高考数学(文科)中档大题规范练(圆锥曲线)(含答案)

1、22222 2 22222222a b2a b2a b22，2213k中档大题规范练圆锥曲线1已知中心在原点的双曲线 c 的右焦点为(2,0)，实半轴长为 3.(1) 求双曲线 c 的方程；(2) 若直线 l：ykx 2与双曲线 c 的左支交于 a，b 两点，求 k 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，线段 ab 的垂直平分线 l 与 y 轴交于 m(0，b)，求 b 的取值范围0x y解 (1)设双曲线方程为 1 (a0，b0)，a b由已知，得 a 3，c2，b c a 1，x故双曲线方程为 y 1.3(2)设 a(x ，y )，b(x ，y )，a a b bx将 ykx 2代入 y

2、1，3得(13k)x 6 2kx90. 13k 0，36(1k2)0，由题意，知 6 2kx x 0，13k解得3k1.3所以当3k1 时，直线 l 与双曲线 c 的左支有两个交点 36 2k(3)由(2)，得 x x ，13k所以 y y (kx 2)(kx 2)a b a bk(x x )2 2 a b2 213k，3 2k 2 所以 ab 中点 p 的坐标为 13k 13k.设 l01 4 2的方程为 y xb，将 p 点的坐标代入 l 的方程，得 b ，k 0 22222 22 22 22 22222223 3 32 223k1，213k 0，b0)的焦点为2 1 1 2 27f ，设

3、椭圆 c 与抛物线 c 的一个交点为 p(x ，y )，|pf | .2 1 2 0 0 1 3(1)求椭圆 c 的标准方程及抛物线 c 的标准方程；1 2(2)直线 xm 与椭圆 c 在第一象限的交点为 q，若存在过点 a(4,0)的直线 l 与椭圆 c 相交于1 1不同的两点 m，n，使得 36|aq| 35|am|an |，求出直线 l 的方程1解 (1)在椭圆 c 中 cm，e ，1 2a2m，b 3m ，x y设椭圆 c 的方程为 1，1 4m 3mx y联立 1 与 y 4m 3m4mx，得 3x 16mx12m 0，即(x6m)(3x2m)0， 2m得 x 或6m(舍去)， 32

4、 6m代入 y 4mx 得 y ，32m 2 6m设点 p 的坐标为( ， )，3 3|pf |22m 5mm ，3 3|pf |2a 15m 7m 7 ，m1，x y此时，椭圆 c 的标准方程为 1，1 4 3抛物线 c 的标准方程为 y 4x. 2(2)由题设知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x4)，xy4 32 2 222 22 2232k34k34k22x y34 322222222222222232k22222272由yk(x4)， 2 2 1，消去 y 整理，得(34k )x 32k x64k 120.由题意知 (32k ) 4(34k )(64k 12)0， 1

5、 1解得 kb0)右焦点的直线 xa b1y 30 交 m 于 a，b 两点，p 为 ab 的中点，且 op 的斜率为 .2(1) 求 m 的方程；(2) c，d 为 m 上的两点，若四边形 acbd 的对角线 cdab，求四边形 acbd 面积的最大值 解 (1)设 a(x ，y )，b(x ，y )，则1 1 2 2x y 1，a bx y 1，a b(xx )(xx ) (yy )(yy )，得 0.a by y因为 1，设 p(x ，y )，x x1 21因为 p 为 ab 的中点，且 op 的斜率为 ，21 1所以 y x ，即 y y (x x )0 2 0 1 2 2 1 2所以

6、可以解得 a 2b ，即 a 2(a c )，即 a 2c ，又因为右焦点(c,0)在直线 xy 30 上，解得 c 3，所以 a 6，x y所以 m 的方程为 1.6 3(2)因为 cdab，直线 ab 方程为 xy 30，所以设直线 cd 方程为 yxm，x y将 xy 30 代入 1 得：6 34 3 33x 4 3x0，即 a(0， 3)，b ， ，3 3所以可得|ab|4 63；x y将 yxm 代入 1 得：6 33x4mx2m60，232222 22 2 22 22 2 2230pa2 22|pa|pf|pa|pf|设 c(x ，y )，d(x ，y )， 3 3 4 4则|cd

7、| 22 2(xx )4x x 3 4 3 4182m ，又因为 16m 12(2m 6)0，即3mb0)，o：x y b ，点 a，f 分别是椭圆 c 的左顶点和左焦a b点，点 p 是o 上的动点(1)若 p(1， 3)，pa 是o 的切线，求椭圆 c 的方程|pa|(2)是否存在这样的椭圆 c，使得 恒为常数？如果存在，求出这个常数及 c 的离心率 e；如|pf|果不存在，说明理由解 (1)由 p(1， 3)在o：x y b 上，得 b 134.直线 pa 的斜率 k pa解得 a4.3 1 1 3 1 ，而直线 pa 的斜率 k ，所以 ，1(a) a1 kop 3 a1 3所以 ax

