初中数学竞赛：有关方程组的问题

1、初中数学竞赛：有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问 题本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧1二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方 程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项例 1 解方程组解 2-3 得4x9y-60方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数 例 2

2、 解方程组解 (-2)+得 3y2+3y-6=0，所以 y =1，y =-21 2解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解 例 3 解方程组解 由得(2x+y)(x-2y)=0，所以 2x+y=0 或 x-2y=0 因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解 例 4 解方程组解 由-2 得x2-2xy-3y2=0，即 (x+y)(x-3y)=0，所以 xy=0 或 x-3y=0分别解下列两个方程组得原方程组的解为2二元对称方程组方程中的未知数 x，y 互换

3、后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程例如 x2-5xyy2-3x-3y=7，等都是二元对称方程由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组例如等都是二元对称方程组 我们把叫作基本对称方程组基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解 例 5 解方程组解 方程组中的 x，y 分别是新方程m2-5m+4=0的两个解解关于 m 的一元二次方程得 m =1，m =4，所以原方程组的解是1 2这个方程组亦可用代入法求解(略)由于一般的二元对称式总可以用基本对称式 x+y 和 xy 表示，因此在解二元对称方程组 时，一定可以用 xy 和 xy 作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组例 6 解方程组解

4、 原方程组可变形为2得令 u=xy，则即而方程组无实数解综上所述，方程组的解为例 7 解方程组分析 本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式 解 由得xy=16 由，可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例 8 解方程组分析 本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得 到一个方程 x-y=0，从而使方程降次化简解 -，再因式分解得 (x-y)(x+y-10)=0，所以 x-y-0 或 xx-10=0解下列两个方程组得原方程组的四组解为例 9 解方程组解法 1 用换元法设4x5=a，4y+5=b， 则有即-并平方得整理得所以因此 a-b=0 或分别解下列两个方程组与经检验，a=b=9 适合方程，由此得原方程组的解是解法 2 -得即所以 x-1 与 y-1 同号或同为零由方程得所以 x-1 与 y-1 不能同正，也不能同负从而 x-1=0，y-1=0由此解得经检验，x=1，y=1 是方程组的解【练习】1填空：(1)方程组的解有_组(2)若 x，y 是方程组(3)已知 3a+b+2c=3，且 a+3b+2c=1，则 2a+c=_ (4)已知实数 x，y，z 满足方程组则 xyz=_2解方程组：3设 a，b，c