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1、双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义(1) 平面内，到两定点 R、F2的距离之差的绝对值等于定长2a F1F2 2a,a 0的点的轨迹称为双曲线，其中两定点R、F2称为双曲线的焦点，定长 2a称为双曲线的实轴长，线段F1F2的长称为双曲线的焦距此定义为双曲线的第一定义【注】PFi| |PF2 2a F1F2，此时P点轨迹为两条射线(2) 平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值e e 1的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦3、渐近线2双曲线笃a【注】2y_b22 21 a, b 0的渐近线为2a bx0,即-a与双曲线2古1具有相同渐近线的双曲线方程可以设为2y_J渐近线为2

2、y_ b2 共轭双曲线: 的渐近线 等轴双曲线:4、焦半径bx2-x的双曲线方程可以设为飞aa以已知双曲线的虚轴为实轴， 实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线双曲线上任意一点 P到双曲线焦点F的距离称为焦半径x2若P(x3,y)为双曲线a2y_b21 a,b 0上的任意一点,F( c,0)，F2(c,0)为双曲线的左、右焦点，贝UI Ph I exea, | PF2 | exo a ,其中 e点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义2、双曲线的简单性质标准方程2 2xy1 a,b 0 a b2

3、2y x1 a,b 0 a b顶点坐标A a,0B 0, a焦点坐标左焦点F1c,0，右焦点F2 c,0上焦点R 0,c，下焦点F2 0, c虚轴与虚轴实轴长2a、虚轴长2b实轴长2a、虚轴长2b有界性冈aly a，对称性关于x轴对称，关于y轴对称，冋时也关于原点对称.5、通径过双曲线且AB2xa2b2占1 a,b 0焦点F作垂直于虚轴的直线,b交双曲线于 A、B两点，称线段 AB为双曲线的通径,a6、焦点三角形2 xP为双曲线二a2每1 a,b 0上的任意一点，F( c,0) , F2(c,0)为双曲线的左右焦点，称PF2为双曲线的焦点b三角形 若 F., PF2，则焦点三角形的面积为：Sf

4、pf1 2b2 cot27、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.2 28双曲线 莘 1 a,b 0的焦点三角形的内心的轨迹为9、直线与双曲线的位置关系x ay 0直线I : AxBy C0,双曲线x y:22 1 a ,b 1a bI 与相交aA2b2B2c2 ；I 与相切a2A2b2B2c2 ；I 与相离a2 A2b2B2c2.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有个交点220，则【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质2每1 a,b 0上的动点，F-!, F2是双曲线的焦点, b2点P（x,

5、 y）是双曲线笃 aEPF?的角平分线上一点，且ujujr umrF2M MP 0，则 OMa，即动点M的点的轨迹为x2 y212、双曲线上任意两点的坐标性质A Xi, yi , B X2,y2 为双曲线2 x2 a2y1 a, b b0上的任意两点,XiX2，则2 yi2Xi2y22X22 b2a2【推广1】直线I过双曲线x2a2y；21 a,b 0的中心，与双曲线交于xi ,yi,B X2,y2两点，P为双曲线上的任b2意一点，则 kAP kBP-2a(kAP j kBP均存在)【推广2】设直线kiX mm 0交双曲线为CD的中点，则kik2I3、中点弦的斜率直线I过M xg, y0y。x

6、2与双曲线-a2y_a,b0交于A,B两点，且AM| |BM ,贝V直线I的斜率kAB2b x2a y014、点 P(x, y) (x0,y0）是双曲线2 y b21 a,b 0上的动点，过 P作实轴的平行线，交渐近线于M ,N两PM PN定值a2占八、P(x, y) (x0,y0）是双曲线2y_1 a,b 0上的动点，过P作渐近线的平行线， 交渐近线于 M,N两宀值abSyompn疋值-2【典型例题】例1双曲线的渐近线方程为 x 2y 0,焦距为10，这双曲线的方程为 【变式1】2X若曲线 -42丄 1表示双曲线，则k的取值范围是1 k2 2【变式2】双曲线乞481的两条渐近线的夹角为【变式

7、3】已知椭圆3m22y5n21和双曲线2m22y3n21有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为1(a0,b0)有相同焦点h、F2，P为两曲线的一个交2 2【变式4】若椭圆-乞m n2x1(m n 0)和双曲线一 a点，贝U PF, PF2|【变式5】如果函数y |x| 2的图像与曲线 C:x22y 4恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是A. 1,1)B. 1,0C. (, 1U0,1) D. 1,0U(1,)x2 2【变式6】直线x 2与双曲线C :y1的渐近线交于代B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若4OPaOA bOB (a, bR,O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是()2,2

