2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——14.不等式选讲

1、2011 年 2017 年新课标全国卷文科数学试题分类汇编14不等式选讲（ 201723）已知 a0,b0,a3b32 ，证明：（ 1） (a b)(a3b3 )4 ；（ 2） a b 2 （ 201624）已知函数 f ( x) | x1 | | x1| ， M 为不等式 f ( x) 2 的解集 .22（）求 M ；（）证明：当a， b M 时， a + b cd，则abcd；（）abcd 是 | ab | | cd |的充要条件.（ 201424）设函数 f ( x) | x 1| | x a | (a 0) .a（）证明： f (x) 2；（）若f (3) 5 ，求 a 的取值范围 .

2、（ 201324）设 a、b、c 均为正数，且 abc1 .证明：（） ab bc ca1 ；（） a2b2c21.3bca（ 201224）已知函数f (x) = |x + a| + |x- 2|.（）当a =- 3 时，求不等式f (x) 3 的解集；（）若f (x) | x- 4 |的解集包含 1, 2 ，求 a 的取值范围 .（ 201124）设函数 f ( x)| xa |3x ，其中 a0 .（）当 a 1 时，求不等式f ( x) 3x 2的解集；（）若不等式 f ( x)0的解集为 x | x1 ，求 a 的值 .2011 年 2017 年新课标全国卷文科数学试题分类汇编14不

3、等式选讲（逐题解析版）（ 201723） 选修 4-5：不等式选讲 已知 a0,b0, a3b32 ，证明：（ 1） (ab)(a3b3 )4；（ 2） ab2 【基本解法】（ 1）解法一：由柯西不等式得：(ab)(a5b5 )(a )2(b ) 2(a a2 )2(bb2 )2(a3b3 )24解法二： (ab)(a5b5 )a6b6ab 5a5b( a3b3 ) 2ab5a5b 2a3b3(a3b3 )22 a6b62a3b3(a3b3 )24解法三：aba5b54a ba5b5a3b32ab5a5 b2a3b3又 a0, b0，所以 ab5a5b2a3b3aba2b220 当 ab 时，

4、等号成立 所以，aba5b540 ，即 (ab)(a5b5 )4 （ 2）解法一：由a3b32及 ab( ab)2得42(ab)(a2b2ab)( ab)(ab)23ab(ab)(ab)23(ab) 2( a b)344所以 ab2 解法二：（反证法）假设 ab2，则 a2b ，两边同时立方得：a3(2 b)3812b6b2b3 ，即 a3b38 12b 6b2 ，因为 a3b32 ，所以 612b6b20 ，即 6(b1)20 ，矛盾，所以假设不成立，即ab 2 解法三：因为a3b32，所以： ab38a34a3b3a33a2b3ab2b34a34b3b3a2 b a 3b2 a b23 a

5、 b a b .又 a0, b0 ，所以 : 3 abab20。所以，ab38，即 ab2解法四：因为 a31133 a3a, b3113 3 b3b ，所以 a311b31 13(ab) ，即63(ab) ，即 ab2（当且仅当 ab1 时取等号）（ 201624）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数 f ( x)| x1 | x1 | ， M 为不等式 f ( x) 2的解集.22（）求 M ；（）证明：当a， b M 时， a + b 1+ ab .（ 201624 ） 解 析 ： 当 x1时 ， fx1xx12x ， 若1x1； 当1 x 1时 ，222222f x1xx112 恒成立

6、；当 x1 时， fx2 x ，若 fx2 ，1 cd ，则abcd ；（）abcd 是 | ab | cd |的充要条件 .（201524）解析：（）因为 (ab)2ab2ab,(cd ) 2cd2cd ， 由 题 设a bc,da b得cd( ab )2(cd )2 ，因此abcd .（ ）（ i ） 若| ab | c， 则(ab)2(cd )2， 即 (ab)24ab(cd )24cd ， 因 为d |a bcd，所以 abcd ，由（）得abcd .（ ii ）若abcd ，则 ( ab )2( cd ) 2 ，即 a b 2 ab c d2 cd ，因为 abc d ，所以 abc

7、d ，于是 (ab) 2( ab)24ab(c d) 24cd(cd )2 ，因此 | ab | | cd |，综上，abcd 是 | ab | | cd |的充要条件 .（ 201424）设函数 f ( x) | x 1| | x a | (a 0) .a（）证明： f (x) 2；（）若 f (3) 5 ，求 a 的取值范围 .（ 201424）解析：（） f ( x) | x1 | xa | ( x1 )( xa) | 1a | ， a0 ，aaa f ( x)12 ，当且仅当 a1 时，取“”号 . 故 f ( x) 2 .aa（） f (3)5 ， a 0 ， f (3)| 31 |

8、 3a |31| a3 |5 ，aa即： 1a 30a33 | a3| 5， 1a3或133a，a35a5a解得：15a521. 故 a 的取值范围是 ( 15 , 521) .2222（ 201324）设 a、b、c 均为正数，且 abc1 .证明：（） ab bc ca1 ；（） a2b2c21.3bca（ 201324）解析：（）由 a2 b2 2ab， b2c22bc， c2 a22ca，得 a2 b2 c2ab bc ca. 由题设得 (a b c)2 1，即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca) 1，即 ab bc ca1 .3（）因为a2b

9、2a ， b2bca2b2c2ab c. 所以bcac 2b ，c2a2b2c2a 2c ，故bc( a b c) 2(a b c)，即aaa2b2c2 1.bca（ 201224）已知函数f (x) = |x + a| + |x- 2|.（）当a =- 3 时，求不等式f (x) 3 的解集；（）若f (x) | x- 4 |的解集包含 1, 2 ，求 a 的取值范围 .（ 201224 ）解析：（）当 ax 23 时，不等式 f (x) 3| x 3| | x 2 | 3或x 3x 2 32 x3或x 3或 x4 . 所以当 a3 时，不等式f (x)3 的解集x3x2x3x2 33为 x x1或 x4 .（） f (x)| x4 | 的解集包含1,2，即 | xa | x2 | | x4 |对 x 1,2恒成立，即 | xa |2对 x1,2 恒成立，即2ax2a 对 x1,2恒成立，所以2a12a，即23 a0.故 a 的取值范围为3,0 .（ 201124）设函数 f ( x)| x a | 3x ，其中 a0.（）当 a1 时，求不等式f ( x) 3x 2的解集；（）若不等式f ( x)0 的解集为 x | x1 ，求 a 的值 .（ 201124）解析 ：（）当 a1 时， f ( x)3x2 可化为 | x 1|2 . 由