三角函数、解三角形中的实际应用问题

15 13 5 65sin b63 5222213037微点突破三角函数、解三角形中的实际应用问题【例 】 (2013 江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 a 处下山至 c 处有两种路径.一种是从 a 沿直线步行到 c，另一种是先从 a沿索道乘缆车到 b，然后从 b 沿直线步行到 c.现有甲、乙两位游客从 a 处下山，甲沿 ac 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 a 乘缆车到 b，在 b 处停留 1 min 后，再从 b 匀速步行到 c.假设缆车匀速直线运行12 3的速度为 130 m/min，山路 ac 长为 1 260 m，经测量，

2、cos a ，cos c . (1)求索道 ab 的长；(2) 问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 什么范围内？12 3解 (1)在abc 中，因为 cos a ，cos c ，5 4所以 sin a ，sin c .从而 sin bsin(ac)sin(ac)5 3 12 4 63sin acos ccos asin c .ab ac由正弦定理 ，得sin c sin bac 1 260 4ab sin c 1 040(m).65所以索道 ab 的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t min

3、后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙 距离 a 处 130t m，所以由余弦定理得d (10050t) (130t) 2130t(10050t) 200(37t 70t50)，1 040因 0t ，即 0t8，35故当 t (min)时，甲、乙两游客距离最短.1213sin a sin bsin b63 13v 5043 141250 62543 1433332 3 333bc ac(3)由正弦定理 ，ac 1 260 5得 bc sin a 500(m).65乙从 b 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 c. 设乙步行的速度

4、为 v m/min，500 710 1 250 625由题意得3 3，解得 v ，所以为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制 在 ， (单位：m/min)范围内. 探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； 二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时 需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三 角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.【训练 1】 如图，现有一个以aob 为圆心角、湖岸 oa 与 ob 为

5、半径的扇形 湖面 aob.现欲在ab上取不同于 a，b 的点 c，用渔网沿着ac(ac在扇形 aob 的 ab上)、半径 oc 和线段 cd(其中 cdoa)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若 oa1 km，aob ，aoc.(1)用 表示 cd 的长度；(2)求所需渔网长度(即图中ac、半径 oc 和线段 cd 长度之和)的取值范围.解 (1)由 cdoa，aob ，aoc，2 得ocd，odc ，cod .ocd 中，由正弦定理，得 cd sin，0， . 333333333 6 60， ， 6366(2)设渔网的长度为 f ().2 3 由(1)可知，f ()1 sin

6、， 2 3 所以 f ()1 cos， 因为 0， ，所以 0， . 3令 f ()0，得 cos ， 2 所以 ，即 .列表如下：f ()f () 660极大值 6 3 62 3 且 f (0)2，f ，f 1， 6 3 62 3所以 f ()2， . 62 3故所需渔网长度的取值范围是2， (单位：km). 【训练 2】 (2017 徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地 abcd，其中 abcbad90，addc2 km ，bc1 km. 现过边界 cd 上的点 e 处铺 设一条直的灌溉水管 ef，将绿地分成面积相等的两部分.(1)如图 1，若 e 为 cd 的中点，f 在边界 ab

7、 上，求灌溉水管 ef 的长度； (2)如图 2，若 f 在边界 ad 上，求灌溉水管 ef 的最短长度.解 (1)因为 addc2，bc1，abcbad90，22 梯形efg1 1 1 3 3 1 3 322 23 3233222422所以 ab 3.3如图 1，取 ab 的中点 g，连接 eg，则 eg ，则四边形 bcef 的面积为1s s s ，abcd 梯形 bceg即 3(12) 1 gf ，解得 gf ， 2 2 2 2 2 2 6所以 ef eg gf 2 2 6 21 (km).21答：灌溉水管 ef 的长度为 km.(2)如图 2，连接 ac，设 dea，dfb，图 2abc 中，ca 1 （ 3） 2，所以在adc 中， addcca2，所以adc60，所 def 的面积为 sdef1 3 absin 60 ab，又 s梯形1 3 3 3(12) ，abcd24 4def2 21 3 3