不等式高级水平必备

1、不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20.3 个对称变量 pqr 法Ch21.3 个对称变量 uvw法Ch22.ABC 法Ch23.SOS 法Ch24.SMV 法Ch25. 拉

2、格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析第 1页Ch1. 伯努利不等式1.1 若实数 xi （ i1, 2,., n ）各项符号相同，且xi1 ，则：(1x1 )(1x2 ).(1xn )1x1x2.xn(1)(1) 式为伯努利不等式 .当 x1x2.xnx 时， (1) 式变为： (1x) n1nx( 2)Ch2. 均值不等式2.1 若 a1 ,a2 ,., an 为正实数，记： Qna12a22.an2，为平方平均数，简称平方均值；nAna1a2.an，为算术平均数，简称算术均值；nGnn a1a2 .an ，为几何平均数，简称几何均值；H nn，为调和平均数，简称调和

3、均值 .111a1a2.an则： QnAnGnH n( 3)iffa1a2.an 时，等号成立 .（注： iffif andonly if 当且仅当 . ）( 3) 式称为均值不等式 .Ch3.幂均不等式3.1 设 a(a1 , a2 ,., an ) 为正实数序列，实数 r 0 ，则记：1rr.r rM r (a)a1a2an(4)n( 4)式的 M r (a ) 称为幂平均函数 .3.2 若 a(a1 , a2 ,., an ) 为正实数序列，且实数 r0 ，则：M r (a)M s (a)(5)当 rs时， (5) 式对任何 r 都成立，即 M r (a) 关于 r 是单调递增函数 .(

4、5) 式称为幂平均不等式，简称幂均不等式 .3.3 设 m( m1 , m2 ,., mn ) 为非负实数序列，且 m1m2 .mn 1 ，若 a(a1 , a2 ,., an ) 为正实数序列，且实数 r0 ，则：第 2页1M rm (a) ( m1a1rm2 a2r. mnanr )r(6)(6) 式称为加权幂平均函数 .3.4 若 a (a1 , a2 ,., an ) 为正实数序列，且实数r 0 ，对 M rm (a) 则： M rm (a) M sm (a)11即： (m1a1rm2a2r. mn an r ) r(m1a1sm2 a2s . mnans ) s(7 )m当 rs时，

5、 (7) 式对任何 r 都成立，即 M r (a) 关于 r 是单调递增函数 .Ch4. 柯西不等式4.1 若 a1 ,a2 ,., an 和 b1 , b2 ,., bn 均为实数，则：( a12a22.an2 )(b12b22. bn2 ) (a1b1a2b2. anbn ) 2(8)iffa1a2.an时，等号成立 . （注： iffif andonly if 当且仅当 . ）b1b2bn(8) 式为柯西不等式 .4.2 柯西不等式还可以表示为：a 2a2. a2b 2b2. b 2a ba b. a b2( 9)( 12n)( 12n )( 1 12 2n n )nnn简称：“ 平方均

6、值两乘积，大于积均值平方”我们将 a1b1a2 b2.anbn 简称为积均值，记： Dna1b1a2b2. anbn .nn则： Qn (a)2Qn( b)2Dn (ab)4 ，即： Qn (a)Qn (b)Dn (ab)( 10)4.3 推论 1：若 a, b, c, x, y, z 为实数， x, y, z 0 ，则：a12a22an2(a1a2 .an )2b1.bnb1b2 .(11)b2bniffa1a2.an 时，等号成立 .b1b2bn(11)式是柯西不等式的推论，称权方和不等式 .4.4 推论 2：若 a1 , a2 ,., an 和 b1 , b2 ,., bn 均为实数，则

7、：a12b12a22b22.an2bn2(a1 a2 . an) 2(b1 b2 . bn )2( 12)iffa1a2.an 时，等号成立 .b1b2bn第 3页4.5 推论 3：若 a, b, c, x, y, z 为正实数，则：x( bc)y(c a)z(a b)3(abbcca)(13)yzzxx yCh5. 切比雪夫不等式5.1 若 a1a2.an ； b1b2.bn ，且均为实数 . 则：( a1a2.an )(b1b2.bn )n( a1b1a2b2.anbn )(14)iffa1a2.an 或 b1b2. bn 时，等号成立 .(12) 式为切比雪夫不等式 .由于有 a1 a2

