小学数学解题方法、思路归纳14：小学数学数阵问题

1、第十四讲 数阵问题问题 58：幻方一、三阶幻方例 1.把数 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入下面的 9 个方格里，使每行、 每列以及每条对角线上的 3 个格里的数的和都相等，等于 15。分析与解：把所给的数按从小到的顺序排列成一行，确定出排在中间位置的 数（可以叫做中位数）是 5，把 5 首先填在方格的中间。1 、2、3 、4 、5 、6 、7 、8、9中位数要使每行、每列以及每条对角线上的 3 个格里的数的和都相等，我们以 5 为 中心，把其它数等距离分为四组：1 和 9、2 和 8、3 和 7、4 和 6。那么， 1 和 9 就要排在同一行，或同一列，或同一对角线两端的方格里；

2、同样的道理， 2 和 8、3 和 7、4 和 6 也都要排在同一行，或同一列，或同一对角线的两端的方 格里。此时，每行、每列以及每条对角线上的 3 个格里的数的和都等于 15。由于三个数的和是 15，9 是最大的数，9 不能填在相同的一行里，因此第 组数 1 和 9 不可能填在对角线两端的方格里。所以，把奇数组，第组数 1 和 9、 第组数 3 和 7 分别填在中间一列、中间一行。把偶数组，第组数 2 和 8、第组数 4 和 6 分别填在对角线两端的方格里，102由于 8 不可能与 9 在相同的一行里，所以 2 要填在与 9 相同的一行里。再经过试 算、调整就可以填写出来。除了上面的解法外，我

3、们还可以用逐步调整的办法解决这个问题： 先将从 1 到 9 这九个数字按一般形式排成一个方阵（如图（1）579 71593图（1 ）图（2 ）图（3）这时，图（ 1）的两条对角线、第二行、第二列上的三个数字的和已经都等 于 15。同时利用行列式的对角线法则，平行于主对角线或次对角线的三个元素： （2，6，7）；（4，8，3）；（2，4，9），（6，8 ，1）的和都等于 15 。我们采用下 面的“对角线”法则对图（ 1）的元素作下列调整：（1）将两条对角线上的元素 绕中心旋转 45 度（顺时针或逆时针都可），如图（2）或图（3）所示；（2）对于 剩下的元素 2、4、6、

4、8，考虑它所在的“主对角线组”和“次对角线组”，例如 元素 2，它对应的“主对角线组”为（2，6，7），“次对角线组”为（2，4，9）， 因此“2”的主对角元为 7，次对角元为 9，这样 2 在图（2）或图（3）中的位置 应该在十字架的“7”与“9”的交叉处；同理，4 应该在“3”与“9”的交叉处； 6 应该在“7”与“1”的交叉处；8 应该在“3”与“1”的交叉处。这样填好之 后，得到图（4）或图(5)。816357492672159834图（4）图（5）这两个图已经符合题目的要求。上面的这道题是有趣的数字排列图，叫做幻方（古人把它叫做九宫图）。幻 方是我国祖先早在几千年以前就已经发现了的。

5、我国古代有“河图”和“洛书”的传 说：在原始部落伏羲时代，有龙马出于黄河背负“河图”，有神龟出于洛水背负“洛103书”。而这种“河图”和“洛书”的形象最早是宋人根据郑玄的乾凿度中的“载九 履一，左三右七，二四为肩，六八为足 ”造出来的。如下图所示，我们填写的方 阵图正好与这种“河图” 、“洛书”的形象完全一致。“洛书”作为数字方阵，也就是 我们所说的三阶幻方。直到现在，仍然是许多数学家和数学爱好者感兴趣的问题。其实，在三阶方阵里填写的数不一定是从 1 开始的自然数，可以从任何一个 数开始，这一列数可以是任何一个等差数列。二、五阶幻方我们继续用上面的调整法来制作五阶幻方。将数 1 到 25 按自

6、然排列排成一个 5 阶方阵，如图（6）所示。按照幻方的要 求，五行、五列、两条对角线上的5 个数的和应该相等。我们首先计算这个和应 该等于多少。由于 1232425=65，而 655=13，这说明 5 阶幻方与 3 阶幻 方一样，中心位置的数应该是 13。在图（5）中，两条对角线、第三行、第三列的 5 个数的和已经都等于 65： 17131925=65；59131721=65像三阶幻方那样，我们仍然采用下面的“对角线”法则对图（ 6 ）的元素作 下列调整：（1）将两条对角线上的元素绕中心旋转 45 度得图（7）或图（8）：10421234 5516 7 8 9 10 11 12 13 14 1

7、5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25图（6 ）91 7 13 19 25 1721图（7 ）721 17 13 91925图（8 ）5（2）对剩余的元素，写出它相应的“主对角线组”和“次对角线组”：例如 元素 2，它的“主对角线组”和“次对角线组”分别是（2 ，8，14，20，21），（2， 6，23，19，15），这样 2 在图（7）或图（8）中应该在对角元 21 和 19 的交叉处； 同时，在图（6 ）中关于中心对称的两个元素在调整后的图（ 7）或图（8）中的 位置也应该是关于中心对称的，这样 24 在图（7）或图（8）中的位置就应该在 7 和 5 的交叉处；如此

8、下去，就得到下面的图（9）或图（10）：18 24 56 1214 10 122 1817 24 181522 3915 1620 11 73 2423 57 14 1617 13 19 25 21 17 13 954 613 20 2210 11 17 23 414 20 21 2 8 图（9 ）2 23 19 15 6 8 4 25 16 12图（10 ）10 12 19 21 3 11 18 25 2 9图（11 ）这种手段可以用到一般的奇数阶幻方的制作上。对于奇数阶幻方，有人发现了下面的制作方法：对于 1、2、3、n ，先将 1 置于顶行正中，按照从小到大的顺序向右 上方的临近方格填写

