第二章2.2.2第2课时直线与椭圆的位置关系(一)-人教B帮高中数学选修2-1学案

1、第 2 课时直线与椭圆的位置关系(一 )学习目标进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系知识点一点与椭圆的位置关系点 p( x0， y0)与椭圆 a2 b2 1(ab0) 的位置关系：x2y2点 p 在椭圆上 ?2x20y20ab2 1；22点 p 在椭圆内部? x0y0a2 b21.0y20知识点二直线与椭圆的位置关系直线 y kx m 与椭圆 x2 y21(ab0) 的位置关系的判断方法：联立22y kxm，ab2xa2 b2 1.2y消去 y 得到一个关于x 的一元二次方程直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及的取值的关系如表所示.位置关系解的个

2、数的取值相交两解0相切一解 0相离无解b0) 与点 p(b,0) ，过点 p 可作出该椭圆的一条切线()x2y22直线 y k(x a)与椭圆 a2 b2 1 的位置关系是相交()题型一点与椭圆位置关系的判断x2y2例 1已知点 p(k,1)，椭圆考点9 4 1，点 p 在椭圆外，则实数k 的取值范围为 题点答案， 332k2 33，21解析依题意得，9 41，解得 k3322.引申探究若将本例中p 点坐标改为 “ p(1， k) ”呢？解依题意得，1k29 41，解得 k232，9即 k4233.反思感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的

3、准确性跟踪训练1已知点 (1,2)在椭圆y2x2n m1( nm0)上，则 m n 的最小值为 考点题点答案9解析依题意得，1 4 1，mn而 m n( m n) 1 4mn 14mn4n m 54m nnm 5 24m n 9，n m当且仅当n 2m 时等号成立，故m n 的最小值为9.题型二直线与椭圆的位置关系命题角度1由直线与椭圆的位置关系求参数问题x2y2例 2已知直线l： y 2x m，椭圆 c： 4 2 1.试问当 m 取何值时，直线l 与椭圆 c：(1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解直线

4、 l 的方程与椭圆c 的方程联立，得方程组y 2x m，x2y24 2 1，将 代入 ，整理得9x2 8mx 2m2 4 0， 这个关于x 的一元二次方程的判别式 (8m)2 49 (2m2 4) 8m2144. (1)由 0 ，得 32m32.于是，当 32 m32时，方程 有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l 与椭圆 c 有两个不同的公共点(2)由 0，得 m 32.也就是当m 32时，方程 有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 c 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆 c 有且只有一个公共点(3)由 0 ，得 m32.从而当m

5、32时，方程 没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆 c 没有公共点反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用x2跟踪训练2在平面直角坐标系xoy 中，经过点 (0，2)且斜率为k 的直线 l 与椭圆y212有两个不同的交点p 和 q，求 k 的取值范围 考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由已知条件知直线l 的方程为y kx2，x2代入椭圆方程得( kx2) 2 1，2x整理得1 k22 22kx 1 0， 2212222直线 l 与椭圆有两个不

6、同的交点p 和 q 等价于 8k 4 k或 k2，22 4k 20，解得 k 2所以 k 的取值范围为 ，222 ， .命题角度2可化为直线与椭圆位置关系问题2例 3在椭圆 x2y1 上求一点 p，使它到直线l： 3x2y 16 0 的距离最短，并求出最短距离4 7 考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题2解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y3x m，x2代入 4 y2 1，7并整理得4x2 3mx m2 7 0， 9m2 16(m2 7) 0，解得 m2 16，即 m 4，故两切线方程为y 3x 4 和 y 3x 4，22显然 y 3x 4，即 3x 2y8 0 距 l

7、最近，且最短距离d| 16 8| 813.232 2 2133x2y 8 0，32x ，由x24 2y 1， 7得74y，故切点为p 3， 7 .24反思感悟椭圆上的点到定直线的距离的最小值问题可转化为直线与椭圆位置关系问题，通过方程和判别式可达到解决此类题的目的跟踪训练3已知椭圆x2 8y2 8，直线 l： x y a 0.(1) 当 a 为何值时， l 与椭圆相切；(2) 若 a 6，在椭圆x2 8y2 8 上求一点p，使它到直线l 的距离最短，并求出最短距离 考点题点解(1) 由已知联立方程组 4a2 36(a2 8) 0， 解得 a 3 或 a 3.此时椭圆与直线l 相切x 2 8y2