8、. an ， b1b2.bn 条件，即序列同调，所以使用时，常采用 WLOGa1a2. an( 注： WLOGWithout Loss OfGenerality不失一般性 )5.2 切比雪夫不等式常常表示为：( a1a2.an )( b1 b2.bn )(a1b1a2 b2 . anbn ) (15)nnn简称：“ 切比雪夫同调数，均值积小积均值” .即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值.则： An (a) An (b)Dn (ab)2即：An (a) An( b)Dn (ab)(16)Ch6. 排序不等式6.1 若 a1a2.an

9、；b1b2.bn 为实数，对于 ( a1 ,a2 ,., an ) 的任何轮换 ( x1 , x2 ,., xn ) ，都有下列不等式：a1b1a2 b2.anbnx1b1x2 b2.xnbnanb1an 1b2.a1bn(17 )(17 ) 式称排序不等式（也称重排不等式）.其中， a1b1 a2 b2 . anbn 称正序和， anb1 an 1 b2 . a1bn 称反序和， x1b1 x2 b2 . xn bn 称乱序和 . 故 ( 17 ) 式可记为：正序和乱序和反序和(18 )6.2 推论：若 a1 ,a2 ,., an 为实数，设 ( x1 , x2 ,., xn ) 为 (a1

10、 , a2 ,., an ) 的一个排序，则：a2a2. a2axa x. a xn( 19)12n1 12 2nCh7. 琴生不等式第 4页7.1定义凸函数：对一切 x, y a,b ，(0,1)，若函数 f : a, bR 是向下凸函数，则：f ( x ( 1) y)f ( x) (1) f ( y)(20)( 20) 式是向下凸函数的定义式 .注： f : a,bR 表示区间 a,b 和函数 f ( x) 在 a, b 区间都是实数 .7.2若 f : (a, b)R 对任意 x (a,b) ，存在二次导数 f ( x)0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 区间为向下凸函数； if

11、fx(a, b) 时，若 f ( x) 0 ，则 f ( x) 在 ( a, b) 区间为严格向下凸函数 .7.3若 f1 , f2 ,.,fn 在 (a,b) 区间为向下凸函数， 则函数 c1 f1 f n 在在 (a ,b) 区间对任何 c1 ,c2 ,., cn (0, ) 也是向下凸函数 .7.4若 f : (a, b)R 是一个在 (a, b) 区间的向下凸函数，设 nN ，1 , 2 ,., n (0,1) 为实数，且12.n1 ，则对任何 x1 , x2 ,., xn ( a,b) ，有：f (1 x12 x2 .n xn )1 f ( x1 )2 f ( x2

12、) .n f ( xn )(21)( 21) 式就是加权的琴生不等式.简称：“ 对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.Ch8. 波波维奇亚不等式8.1 若 f: a,b R 是一个在 a,b区间的向下凸函数，则对一切x, y, za, b ，有：x y zf ( x) f ( y) f ( z)2x yy zz xf ()3 f () f () f () ( 22)33222( 22)式就是波波维奇亚不等式 .8.2 波波维奇亚不等式可以写成：f ( x y z)f ( x) f ( y) f ( z)f ( x y )f ( y z )f ( z x )33222(23)23简称：

13、“ 对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3 若 f : a,bR 是一个在a,b区间的向下凸函数，a1 , a2 ,., an a,b ，则：f ( a1 )f ( a2 ) .f (an )n( n2) f (a )(n1) f (b1 )f (b2 ). f ( bn )( 24)a1a2 . an， bi1a j （对所有的 i ）其中： ann1 ij( 24) 式是普遍的波波维奇亚不等式 .当 a1 x ，a2y ，a3z ，n3 时， axy z ，b1 yz ，b2z x ， b3x y3222第 5页代入 (23)

