第06讲导数构造辅导助函数问题选择填空题专练

1、(0, +)( )， b =-2f -2 ， c = lnf222 1 第六讲 导数构造辅导助函数问题选择填空题专练a 组一、选择题1已知f (x)是函数f (x)(xr且x0)的导函数，当x 0时 ，xf (x)-f(x)0成立，记 a =f (20.2), b =20.2f (0.22), c =0.2 2f (log 5)2log 52，则（ ）aca b c c a bbdb a c c b a【答案】c 【解析】(f ( x) xf (x)-f(x) )=x x 20， 所 以函 数g ( x) =f ( x )x在 上 单 调递减 ， 又0.2 2 1 2 0.2 2 log 52

2、，所以c a 0 ，若 a =1 1 1 f ln ，则 a ，b ，c 的 2 大小关系是（ ）a a b cb b c ac c a bd a c 0 ， 即2 2 2 2 x x0 ， 当 x 0 时 ，f ( x) +xf ( x ) 0， 即 g ( x) 0， 所 以 函 数 g ( x)在 ( -,0)单 调 递 减 ， 又1 1 -2 ln (ln ) f (ln ) - f ( - )2 2 2 2，即 a c f ( x ) tan x成立.则有（ ）acp p p3 f ( ) 2cos1 f (1) 6 3 6p p p p2 f ( ) 6 f ( ) d 2 f (

3、 ) f ( x) tan x且px (0, )2， 则f ( x ) c-xo s f x(，)x设g ( x=) f ( x )，c则 gx (x) =f ( x)cos x -f ( x)sin x 0，所以 g ( x)在p(0, )2上是增函数，所以选 ap p p p p p p p g ( ) g ( ) ，即 f ( )cos f( )cos ，即 f ( ) 3 f( )3 6 3 3 6 6 3 6故4 函 数f ( x)是 定 义 在( -,0)上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为f ( x )且 有3 f ( x )+ xf ( x)，0则不等式( x +20

4、16)3f ( x +2016) +8 f ( -2) 0的解集为（ ）ac(-2018,-2016) (-2016,-2015)bd(-,-2018) (-,-2012)【答案】a 【解析】依题意，有x3 f (x)=x23f(x)+xf(x)0 ，故 x 3 f (x)是减函数，原不等式化为(x+2016 )3f (x+2016 )x + - x2(- -0).1 6 2 ,5 定义域为 r 的可导函数y = f (x)的导函数为f(x)，满足f (x)f(x)，且f (0)=2，则不等式 (-,0)a f (x)2ex的解集为（ ） (-,2)b c (0,+)d(2,+)【答案】c 【

5、解析】构造函 数f (x)=f (x)e x, f(x)=f(x)-f(x) e x0 ， f (x)在r上单调递减， 故f(x)2ex等价于f (x) f (0)0 e x e 0.6设 f（x）是定义在 r 上的奇函数，且 f（2）0，当 x0 时，有xf（x）-f（x）0 的解集是（ ）a（2,0）（2，） b（2,0）（0,2） c（，2）（2，） d（，2）（0,2） 【答案】d【解析】试卷第 2 页，总 15 页x-x ，是奇函数，且 f ( -1) =0 ，f ( x ) =3 x因为当x 0时，有xf(x)-f(x) x 20恒成立，即f (x) 0；在(2,+)内恒有f (x

6、)0；在(-2,0)内恒有 f (x)0的解集，即不等式f (x)0的解集故答案为：(-,-2)(0,2)，选d.7 设 函 数f( x)是 奇 函 数 f ( x) ( x r )的 导 函 数 ， f ( -1)= 0， 当 x 0 时 ，x f( x)- f ( x) ，0则使得 f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是( )a ( -,-1)c ( -,-1)【答案】b 【解析】(0,1)( -1,0)b ( -1,0) (1,+)d (0,1) (1,+)考虑取特殊函数f ( x ) =x3 2-1，当x 0时，xf ( x ) - f ( x ) =x (3 x 2 -1) -

7、( x 3 -x ) =2 x30 ， 满 足 题 设 条 件 . 直 接 研 究 函 数f ( x ) =x3-x，图象如下图，可知选 b 答案.8 定 义 在0,+的 函 数f (x)的 导 函 数 为f (x), 对 于 任 意 的 x 0 , 恒 有f (x)f(x),a=e3f (2),b=e2f (3),则a,b的大小关系是（ ）aa bba 0，故f ( x ) =f ( x)e x在0, +上单调递增，则f (2) f (3)，即f (2) f (3)e 2 e 3，也即e3f (2) e2f (3) ，所以 a b ，试卷第 3 页，总 15 页x4应选 b。9已知定义在实数

8、集 r上的函数 f(x)满足 f(1) 4，且 f(x)的导函数满足 f (x) 3，则不等 f(lnx) 3lnx 1的解集为（ ）a (1, )b (e, )c (0,1)d (0,e)【答案】d【解析】令 t lnx ，则； f(lnx) 3lnx 1， f(t) 3t 1,f(t) 3t 1 0，可构造函数， g(t)=f(t)-3t-1,(t)=f(t)-3,f(t) f (0)d.f (1) e e 0，13 定 义 在 r上 的 函 数 f ( x )满 足 ： f ( x ) + f ( x) 1， f (0) =4， 则 不 等 式exf ( x) ex+3 （其中 e 为自

