完整版阿氏圆

1、中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两定点一 B,则所有满足PC k （ k不等于1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造 斜A型相似（也叫母子型相似）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。在几何画板上观察下面的图形，当 P在在圆A上运动时，PC PB的长在不断的发生变化，但 PC的比值却始终保持不变。PB解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。如图，在 APB的边AB上找一点C,使得AP AC ,贝吐匕时厶APSAABPAB AP母子型相似（共角共边

2、）A -C那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目：分别连接圆心0与系数不为1即 OP 0B;计算0P的值，则k 0P丄OBOB 2的线段BP的两端点,半径圆心到定点的距离OC 计算OC的长度，由一一k得：OCOP 连接AC,当A、P、C三点共线时，1OP （相似比X半径）2AP1-BP AP PC AC26计算AC的长度即为最小值.实战练习：- 已知O O半径为1, AC BD为切线，AC=1, BD=2试求上2 PC PD的最小值2、已知点A(4, 0)，B(43、已知点(1) -AP4A(-3,0) , B( 0,3 ), C (1,0 ),若点P为

3、。C上一动点，且。C与y轴相切,BP的最小值;(2) SVPAB的最小值.4、如图1,在平面直角坐标系xoy中，半OO交x轴与点A B(2,0)两点，AD BC均为半O O 的切线，AD=2 BC=7.(1)求OD的长；(2)如图2,若点P是半O O上的动点，Q为OD的中点.连接PO PQ. 求证： OPGA ODP; 是否存在点P,使PD2PC有最小值，若存在，试求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由25、(1)如图1,已知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点， 求PD -PC的最小值和PD - PC的最大值.2 2如图2,已知正方形ABCD勺边长为9,圆B的半径为

4、6,点P是圆B上的一个动点，那么PD - PC的最小值为；PD -PC的最大值为3 3(3)如图3,已知菱形ABCD勺边长为4,/ B=60,圆B的半径为2.点P是圆B上的一个11动点.那么PD 1 PC的最小值为；PD 1 PC的最大值为226、(2016年*济南28题)如图1,抛物线y = ax2 + (a+ 3)x+ 3 (0)与x轴交于点A (4, 0),与 y轴交于点B,在x轴上有一动点E ( m, 0) (0v mv 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物 线于点P,过点P作PM丄AB于点M.(1) 求a的值和直线 AB的函数表达式；(2) 设厶PMN的周长为AEN的周

5、长为C2,若 =-，求m的値；C25(3) 如图2,在(2)的条件下，将线段 OE绕点O逆时针旋转得到 OE,旋转角为 皿0 av 90)，连2接EA、EB,求EA+ ；EB的最小值.x7、(2017年*遵义27题)如图，抛物线 y=ax2+bx-a - b (av 0, a、b为常数)与x轴交于A、C两点， 与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y= 8 x + 16 .93(1) 求该抛物线的函数关系式与C点坐标；(2) 已知点M( m, 0)是线段OA上的一个动点，过点 M作x轴的垂线I分别与直线AB和抛物线交于 D、 E两点，当m为何值时， BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？(3) 在(2)问条件下，当厶BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点 M，将OM绕原点O顺时针旋转得到 ON(旋转角在0到90之间)；NPi :探究：线段OB上是否存在定点