8、 8， xy a 0，得 9y2 2ay a2 8 0，(2)由 (1)知与 l 平行的两切线方程为x y3 0 或 xy 3 0，显然 x y 3 0 距 l 最近， d|6 3|12 1 2 32，2切 点 p 81，33 .典例如图，已知椭圆的取值范围椭圆中的对称问题2x y2 1 上两个不同的点a， b 关于直线y mx 21对称求实数m2解由题意知 m 0，可设直线ab 的方程为y 1 xb.mx22 y由2 1，消去 y，my 1 x b，1122得 m2 x 2bm xb121 0.x2因为直线ymx b 与椭圆 y2 1 有两个不同的交点，220， 所以 2b2 2 4m2mb

9、设点 m 为 ab 的中点，则m2， m b，代入直线方程y mx1解得 bm2 2 2m2 .m2 2m2 2 2，由 得 m633 .素养评析 (1)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(2)通过图形捕捉到形与数联系的纽带，为解决问题打开了思路因此，培养学生直观想象的数学素养，是提高解题能力的源泉.1. 点 a(a,1)在椭圆x2y24 2 1 的内部，则a 的取值范围是 ()a (，2) (2， ) b (2，2)c2，2d ( 2,2)考点答案b解析由题意，得a214 2 1，即 a2 2，解得2a2.2. 已知直线l： xy3

10、 0，椭圆x2 y2 1，则直线与椭圆的位置关系是()4a 相离b相切c相交d相交或相切考点题点答案a解析把 x y3 0 代入2x y2 1， 4x22得 4 (3 x) 1，即 5x2 24x 32 0. ( 24)2 45 32 640, 直线与椭圆相离x2y23. 椭圆考点4 3 1 的右焦点到直线y3x 的距离是 题点答案3222解析椭圆 xy1 的右焦点为 (1,0) ，4 3 2.所以右焦点到直线y3x 的距离为|3|31324. 已知椭圆4x2 y2 1 及直线y xm，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是 考点题点答案5，522解析由4x2 y2 1， yx m，得

11、 5x22mxm2 1 0，当直线与椭圆有公共点时， 4m2 4 5(m2 1)0，即 4m2 5 0，解得5m522 .x2y25. 若直线 y kxb 与椭圆答案( 2,2)9 4 1 恒有两个公共点，则b 的取值范围为 x2y2解析 直线 y kx b 恒过定点 (0， b)，且直线 y kx b 与椭圆9 4 1 恒有两个公共点，x2y2 点(0，b)在椭圆9 4 1 内部， 2 b1，解得 a23或 a 23b.233x2y23，故选2. 直线 y x 1 与椭圆5 4 1 的位置关系是 ()a 相交b相切c相离d无法判断考点题点答案a4解析方法一直线过点 (0,1) ，而 0 10

12、，所以直线与椭圆相交3. 直线 y k(x 2) 1 与椭圆xy221691 的位置关系是()a 相离b相交c相切d无法判断考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案b解析直线 y k(x 2)1 过定点 p(2,1)，将 p(2,1) 代入椭圆方程，得4 11691bm 1cm3d m1 且 m3考点题点答案dy x 2，解析由x2y2得(3 m)x2 4mx m 0，m 3 1， 0，即 16m24m(3m)0， m1 且 m0 且 m3， m1 且 m 3.x2y225. 椭圆 a2 b2 1(ab0) 的离心率为则 k 的值为 ()2 ，若直线y kx 与椭圆的一个交点

13、的横坐标x0 b，2211a. 2b 2c.2d 2考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交的其他问题答案b，得解析根据椭圆的离心率为2c2.2a222 2由 x b，得 y2 b2 1 bb c0所以 y0bcka2y0ca2 ，20 ， .ax0a2x2y26. 若直线 y kx2 与椭圆3 2 1 相切，则斜率k 的值是 ()6663a. 3b 3c 3d 3考点题点答案cy kx 2，xy解析联立方程223 2 1，可得 (23k2 )x2 12kx6 0，2 24(23k2144k.解得 k 63) 0，7. 以 f 1( 1,0)， f2(1,0)为焦点且与直线xy 3 0 有公