9、，遇到右上方“出格”（没有方格）的情形，按照下面三个 原则处理：（1）要填的数超出上方边界，则填到“出格”的这一列的最下面；（2） 要填的数超出上右边界，则填到“出格”的这一行的最左边；（3）要填数的位置 上已经有别的数，或者超出右上角，则填在前一数的紧邻下方。图（11）就是按 照这种规则得到的 5 阶幻方。三、四阶幻方对于偶数阶幻方，就不存在上面的“对角线法”，这是因为偶数阶幻方没有105中心元，虽然两条对角线的元素之和相等（等于（116）16（24）=34）， 但旋转 45 度后形成不了十字架，因此“对角线法”就不存在。这里只介绍前人研究得到四阶幻方的两种制作方法：12 3 4 1623

10、131 15 14 456 7 85 11 10 812 6 7 99 10 11 12976 128 10 11513 14 15 16图（12 ）4 14 15 1图（13 ）13 3 2 16图（14 ）我们先将这 16 个数按自然顺序排成一个正方形（图（12）所示），它的两条 对角线上的数字之和已经等于 34，将每条对角线上的元素都进行中心对称交换， 这样得到的图（13）已经符合要求。另一种是四周不位于角上八个元素做正方形 的中心对称交换，得到符合要求的图（14）。四、幻方欣赏1、母子幻方31 36 29 76 81 74 13 18 1130 32 34 75 77 79 12 14

11、 1635 28 33 80 73 78 17 10 1522 27 20 40 45 38 58 63 5621 23 25 39 41 43 57 59 6126 19 24 44 37 42 62 55 6067 72 65 4 9 2 49 54 4766 68 70 3 5 7 48 50 5271 64 69 8 1 6 53 46 51图（15 ）这个幻方由 9 个小幻方组成，整体本身也是一个 9 阶幻方。2、欧拉象棋马周游世界幻方1061 48 31 50 33 16 63 183051 46 3 62 1914 3547 2 49 32 15 34 17 64 52 29 4

12、 45 20 61 36 13 5 44 25 56 9 40 21 60 28 53 8 41 24 57 12 3743 655 26 39 10 59 2254 27 42 7 58 23 38 11图（16 ）这个幻方是伦哈德欧拉在 18 世纪发现的。它由 4 个小幻方构成，也是一 个母子幻方。这个幻方的奇妙之处是，如果按照国际象棋中马的走法，马从数字 1 开始，可以依次到达从 1 到 64 的每一个数。所以人们把它称之为“欧拉象棋 马周游世界幻方”。3、六角幻方这个幻方是一个叫阿当斯的美国人发现的，发现这个幻方，阿当斯耗费了 47 年的业余时间。不仅如此，美国研究幻方的专家马丁加德纳

13、还证明了六角 幻方仅此一个再无其它。1514 139 8 106 411 5 121 218 7 1617 193五、其它形式的幻方例 2.把 1、2、3、4、5、6、7 分别填入下面图中的圆圈里，使每条线上的 3 个圆圈里数的和相等。107分析与解：填数的关键是确定图形中心位置圆圈里的数。设中心圆圈里的数是 a，由于 a 一共加了三次，所以有：12345672a282a又由于每条线上的三个圆圈里数的和相等，那么 282a 能被 3 整除。而 28 2a39（12a），12a 就能被 3 整除，因此，a 是 1 或 4 或 7。36171672154 26453 25743例2 图1例2 图2

14、例2 图3当 a 是 1 时，每条线上的三个圆圈里数的和是（282）310，每条线上 另两个数的和是 9，所以把剩下数分为三组：2 和 7、3 和 6、4 和 5，分别填入 就可以得出一种填法，见上面的图 1。当 a 是 4 时，每条线上的三个圆圈里数的和是（288）312，每条线上 另两个数的和是 8，所以把剩下数 分为三组：1 和 7、2 和 6、3 和 5，分别填入 就可以得出一种填法，见上面的图 2。当 a 是 7 时，每条线上的三个圆圈里数的和是（2814）314，每条线 上另两个数的和是 7，所以把剩下的数分为三组：1 和 6、2 和 5、3 和 4，分别 填入就可以得出一种填法，

15、见上面的图 3。这是一道辐射型的数阵，要填的数还可以是其它的一些数。一般来说，这几 个数是有限等差数列的数，其解题思路与这道例题的思路完全相同。例 3 把数字 1、2、3、4、5、6 填到下面图中的圆圈中，使每条线上 3 个数 的和相等。108分析与解：填数的关键是确定图形 3 个顶点处的数。1124656453322 43325 416 516图（1）图（2）图（3）图（4）设 3 个顶点处的数分别为 a、b、c，每条线上 3 个数的和为 k，把 3 条线上 的数相加得：12345621（abc）3k可以看出（abc）能被 3 整除，并且 k=7（abc）3。当 a、b、c 分别是 1、2、3 时，123=6，6 能被 3 整除，并且 k=9。把 1、 2、3 分别填到图形的三个顶点圆圈里，再用 9 减去两个顶点上的数，就可以确 定中间的数是什么，从而得到一种填法。如上面的图 1。当 a、b、c 分别是 1、3 、5 时，135=9，9 能被 3 整除，并且 k=10。把 1、3、5 分别填到图形的三个顶点圆圈里，再用 10 减去两个顶点上的数，就可 以确定中间的数是什么，从而得到一种填