完整版二次根式的混合运算

1、二次根式的混合运算 【教学进度】二次根式 11.6【教学内容】二次根式的混合运算【重点难点剖析】一、主要知识点1.有理化因式：见课本 P198第11行第12行2二次根式混合运算(1) 二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。(2 )二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行。二、重点剖析1 .有理化因式(1) 二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如-.3的有理化因式可以是 -3,2,3,3,3但在一般情况下，我们所找的有理化因式应是最简单的，例如：8 的有理化因式为 、2 , 5 23 = 5的有理化因式为5、

2、23、5。(2) 一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形：a和aa 、b和a b ； ab 和 a . b ； m. a n i b禾口 m. a n、b2分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。3.二次根式混合运算注意事项(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根 式中仍然适用。(2) 二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。(3) 二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成 一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。(

3、4) 在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。a b11例如可以由11来计算aba b罷1恵 血111(、3,2)(,2 1)(“3.2)(.2 1).2 1.3221.3. 212.2、3【典型例题】例1计算11 5 21 J5 2(1)1 (丄5)2 (丄5)2V5222) 53233 15.32、3(a2 n J n m)n(4) .b (、.3,2)(.3,2).6分析(1)可运用a2 b2(a b)(a b)计算(2) 每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算。(3) 把括号中的每一项化成最简二次根式，再根据整式除法法则，1 一 一a

4、ba 进行运算。b解( 1)(4 )可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算。 5 1.51. 5)(2 2.3.53)原式(2)原式(5 2 2.5(、3 1)(3)原式(4)原式(.3 1)(.3 1)(、5.3)(.515、52a2(.；mnma2 abm63、23.2 2 31、215例2 化简32ab ：mn m1 Jmn -a3261 o2 一6 4.3 3 2(.6.3)(.3.2)(7151,5(2, 3)2(2. 3)(2. 3).5)7 -21ma b.n2 aab1a2b2m n3)171、mn) mn12 Jmn b n6(、3. 2)(3、2)( . 3-.2)37浪

5、 3323a2 ab 1 a b (、3.2)J6 V6mn分析 本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来，又不可能直接约分，但如果注意到,64 33 .2( .6. 3)解原式 _(J6 J3)(J3 V2)13,2.3. 2例3先化简再求值。43(、. 3.2)，可运用关系:3(. 3. 2)(、6. 3)(. 3、2)a b 1 ab1来计算。 a b、a . b)(. a . b) ab(. b . a)分析 根据本题特点，可先通分做加法，后做除法进行化简，再代入。(、a 、b)2 ab，其中a=3， b=44 . ab解原式ab.a 、b)(、a J)(雷 vs)2Jab ab(i

6、a 、b)( .a b).b 、b 、a.ab(、a 、b)( a 、b) a b ab.a . b;4 y/3厂当a=3 b=4时 原式=323 4J3 迈 %3 V232，35xy 3y2的值y化简，多项式可用例4 已知x求代数式3x2分析先将.32 c53,2y 5262x+y及xy的形式表示，为此求出x+y , xy，最后代值计算。、/ 3 2 5 2 6y5 2 6心425 2.6 10 xy (5 2,6)(5 2.6)13(x223(x 1) 11xy 将x+y=10 , xy=1代入，得 原式 3 10211 1289设,116.2的整数部分为 x/ 3x2 5xy 3yy2)

7、 5xy 3(x y)22xy 5xy分析先对.11解 1162、9、2通过估算可知y (32)2y -y(1)分析.22y 的值。 y116、, 2可以进行配完全平方。x，小数部分为y,求x6.2进行化简，11 2 18. ( 9)2322 的整数部全为1,2 22、18 ( 2)2. (.9. 2)2把下列各式分母有理化125(2)12.3、6分母里所35 ,含根号的个数多于两个，分母有理化时注意技巧，(1 )题可分子分母同乘以解(1)原式(2 )题先用因式分解的方法把分母化为积的形式12(2,32晁12(、23.5)5)(2)原式(”23. 5)(. 2、3. 5)2 33、2301(1

8、. 2). 3(1. 2)( 2 1)( . 31)(、2 1)(.3 1)(“2 1)( 3 1)(、2 1)( 3 1)171，求(a5 2a417a3 a22分析 直接把a的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式冋时变形，再代入计算解/ a 171 a117(a+1) 2=17原式 a52a4(a1)2 a3a2 (a 1)212 1999(a 1)2a52a4(a52a4 a3) a2 (a2 2a2)a a2 2a 11999例7 已知a199918a 17) 的值(a3 a2 a3 2a22a a2 2a 1)1999( 1)19991点评：由a 1. 17即(a 1)

9、217，本题中的17a3写成(a 1)2 a3 , 18a写成17a+a=(a 1)21a，以便对所求代数式进行化简求值例8计算2一3, 2一3分析 注意 2 3. 2 3 02. 3,2、. 3都不能配成完全平方可用方程的思想方法求解。解令 x 2. 32.3 则 x2(； 2. 3. 2、3) x223 23 2 2 3 23x22/x0 x 、2【巩固练习与测试】3 2 = 2 , y是x的倒数，贝U x2y xy2的值为3232 冲 2,y，则 x23211 y2，则的结果为、y已知x已知x若/v已知5 7的小数部分为a,y2的值为57的小数部分为b，则ab+5b=xy化简(；计算(2

10、 .2 3 ,6) (3.2_y_2y =2、6)计算43-1023,7(23)( 5. 3)已知.53，求下列各式的值.5311.已知 a b ,3、.2 , b c ,3、.2求 a9. b2 c2 ab be ac的值12.已知a4求出!a10. (1) 一，(2)211. 11 ；12. -113. -2提示，原式化简为14. -1;15. n=2 提示 x+y=4n+2 xy=122219x136xy19y19(x y) 98 9+将 x+y、xy 的值代入。 a2 2a1的值51213.已知a22b2 .一 2 求代数式baabab ，(,abb,ab)a、a . b . a的值.b14(2 x .