14、 式得：f ( x)f ( y)f ( z) 3 f ( x y z ) 2 f ( y z )f ( z x )f ( x y )3222即： f (x y zf ( x) f ( y) f (z)2x y)y zf (z x)3 f (f () ( 25)33222(25) 式正是 (22) 式.Ch9. 加权不等式9.1 若 ai (0,) ， i0, 1 （ i1, 2,., n ），且 12.n1 ，则：a11 a22 .anna1 1a22.ann(26)( 26) 式就是加权的均值不等式，简称加权不等式 .( 26) 式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值 .Ch10. 赫尔德

15、不等式10.1 若实数 a,b 0 ，实数 p, q1 且 111 ，则： aba pbq(27)pqpqiff a pbq 时，等号成立 .( 27 ) 式称为杨氏不等式 .10.2 若 a1 , a2 ,. an 和 b1,b2 ,. bn 为正实数， p, q1 且 111 ，则：pq11a ba b .a b( apa p.ap ) p (b qb q.b q )q(28)1 12 2n n12n12n( 28) 式称为赫尔德不等式 .iffa pap.ap时，等号成立 .12nb qb qb q12n10.3 赫尔德不等式还可以写成：( a1pp. an p1qqbnq1a1 b1

16、a2b2. an bna2) p ( b1b2.) q( 29)nnn即： Dn (ab)2M p( a) M q (b) ，即：M p(a)M q (b)Dn (ab)( 30)简称：“ 幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是11，切比雪夫要求是同调；p1q赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大. ）第 6页10.4 若 a1 , a2 ,. an、 b1 , b2,.bn 和 m1 ,m2 ,.mn 为三个正实数序列， p, q1且 111 ，则：pqnn1n1pqai bi miaipmibi qmi( 31)i1i 1i 1( 31) 式称为加权赫尔

17、德不等式 .iffa1pa2pan p时，等号成立 .qq.qb1b2bn10.5 若 aij ( i1, 2,., m ;j1, 2,., n ) ，1 ,2 ,.,n 为正实数且 12.n1 ，则：mnnm(32)(aijj )(aij ) ji1j 1j 1i1( 32) 式称为普遍的赫尔德不等式 .10.6 推论：若 a1 , a2 , a3N， b1 ,b2 , b3N ， c1 , c2 , c3 N，则：(a13a23a33 )(b13b23b33 )(c13c23c33 )( a1 b1c1a2b2c2a3b3 c3 ) 3(33)简称：“ 立方和的乘积不小于乘积和的立方” .

18、Ch11.闵可夫斯基不等式11.1 若 a1 , a2 ,., an ； b1 ,b2 ,., bn 为正实数，且 p1，则：n1n1n1(ai bi ) p ) p( ai p ) p(bi p ) p( 34)i 1i 1i1iffa1a2.an 时，等号成立 .b1b2bn( 34) 式称为第一闵可夫斯基不等式 .11.2 若 a1 , a2 ,., an ； b1 ,b2 ,., bn 为正实数，且 p1，则：nn1n1pai ) p( ai pbi p ) p(bi )p( 35)i1i 1i 1iffa1a2.an 时，等号成立 .b1b2bn( 35) 式称为第二闵可夫斯基不等式

19、 .11.3 若 a1 , a2 ,., an ； b1 ,b2 ,., bn ； m1 , m2 ,., mn 为三个正实数序列，且 p1，则：n1n1n1( (ai bi ) p mi ) p( ai pmi ) p( bi pmi ) p(36)i 1i 1i 1第 7页iffa1a2.an时，等号成立 .b1b2bn( 36) 式称为第三闵可夫斯基不等式.Ch12.牛顿不等式12.1 若 a1 , a2 ,., an 为任意实数，考虑多项式：P( x)( xa1 )( xa2 ).(xan )c0 xnc1 xn 1.cn 1 xcn( 37 )的系数 c0 , c1 ,., cn 作

20、为 a1 , a2 ,., an 的函数可表达为：c01 ；c1a1 a2.an ；c2a1a2a1 a3.an 1anai a j ；（ ij n）c3ai aj ak ；（ ij kn ）cna1a2 .an .对每个k1, 2,., n ，我们定义 pkckk !( n k )!Cnkck ( 38)n!则 (37 ) 式类似于二项式定理，系数为：ck Cnk pk .12.2 若 a1 , a2 ,., an 为正实数，则对每个 k1, 2,., n 1 有：p1pp 2( 39)kk 1kiff a1a2.ak 时，等号成立 .( 39) 式称为牛顿不等式 .Ch13.麦克劳林不等式