9、然对数的底数）的解集为 【答案】 (0,+)【解析】设g (x)=exf(x)-ex， 则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1，q f (x)+f(x)1， f (x)+f(x)-10， g(x)0， y =g (x)在定义域上单调递增，q e x f (x)ex+3 (0,+)答案为， g (x)3，又q g (0)=3， g (x)g(0)，x0故一、选择题1已知函数f (x)b 组对定义域 r 内的任意 x 都有 f (x)=f(4-x)，且当x2时其导函数f (x)满足xf (x)2f(x)，若2 a 4，则（ ）a.f (2a)f(3)f(loga)

10、2b.f (3)f(loga )f(2a)2c.f (log a )f(3)f(2a) d. f (log a )f(2a)2 2 f (3)【答案】c【解析】函数 f（x）对定义域 r 内的任意 x 都有 f（x）=f（4-x），f（x）关于直线 x=2 对 称；又当 x2 时其导函数 f（x）满足 xf（x）2f（x） f（x）（x-2）0， 当 x2 时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当 x2 时，f（x）在（-，2）单调递减；2a4，1 log a f(x)对于xr恒成立（ e 为自然对数的底），则（ ）ae2015f (2016)e2016 f (2015)

11、be2016f (2016)=e2016f (2015)ce2015f (2016)e2016f (2015)de2015f (2016)与e2016 f (2015)大小不确定【答案】c 【解析】令 g ( x ) =f ( x )e x， 则g ( x ) =f ( x ) - f ( x ) e x0， 所 以 g ( x)在 r上 单 调 递 减 。 有g (2016) g (2015)即f (2016) f (2015)e 2016 e 2015，所以e 2015 f (2016) e 2016 f (2015)，故选 c.3 已 知 函 数f (x)(xr)满足f(1)=1，且f

12、(x)的 导 函 数f(x)13， 则x 2f x +3 3的解集为（ ）ax-1x 1xx -1 c【答案】b 【解析】令 f（x）=f（x）-13dx，则xx 1f（x）=f（x）-130，函数 f（x）在 r 上单调递减函数，f (x)x 2+3 3，f（x）-1 1 xf（1）- ，3 3即 f（x）f（1），根据函数 f（x）在 r 上单调递减函数可知 x14已知在实数集 r 上的可导函数 f ( x )，满足 f ( x +2)是奇函数，且1f ( x)2，则不试卷第 6 页，总 15 页e x()()2e)1221等式 f (x) x -1 2的解集是（ ）a.（-，2） b.（

13、2，+） c.（0，2） d.（-，1） 【答案】a【解析】令 f ( x ) = f ( x) -1 1 1 1 x +1 ,则 f / ( x) = f / ( x) - ,因 2 ,故 0 f / ( x) 2 2 f ( x) 2,所以f / ( x ) f (2),由函数的单调性可知 x 2 ,应选 a.5若0 x x 11 2,则( )a ex2 -e x1ln x -ln x 2 1c x e2x1 x e1x2【答案】d 【解析】设 f (x)= f xe x x -e x x -1x = = 当 0 x 1 时 fx e x(x)0，函数 单 调 递 减 ， 由0 x x f

14、(x2e x e x x e x x1 2x1x e1x26设函数 f ( x) 在 r 上存在导数 f(x)，x r ，有 f ( -x) + f ( x ) =x2，在 ( 0,+)上 f (x) xa、 -2,2c、 0, +)【答案】b 【解析】，若 f (4 -m ) - f ( m ) 8 -4 m ，则实数 m 的取值范围为（ ） b、 2, +)d、 ( -,-2 2, +)令g (x)=f(x)-12x 2 , g (x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0，g (x)为奇函数，在(0, +)上g (x)=f(x) -x 0 ， g (x)在(0, +)上递减，在(-

15、,0)上也递减，由g (0)=0知 ，g (x)在 r上 递 减 ， f (4 -m ) - f ( m ) 8 -4 m可 得试卷第 7 页，总 15 页g (4-m)g(m),4-mm,m2，即实数m的取值范围为 2, +)，故选 b.7已知定义在 r上的函数 f ( x )和 g ( x)满足 f ( x) =f (1)2e2x -2 +x 2 -2 f (0) x，且g ( x) +2 g ( x) 0，则下列不等式成立的是（ ）a f (2) g (2015) g (2017)c g (2015) g (2017)d g (2015) f (2) g (2017)因为 f ( x )

16、 =f (1)2e2 x -2+x2-2 f (0) x ，所以 f ( x ) = f (1)e2 x -2+2 x -2 f (0)，所以f (1) = f (1)e2-2 +2 -2 f (0) f (0) =1，又 f (0) =f (1)2e-2 f (1) =2 e2，得f ( x ) =e2 x+x2-2 x f (2)=e2；令j(x)=e2 xg ( x) j (x)=2e2 xg ( x ) +e2 xg (x)，又因为g ( x) +2 g ( x) 0，所以j (x)j(2017) e22015g(2015)e22017g(2017) g(2015)e2g(2017)

