443第2课时圆椭圆的参数方程的应用

1、第2课时圆、椭圆的参数方程的应用i 能用曲线的参数方程去研究曲线的性质.2会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.基础初探1. 圆的参数方程x= a+ rcos a圆的参数方程的常见形式为彳（a为参数）.其中，参数a的y= b+ rsi n a几何意义是以圆心A（a, b）为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆 上一点P所在半径成的角.2. 椭圆的参数方程x= acos 0,椭圆的参数方程的常见形式为（0为参数）.y= bsin 0思考探究1. 椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？2 2【提示】 椭圆+治=i（ab0）和圆x 2椭圆字+ y2= 1可以变成圆x，2+ 丫

2、2= 1.利用圆x 2 + y 2= 1的参数方程2 2（是参数）可以得到椭圆a2 + b2 = 1的参数方程d=:-_:|2cos 0+ 3sin ( 7| + y2 = r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同.2. 椭圆的参数方程中参数 的几何意义是什么?【提示】从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令ax，1by，第3页X = cos 札 y = sin x= acos-（是参数）因此，参数的几何意义应是椭圆上任意一点M所y= bsin 对应的圆的半径0A（或0B）的旋转角（称为离心角），而不是0M的旋转角，如图.质疑手记预习完成后，请将你的

3、疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: 解惑：疑问2: 解惑：疑问3: 解惑：疑问4： 解惑：圆的参数方程的应用在圆x2 + 2x+ y2 = 0上求一点，使它到直线 2x+ 3y 5= 0的距离 最大.【自主解答】圆的方程x2 + 2x+ y2= 0可化为（x+ 1）2 + y2 = 1，所以设圆的x= 1 + cos 0,参数方程为y= sin 0设P( 1 + cos 0, sin 0,则点P到直线2x+ 3y 5= 0的距离为=| 13sin7|(其中 sin a=耆；13|2 1 + cos 0 + 3sin 0 5|COS a=3j1313)当 sin( 0+ a = 一 1

4、,3n0+ a= 2,3 n即0=2 a时，d取到最大值13+ 7,1313,此匕时x=1 + cos A 1 2,1313，y= sin 0= 3 1313，即点p(12133,翠弓即为所求.再练一题1.已知点P(x, y)在圆X2 + y2A 1上，求X2 + 2xy+ 3y2的最大值和最小值.22lx=cos a【解】 圆x + y = 1的参数方程为j( a为参数).y= sin a2 2 2 . . 2.x + 2xy+ 3y = cos a+ 2cos osin a+ 3sin a1 + cos 2a1 cos 2a冗=2+ sin 2 a+ 3 x=2+ sin 2 a cos

5、2a= 2+ 2si n(2则当 a kn+)时，x2 + 2xy+ 3y2取最大值为2+ 2,当 a kn 8(kZ)时，x2 + 2xy+ 3y2 取最小值为 2 2.适椭圆参数方程的应用已知实数x, y满足3x2 + 2y2= 6x,求：(1) x+ y的最大值；(2) x2 + y2的取值范围.【导学号：98990035】【思路探究】本题表面上看是代数题，但由于方程3x2 + 2y2 = 6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解.x= 1 + cos 0,1.设sin 0.=1 +(1)x+ y= 1 + cos 0+；sin 0；sin（ 0+ a（其中 tan 尸中,旳0,

6、2n.)2【自主解答】方程3x2 + 2y2 = 6x,即(x- 1)2 +卷=2所以x+ y的最大值为1 +弓0(2)x2 + y2 = (1 + cos 02+ ( ： ；sin 0)2*cos 0- 2)2+ 2,=1 + 2cos 0+ cos2 0+ 3sin2 A |-goW 0+ 2cos 0=因为 cos 旳一1,1，所以 0WX2 + y2b0）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴）中,直线I与圆O的极坐标方程分别为 pin：0+ nn=22m（m 为非零常数）与 p= b.若直线I经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的

7、 离心率为.2 2【解析】由已知可得椭圆标准方程为 拿+浮=1（ab0）.由pin 0+ 4 = 2m可得 pin 0+ pos 0= m,即直线的普通方程为 x+ y=m.又圆的普通方程为x2+ y2= b2,不妨设直线I经过椭圆C的右焦点（c,0）,则得c= m.又因为直线I与圆O相切，所以黑=b,因此c=2b,即c2= 2（a2-c2）.整第4页理,得 a2- 3故椭圆C的离心率为e-【答案】-3真题链接赏析2 2f 岳(教材第47页例1)如图445，已知M是椭圆鈴b2- 1(a b 0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0, b)是椭圆的两个顶点，0为原点，求四边形MAOB的面积的最

8、大值.图 4-4-5x- 1+*在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为x cos 0,(t为参数)，椭圆C的参数方程为 c .(0为参数).设直线I与椭圆C相比2si n 0 交于A，B两点，求线段AB的长.【命题意图】 知识：考查直线与椭圆的参数方程、 参数方程与普通方程的 互化以及直线与椭圆的位置关系等. 能力：通过参数方程与普通方程的互化及求 线段AB长的过程，考查了运算求解能力.21+|t，【解】 椭圆C的普通方程为X2 +诗-1.X 将直线I的参数方程y-即 7t2 + 16t-0，解得t116 16-0，t2- 所以 AB- |t1 12|-.1.已知圆的方程为x2 + y2-4x，则它的参数