14、共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 ()x2y2x2y2a. 20 19 1b. 9 8 1x2y2x2y2c. 5 4 1d. 3 2 1考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案c解析由题意设椭圆方程为x2y2b2 1 b2 1，x2y2b2 1 b2 1，x y3 0，得(2b2 1)x2 6(b2 1)x 8b2 9 b4 0，由 0 得 b2 4，所以 b2 的最小值为4，b2由 e1 b2 121，b 1则 b2 4 时， e 取最大值，故选c.x2y28. 椭圆 12 3 1 的一个焦点为f1，点 p 在椭圆上，如果线段pf1 的中点 m 在 y 轴上，那么点

15、m 的纵坐标为 ()3233a 4b 2c 2d4答案c解析 线段 pf 1 的中点 m 在 y 轴上且 o 是线段 f 1f 2 的中点， pf 2 x 轴， 点 p 的横坐标是3，32y223 点 p 在椭圆上， 12 3 1，即 y y 3.24，二、填空题9. 已知以 f 1(2,0)， f2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y 4 0 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为 考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2722解析由题意可设椭圆的方程为x 2y 1(a2)，aa24与直线方程x3y 4 0 联立，得 4(a2 3)y2 83(a2 4)y (16 a2)(a

16、24) 0， 由 0，得 a7，所以椭圆的长轴长为27.x2y210. 已知椭圆c： 2 2 1(ab0)的左焦点为f ，椭圆 c 与过原点的直线相交于a，b 两点，ab连接 af，bf ，若|ab | 10， |af| 6， cos abf答案574 ，则椭圆5c 的离心率e .7.2解析设椭圆的右焦点为f 1，在 abf 中，由余弦定理可解得|bf| 8，所以 abf 为直角三角形，且 afb90，又因为斜边ab 的中点为 o，所以 |of| c 5，连接 af1 ，因为 a， b关于原点对称，所以|bf| |af1|8，所以 2a14， a7，所以离心率e 511. 若直线mx ny 4

17、 与圆 x2 y2 4 没有交点，则过点p(m， n)的直线与椭圆交点个数为 考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2解析因为直线mxny 4 与圆 x2 y2 4 没有交点，xy29 4 1 的所以| 4| m2 n22，所以 m2 n2b0) 的右焦点为f，右顶点，上顶点分别为a， b，且|ab|52 |bf|.(1) 求椭圆 c 的离心率；(2) 若斜率为2 的直线 l 过点 (0,2)，且 l 交椭圆 c 于 p，q 两点， op oq，求直线 l 的方程及椭圆 c 的方程2解(1) 由已知 |ab |5|bf|，即a2b25a，24a2 4b2 5a2,4a2 4

18、(a2 c2) 5a2，. e c3a2x2y2(2)由 (1)知 a2 4b2， 椭圆 c： 设 p( x1， y1)， q(x2， y2)，4b2b2 1.直线 l 的方程为y2 2(x 0)，即 2x y 2 0.2xy 2 0，由x2y2消去 y，4b2b2 1得 x2 4(2x 2)2 4b2 0， 即 17x232x 164b2 0. 322 1617(b2 4)0 ，解得 b217.172x1 x2 32， x1x2 16 4b .1717 opoq， 0，opoq即 x1x2 y1y2 0， x1x2 (2x1 2)(2x2 2) 0，5x1x2 4(x1 x2) 4 0.2从而 5 16 4b1712817 4 0，.解得 b 1，满足 b21717 椭圆 c 的方程为x2 y2 1.4x2y213. 设 f1，f 2 分别是椭圆e： 22 1(ab0)的左、右焦点，过点f1 的直线交椭圆e 于 a，abb 两点， |af1| 3|f1b|.(1)若 |ab| 4， abf 2 的周长为16，求 |af2|；(2)若 cos afb 3，求椭圆e 的离心率25考点题点解(1) 由|af1| 3|f 1b|， |ab| 4，得|af 1| 3， |f1b| 1.因为 abf 2 的周长为16，所以由椭圆定义可得4a 16，|af 1| |af