21、13.1 若 a1 , a2 ,., an 为正实数，按 ( 38) 定义，则：111p1p22.pk k .pnn(40)iff a1a2.ak 时，等号成立 .( 40) 称麦克劳林不等式 .Ch14.定义多项式14.1 若 x1 , x2 ,., xn 为正实数序列，并设1 , 2 ,.,n 为任意实数 .记： F ( x1 , x2 ,., xn )x1 1 x2 2 .xn n ；第 8页T 1 , 2 ,.,n 为 F ( x1 , x2 ,., xn ) 所有可能的积之和，遍及1 , 2 ,., n 的所有轮换 .14.2 举例说明T 1, 0, 0：表示共有3个参数的所有积之和

22、，共有3!6项. 第1个参数的指数是1，第 2和第3个参数的指数是0.故：,()! (100100100)() .x y z y x z z y x2T1003 1x y zT 1, 1：表示共有2 个参数的所有积之和，共有2!2项. 第 1 个和第 2 个参数的指数是 1.故：, (2)! (11 )2xy .T 1 11x yT 1, 2：表示共有2 个参数的所有积之和，共有2 !2项. 第 1 个参数的指数是 1 ，第 2个参数的指数是2.故： , ()! (x1 212 )22y .T 1 22 1y y xxy xT 1, 2, 1：表示共有3个参数的所有积之和，共有3!6项. 第

23、1 个参数的指数是1 ，第 2个参数的指数是2，第3个参数的指数是1.故：, ,(222) .xyzxyzT1212 xy z即： T 1, 2, 1T 2, 1, 1 T 2, 1, 0：表示共有3个参数的所有积之和，共有3!6项. 第1个参数的指数是2，第 2 个参数的指数是1 ，第 3 个参数的指数是 0 .故： T 2, 1, 0 x2 y x2 z y2 x y2 z z2 x z2 y. T 3, 0, 0：表示共有3个参数的所有积之和，共有3!6项. 第1个参数的指数是3，第 2 个和第 3 个参数的指数是 0 .故： T3,0,02( x 3y3z3 ) . T a, b, c

24、：表示共有3个参数的所有积之和，共有3!6项. 第1个参数的指数是 a ，第 2 个参数的指数是 b ，第 3 个参数的指数是 c .故：, , a b ca cbb c ab a cc a bc b a.T ab c x y z x y zx y z xy z xy z x y z由于 T a,b, cT b, c,aT c, a,bT c,b, a Tb,a,c. 表达式比较多，所以我们规定： T a, b,c （ abc）.Ch15.舒尔不等式15.1 若R ，且0 ，则：T2,0,0T ,2T , 0(41)第 9页( 41) 式称为舒尔不等式 .15.2解析 (41) 式T2, 0,

25、 0 2( x2y2z2 ) ；T, 2( x y zx y zxy z ) ；T, , 0 xyx yyzy zx zxz将上式代入 (41) 式得：x2y2z2xyxy即： x2y2z2xyxyxyzxyzxyzyzyzxzxzxyzxyzxyzyzyzxzxz0即： x( x2y zx yx z ) y( y2x zx yy z )z ( z2x yy zx z ) 0即： x( xy)( xz)y( yz )( yx )z( zx)( z y ) 0 (42 )( 42) 式与 ( 41) 式等价，称为舒尔不等式 .15.3 若实数 x, y, z0 ，设 tR ，则：xt ( xy)

26、( xz)yt ( yz)( yx ) zt ( z x)( zy)0(43)iff xyz 或 xy, z0及轮换，等号成立 .按照 ( 41)式写法，即：t ，1 ，则：Tt2, 0, 0T t ,1, 12T t1, 1, 0(44)(43) 式是我们最常见的舒尔不等式形式 .15.4 推论：设实数 x, y, z 0，实数 a, b, c 0 且 abc 或 abc ，则：a( xy)( xz)b( yz)( yx) c( zx)( zy)0(45)(43) 式中， xta ， ytb， ztc ，就得到 (45) 式.15.5 推论：设实数 x, y, z0 ，则：3xyz x 3y