8、 y16，所以椭圆 c 的方程为 1.16 4|pa|(2)假设存在椭圆 c，使得 恒为常数|pf|设椭圆 c 的半焦距为 c，ab当 p(b,0)时，则有 ；|cb|ab当 p(b,0)时， .bcab ab依假设有 .|cb | bcab ab当 cb0 时，有 ，cb bc22 2222|pf|222 2222 2 22 2 222222222 22 2222cc222a22 22 2a2所以(ab)(bc)(ab)(cb)，化简整理得 ac，这是不可能的ab ab当 cb0 时，有 .bc bc所以(ab)(bc)(ab)(bc)， 化简整理得 acb 0.所以 c a ac0，两边同

9、除以 a ，得 ee10.1 5 1 5解得 e ，或 e (0,1)(舍去) 2 2可见，若存在椭圆 c 满足题意，1 5只可能离心率 e .2设 p(x，y)为o：x y2b2上任意一点，|pa|则 (xa)y (xc)y|pa|pf|(xa)b x (xc)b x2axa b 2ax2a c .(*)2cxc b 2cxa由上 c a ac0，得 a c ac，2a c a ac 所以 a a a aac acc 2 c 1， a a a2a c从而 .a c512|pf| c 22222222 2 22222|pa| a代入(*)式得 ，所以存在满足题意的椭圆 c，这个常数为512，1

10、 5椭圆 c 的离心率为 e .25已知平面内一动点 p 到点 f(1,0)的距离与点 p 到 y 轴的距离的差等于 1.(1) 求动点 p 的轨迹 c 的方程；(2) 过点 f 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l ，l ，设 l 与轨迹 c 相交于点 a，b，l 与轨迹 c1 2 1 2 相交于点 d，e，求ad eb的最小值解 (1)设动点 p 的坐标为(x，y)，由题意有(x1)y |x |1.化简得 y 2x2|x |.当 x0 时，y 4x；当 x0 时，y0.所以，动点 p 的轨迹 c 的方程为 y 4x (x0)和 y0 (x0) (2)由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0，

11、设为 k，1则 l 的方程为 yk(x1)1yk(x1)，由 得 k x (2k 4)xk 0.y4x，设 a(x ，y )，b(x ，y )，1 1 2 2则 x ，x 是上述方程的两个实根，1 24于是 x x 2 ，x x 1.1 2 k 1 21因为 l l ，所以 l 的斜率为 .1 2 2 k设 d(x ，y )，e(x ，y )，3 3 4 4则同理可得 x x 24k ，x x 1.3 4 3 4 故ad eb(affd)(effb) af efaf fbfd effd fb2k2k2222222 2 22222122212 1 2 1ac1 2 1 2 |af|fb|fd|e

12、f|(x 1)(x 1)(x 1)(x 1) 1 2 3 4x x (x x )1x x (x x )11 2 1 2 3 4 3 441 2 2 11(24k )1184 k 2 8421k 16.k1 当且仅当 k ，即 k1 时，ad eb取最小值 16.kx6在平面直角坐标系 xoy 中，动点 p 在椭圆 c ： y 1 上，且到椭圆 c 的右焦点的距离1 2 1与到直线 x2 的距离之比等于椭圆的离心率动点 q 是动圆 c ：x y r (1r2)上一点2(1)设椭圆 c 上的三点 a(x ，y )，b(1，1 1 12)，c(x ，y )与点 f(1,0)的距离依次成等差数列，线

13、2 2 2段 ac 的垂直平分线是否经过一个定点？说明理由(2)若直线 pq 与椭圆 c 和动圆 c 均只有一个公共点，求 p，q 两点的距离|pq |的最大值1 2x 2解 (1)椭圆 c ： y 1 的离心率 e ，右焦点为(1,0)，1 2 2由题意可得|af|2 2(2x )，|bf| (21)， 2 1 2|cf |22(2x ) 2因为 2|bf| |af| |cf|，所以2 2 2(2x ) (2x )2 (21)， 2 1 2 2 2即得 x x 2.1 2x x因为 a，c 在椭圆上，故有 y 1，2 1 2y 1， 2y y x x两式相减，得 k .x x 2(yy )

14、y y 2 1 2 1 2 1设线段 ac 的中点为(m，n)，x x y y而 m 1，n ，2 2所以与直线 ac 垂直的直线斜率为 ky y 2n.2 1x12222222222 2 22222 2 22222222则线段 ac 的垂直平分线的方程为 yn2n(x1)，1即 yn(2x1)经过定点( ，0)21即线段 ac 的垂直平分线过一个定点( ，0)2(2)依题意得，直线 pq 的斜率显然存在，设直线 pq 的方程 ykxt，设 p(x ，y )，q(x ，y )，1 1 2 2由于直线 pq 与椭圆 c 相切，1y1kx1t，点 p 为切点，从而有2 y21，2 1得(2k 1)