8、小2,21A. ab 2B.ab -2C.a2b222D.ab2 1222x【变式7】设连接双曲线ab22 2/ y x1与2y p 1的四个顶点为四边形面积为b aS，连接其四个焦点的四边形面积为S2，则勺的最大值为例2、设Fi F2分别是双曲线X22y_9unr uurn uur1的左右焦点 若点P在双曲线上，且PFigPF2= 0,贝U PFiuninPF2 =2【变式1】过双曲线102+ 1的左焦点F的弦AB6，则ABF2 （ F2为右焦点）的周长为2【变式2】双曲线16220 1的左、右焦点F1、F2，p是双曲线上的动点，且Ph 9，贝y PF2X2例3、设Rp F2是双曲线y21的

9、两个焦点，点P是双曲线的任意一点，且F1PF23，求吋2的面积.例4、已知直线y kx 1与双曲线3x2y21有A、B两个不同的交点，如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值.例5、已知直线y kx 1与双曲线3x2y21相交于A、B两点，那么是否存在实数k使得A B两点关于直线x 2y 0对称？若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由2 2例6、已知双曲线y1242x 例7、已知F是双曲线一421的左焦点，A(1,4) ,P是双曲线右支上的动点,12PFPA的最小值.2【变式】 P是双曲线-92話1的右支上一点,29M ,N分别是圆 x 5 y 4和x2 25 y 1上的点，则1的右焦点

10、为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为【变式1】已知曲线C：xo例8、已知动圆P与两个定圆 x 5y2 1和 y y 1(x4)；(1) 画出曲线C的图像；(2) 若直线l : y kx 1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；(3) 若P 0，p p 0，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值.【变式2】直线l : ax y 10与曲线C : x2 2y21.(1) 若直线I与曲线C有且仅有一个交点，求实数 a的取值范围；(2) 若直线I被曲线C截得的弦长PQ 2 1 a2，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点，若存在，求

11、出a的值；若不存在，请说明理由xpm| |pn的最大值等于2 o5 y49都外切，求动圆圆心 P的轨迹方程.【变式1】 ABC的顶点为 A 5, ,B 5,0 , ABC的内切圆圆心在直线 x 3上，则顶点 C的轨迹方程是【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F .7,0 ，直线y x 1与其相交于M、N两点，线段MN一 2的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.32x例9、已知双曲线92y1，若点M为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为16例io、焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点p（o,、2）为圆心，以i为半径的圆相切，又知双曲线 C的一个焦点与P关

12、于直线y x对称（1）求双曲线的方程；（2） 设直线y mx 1与双曲线C的左支交于 代B两点，另一直线I经过点M（ 2,0）及AB的中点，求直线I在 轴上的截距n的取值范围.【变式】设直线l的方程为y kx 1，等轴双曲线C : x2 y2 a2右焦点为.2,0 .（1）求双曲线的方程；（2） 设直线l与双曲线的右支交于不同的两点 A B,记AB中点为M，求实数k的取值范围，并用k表示点M的 坐标；（3） 设点Q 1,0，求直线QM在y轴上的截距的取值范围.2例11、已知双曲线C方程为：x2 仏 1.2（1）已知直线x y m 0与双曲线C交于不同的两点 A、B，且线段AB的中点在圆x2 y

13、2 5上，求m的值;(2)设直线I是圆o ： x y 2上动点P(x。，yo) ( xyo 0 )处的切线，I与双曲线C交于不同的两点A、B , 证明 AOB的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点 入、A2在x 轴上，其渐近线方程是 y例14、已知双曲线C :笃3a(1)求双曲线C的方程;(2)设经过焦点F2的直线I的一个法向量为(m,1),当直线I与双曲线C的右支相交于 代B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明 AB中点M在曲线3(x1)2 y23上.(3) 设(2)中直线I与双曲线C的右支相交于 代B两点，问是否存在实数m，使得A0B为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由.x，双曲线过点P 6,6 .(1) 求双曲线的方程；(2) 动直线I经过 APA2的重心G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问：是否存在直线I，使G平分线段MN ,证明你的结论.2例13、已知点F!、F2为双曲线C