27、3z33332( xy) 2( yz) 2( zx)2(46)15.6 推论：若 k(0,3，则对于一切 a,b, cR ，有：第10页2a2b2c2(3 k ) k( abc)k2(ab bc ca)(47)Ch16. 定义序列16.1 设存在两个序列 ( i )ni 1( 1,2 ,., n )和 ( i )ni 1( 1 , 2 ,., n ) ，当满足下列条件：12.n12.12.n 且 12.12.s12.对一切 s1, n ，式都成立 .nns则： ( i )ni 1 就是 ( i )ni 1 的优化值，记作： ( i )( i ) .注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.

28、Ch17.缪尔海德不等式17.1 若 x1 , x2 ,., xn 为非负实数序列，设( i ) 和 ( i ) 为正实数序列，且 ( i )( i ) ，则：T i T i (48)iff( i )( i ) 或 x1x2.xn 时，等号成立 .(48 ) 式就缪尔海德不等式 .17.2 解析 (48) 式若实数 a1a2a30 ，实数 b1b2b30 ，且满足 a1b1 ， a1a2b1 b2 ，a1 a2 a3b1b2b3 ；设 x, y, z0 ，则：满足序列 (b1 ,b2 ,b3 )( a1 , a2 , a3 ) 条件，则： T b1 ,b2, b3 xbybzb3x byzb2

29、xbybzxbyzb1xyb zbxb3ybzb121b321b32b3b31221T a1, a2 , a3 xa1 ya2 za3x a1 ya3 za2xa2 ya1 za3xa2 ya3 za1xa3 ya1 za2x a3 ya2 za1即 ( 48) 式为： T b1 ,b2 ,b3 T a1, a2 , a3 用通俗的方法表达即：xaya2za3xbyb z(49)112b3symsym(49 ) 式就缪尔海德不等式的常用形式 .17.3 例题：设 ( x, y, z) 为非负变量序列，考虑 (2, 2, 1)和(3,1,1) .由 16.1 中的序列优化得： (2, 2, 1)

30、( 3, 1,1)由缪尔海德不等式 ( 48)式得： T 2, 2, 1T 3,1,1T2,2,12( x2 y2 zx 2 yz2xy2 z2 )T3,1,12( x3 yzxy3 z xyz3 )第 11页将代入得： x 2 y2zx 2 yz2xy2 z2x3 yzxy3zxyz3即： xyyzzxx2y2z2由柯西不等式： (x22z2 )(2z2x2 ) (xyyz)2yyzx即：222)2()2(xyzxyyzzx即： x2y2z2xyyzzx式式等价， 这就证明了式是成立的， 而缪尔海德不等式直接得到式是成立的.式可以用 T 2, 0, 0T 1, 1, 0来表示，这正是缪尔海德

31、不等式的(48 ) 式 .Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间 IR 的函数 f 为向下凸函数，且当 ai ,bi I （ i 1, 2,., n ）两个序列(ai ) ni 1 和 (bi )ni 1 满足 ( ai )(bi ) ，则：f (a1 )f (a2 ).f (an)f ( b1 )f ( b2 ).f ( bn )(50)(50 ) 式称为卡拉玛塔不等式 .18.2 若函数 f 为严格向下凸函数，即不等取等号，(ai )(bi ) ，且 (ai )( bi ) ，则：f (a1 )f (a2 ).f (an)f ( b1 )f ( b2 ).f ( bn )(51)若函

32、数 f 为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数 f : (a, b)R 在区间 ( a, b) 对一切 x, y (a, b) 为单调增函数，则当 xy 时，有 f ( x)f ( y) ；若 f 在区间 ( a,b) 对一切 x, y (a,b) 为严格单调增函数，当 xy 时，有 f ( x)f ( y) .19.2若实数函数 f : (a, b)R 在区间 ( a, b) 对一切 x, y (a, b) 为单调减函数，则当 xy 时，有 f ( x)f ( y) ；若 f 在区间 ( a,b) 对一切 x, y (a,b) 为严格单调减函数，当 xy 时，有 f ( x)f ( y) .19.3 若实数函数 f : (a, b)R 在区间 (a,b) 为可导函数，当对一