；2c或用正弦定理求边c,由-nC =盂B得sin c sin bbsin Cc= sin B sin 454_22.6+ 22当A= 120时，得C= 15同理可求c=,故 A= 60C= 75,c=-6+ 22J6 2或 A= 120, C= 15, c=2.规律方法已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关 系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻 烦.(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理 求出另外两角.提醒：解三角形时

7、，若已知两边和一边的对角时，即可以用正弦定理，也可 以用余弦定理一般地，若只求角，用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方 便.跟踪训练1. 在 ABC中，若b= 3，c= 3也，B = 30解此三角形.【导学号:57452019】2 2 2解 法一：由余弦定理b= a + c 2accosB，得 32 = a2 + (3 ,3)2 2aX 3,3X cos 30，2a 9a + 18 = 0，得 a = 3 或 a = 6.当 a= 3 时，A= 30， C= 120;当a= 6时，由正弦定理得sin A=as in Bb16X 23解. A= 90C = 60法二 由 bcsin 30 丄

8、3a/3x 2=知本题有两解.由正弦定理得sin C=晋=学搔 C = 60 或 120.当 C= 60时，A= 90由勾股定理 a=，b + c = 3 + 3、3 = 6;当C= 120时，A= 30 ABC为等腰三角形,.a= 3.综上所述，当 a = 3 时，A= 30 C= 120 当 a= 6 时，A= 90 C= 60.娄型目已知三边或三边关系解三角形卜例已知 ABC中，a : b : c= 2： .6： （ ；3+ 1）,求三角形的各角大小【导学号:57452019】思路探究 设 a=2k，b= , 6k，c= ( .3+ 1)k，代入 cos A，cos B，cos C 求解

9、 设 a = 2k, b= 6k，c= ( .3+ 1)k(k0)，由余弦定理得.A=45.b2+ c2_a2 6k2+(V3+ 1fk2-4k2 壘cos 心2bc二 2.6 .3+ 1k2二兀，1同理可得cos B= 2，B= 60C= 180 A B= 75规律方法1 已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.2若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边解三角形.跟踪训练2. 已知 ABC的三边长为a= 3，b = 4，c= 37,求厶ABC的最大内角.解I ca，cb，角

10、 C 最大.由余弦定理，得 c用余弦定理判定三角形的形状探究问题1. 若厶ABC是锐角三角形，则其边长a，b，c满足什么条件？提示若厶ABC是锐角三角形，贝Ufc2,22cos A0，a + b c，cos B0，即 b2 + c2a2， 2 2cos C0，a + c b .2. 若a2+ b2c2，则 ABC是什么三角形.反之呢？提示若a2 + b2c2，则厶ABC是钝角三角形，反之不成立. = a2 + b2 2abcos C，刚.1即 37= 9+ 16 24cos C， - - cos C Q.v 0C0,a+ a+ 1 a+ 2,故222a + a+ 1 a+ 20,即 a1,解得

11、 1a3.2a2 2a 30, a+ a+ 1 a+ 2,a2 + a+ 1 2 a+ 2 20,2a a+ 1a0,即 a1,2a 2a 30,解得a3.规律方法用余弦定理判断三角形的形状1. 在 ABC 中，若 a2b2+ c2,则 0A90 反之，若 0A90 则 a2b + c,则 90A180;反之，若 90Ab + c .提醒：判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍.注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解.当堂达标固双基1. 在 ABC 中，AB = 5，AC= 3，BC= 7,则/ BAC =解析由余弦定理得cos / BAC =2 2 2AB + AC - BC2AB A

12、C25+ 9 492X 5X 31 2 .：0Z BAC n, ./ BAC = 3 n. 2答案孑冗2. 在 ABC 中，已知 a= 1, b= 2, C = 60 贝U c=2解析 c= 1+ 4 2X 1 X 2cos 60 3,二 c= 3.答案32 2 23. 在 ABC中，a, b, c分别是角A, B, C的对边，若b = ac,且a c =ac bc,则角 A的大小为.解析T b2= ac,且 a2 c2= ac be. b2 + c2 a2= be.在厶ABC中，由余弦定理得：,2 2 2b + c a bc 1cos A= 2bc二看2，又 0A180 A= 60答案6014. 在 ABC 中，若 a= 2, b+ c= 7, cos B= 4,贝U b =.解析因为b+ c= 7,所以c= 7 b.由余弦定理得b a + c 2accos B，即 b 4 + (7 b) 2 x 2 x (7 b)x 4，解得b4.答案45. 设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知b2 + c2 a2+ , 3bc,求：(1) A的大小；(2) 2sin Bc