15、x 4ktx 2(t 1)0.1 1故 (4kt) 42(t 1)(2k1)0，2k从而可得 t 12k ，x ，1 t直线 pq 与圆 c 相切，则2得 t r (1k )，r 1由得 k ，并且 2r|t|1kr，|pq | |op| |oq| 12k12kr23r 32 2( 21) .r即 0|pq| 21，当且仅当 r 2(1,4)时取等号，故 p，q 两点的距离|pq |的最大值为 21.中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列a 的前 n 项和 s ，且满足：a a 64，a a 18.n n 2 4 1 5n1 2n21222n 22 3 3 52 2.22(1)若 1i2

16、1，a ，a ，a 是某等比数列的连续三项，求 i 的值1 i 21n(2)设 b ，是否存在一个最小的常数 m 使得 b b b 0，所以 a a ，所以 a 5，a 13.2 4 2 4a1d5， 所以a3d13，所以 a 1，d4.所以 a 4n3.1 n由 1i21，a ，a ，a 是某等比数列的连续三项，1 i 21所以 a a a ，1 21 i即 181(4i3)，解得 i3.n(n1)(2)由(1)知，s n1 42n n，n 21 1 1 1所以 b ( )，(2n1)(2n1) 2n1 2n1所以 b b b1 2 n1 1 1 1 1 1 n (1 ) ，2n1 2n1

17、2n1n 1 1 1因为 ，2n1 2(2n1)1所以存在 m 使 b b b m 对于任意的正整数 n 均成立 2 1 2 n2设 s 为数列a 的前 n 项和，已知 a 0,2a a s s ，nnn n 1 n 1 1 n(1)求 a ，a ，并求数列a 的通项公式；1 2 n(2)求数列na 的前 n 项和n*解 (1)令 n1，得 2a a a1 1 1，即 a a 1 1.因为 a 0，所以 a 1.1 1令 n2，得 2a 1s 1a ，解得 a 2.2 2 2 2 . . .n 12n 123nnnnnn 1*nn 1nnn 1nnn 1 nn n当 n2 时，由 2a 1s

18、2a 1s ，n n, n1 n1两式相减得 2a 2a a ，即 a 2a .n n1 n n n1于是数列a 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 n因此，a 2 nn 1所以数列a 的通项公式为 a 2 n nn 1(2)由(1)知，na n2nn 1记数列n2 的前 n 项和为 b ，于是nb 12232 nn2 .2b 1222 32 n2 . n，得b 122 n221n2n2 1n2n.从而 b 1(n1)2 .n即数列na 的前 n 项和为 1(n1)2 .n3设数列a 的前 n 项和为 s ，满足 2s a 2n n n n11，nn ，且 a 1，设数列b 满足1 nb a

19、 2 .n n(1)求证数列b 为等比数列，并求出数列a 的通项公式；n n6n3(2)若数列 c ，t 是数列c 的前 n 项和，证明：t 3.n b n n nn2snan12 1，(1)解 当 n2 时，由2sn1an2 12a a a 2n n1 nna 3a 2 ，n1 n从而 b a 2 3(a 2 )3b ，n1 n1 n n故b 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， nb a 2 33 n n 3 ，a 3nn2n(n2)，因为 a 1 也满足，于是 a 3 2 . 1 n3n1 3 50123 32n3 2n11 2 3n32n10 1 2n3n 12n1n3nn3212

20、a 1n2222226n3 2n1(2)证明 c ，n b n 12n3 2n1则 t ，n 3 3 3 n 2 n 11 1 3 5t ，3 n 3 3 3 n 1 32 1 2 2 2，得 t 3 n 3 3 3 n 1 3113 2n11 3 1 3132n12 n 1 32(n1)2 ，3n1故 t 3 3.n 114已知单调递增数列a 的前 n 项和为 s ，满足 s (a n)n n n 2 n(1)求数列a 的通项公式；n，n为奇数，(2)设 c n132a 1，n为偶数， n1求数列c 的前 n 项和 t . n n1解 (1)n1 时，a (a 1)，得 a 1，1 2 1

21、11 由 s (an 2 nn)，1则当 n2 时，s (an1 22n1n1)，1得 a s s (a a 1)， n n n1 2 n n1化简得(a 1) a 0，n n1a a 1 或 a a 1(n2)，n n1 n n11a21 3 n 12222(n1)(n1)14n1 n12n 112 2 23 n 2n1 n1n2n22nn2n 1n1.又a 是单调递增数列，故 a a 1，n n n1所以a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 a n. n n(2)c n ，n为奇数， 1n132a 1，n为偶数， n1当 n 为偶数时，t (c c c )(c c c ) n 1 3 n1 2 4 n(1 1 1 n )3(2 2 2 )2 1 4 1 n 1n2(14 )1 1 1 2 n 3 13 35 21 1 1 1 1 1 1 n n ( )2(4 1)2 1 3 3 5 2 2 n 2