17、g (2015)f(2)g(2017)，故选 d.8 设 函 数f( x )是 奇 函 数 f ( x) ( x r )的 导 函 数 ， f (-1)= 0当,x 0时 ，x f( x)-f( x0成立的x的取值范围是（ ）a.( -1,0) (1,+)b.( -,-1)(0,1)c.( -,-1)(-1,0)d.(0,1) (1,+)【答案】b 【解析】根 据 已 知 条 件 可 构 造 函 数g ( x ) =f ( x )x， 则 g ( x )为 偶 函 数 ， 由 f (-1)= 0,可 知g (-1) =g (1) =0可 求 得 导 函 数g(x) =xf(x) - f ( x

18、 ) x 2， 因 为 当 x 0 时 ，x f( x)-f( x)，0所以 g(x) 0 ，则当 x 0，所以在区间 ( -1,0) u (0,1)上有 g ( x) 0，在区间( -,-1) u（1，+）上有g ( x) 0的解集应该为 ( -,-1)(0,1)，所以本题的正确选项为 b.9 定 义在(0,+)上的可导函数f (x)满足f (x)x0的解集为（ ）ac(0,2) (2,+)bd(0,2)(0,3)(2,+) (3,+)【答案】a 【解析】因为f (x)xf(x)，所以f(x)x-f(x)0f (x)f (x)x-f(x) =x x 20的解为(0,2)即f (x)x0的解集

19、为(0,2)，故选 a.10设函数 f ( x )在 r 上的导函数为 f(x) ，在 (0 ，+) 上 f(x) sin 2 x，且x r，有f ( -x) + f ( x) =2 sin2x，则以下大小关系一定正确的是（ ）a.f (5p 4p p) f ( ) b. f ( ) f ( p) 6 3 4c.f ( -5p 4 p ) f ( -p) 4【答案】c 【解析】由f ( -x) + f ( x ) =2 sin 2 x， 可 得f (-x)-sin2(-x)+f (x)-sin2x=0， 设g (x)=(f)-xsi2n则xg (-x)+g(x)=0，所以g(x)是 r上 的

20、奇 函 数 ， 又 在(0 ，+)上 f(x) sin 2 x，即g(x)=f(x)-2sinxcosx=f(x)-sin2x0，所以g (x)在(0，+)上是减函数，又g (x)是r上的奇函数，所以g (x)是r上的减函 数 ， 所 以 5p 4p g - g - 6 3 ， 即f-5 p6 1 p4 - f - - 2 31， 因 此2f ( -5p 4p 5p 4p ) f ( - ) ，故答案填 f ( - ) 0 时， xf (x)-f(x)0，记 a =f (20.2) f (0.22), b = , c = 2 0.2 0.2 2f(log 52log 52)，则（ ）a a b

21、 cb b a cc c a bd c b a【答案】c试卷第 9 页，总 15 页【解析】由题意得，设g (x)=f (x)x，则g(x)=xf (x)-f(x)x 20 时，函数g (x)的 单 调 递 减 函 数 ， 又 1 20.22,0.222 2， 所 以f (l o g)2l o g25f (205 0 .).22 2f(0 ).22，即 c a b ，故选 c. 20 . 2二、填空题12已知定义在 r 上的可导函数 f ( x) 满足 f( x) 1 -2 m，则实数 m 的取值范围是_ 1【答案】 ( ,+)2【解析】令 f ( x ) = f ( x ) -1,则f /

22、( x ) = f / ( x) -1 1 -2 m 1 1m ,答案为 ( , +)2 2可 得 f (1 -m ) f ( m ), 故1 -m m, 即c 组一、选择题1已知定义在 r 上的可导函数 y = f ( x)的导函数为 f(x)，满足 f(x) f ( x)，且y = f ( x +1)为偶函数， f (2) =1，则不等式f ( x) ex的解集为（ ）a.( -,0)b.(0, +)c.( -,e4 ) d. ( e 4 , +)【答案】b 【解析】因为 y = f ( x+1)为偶函数，所以f (1-x ) = f ( x +1)，因此f (0)=f(2)=1令h (x

23、)=f ( x )e x，则原不等式即为h(x)h(0)又h(x)=f (x e)x-f x ex( f )x -f x ( ) ( )= ， f (x) f ( x ) ，所以e2 x e xh (x)0，所以函数h (x)在 r 是减函数，所以由h (x)0，故选 b2定义在 (0, +)上的单调递减函数 f ( x ) ，若 f ( x)的导函数存在且满足f ( x ) f (x)x，则下列不等式成立的是（ ）试卷第 10 页，总 15 页a 3 f (2) 2 f (3)d f (2) 2 f (1)【答案】c 【解析】b 3 f (4) 4 f (3)c 2 f (3) 3 f (4

24、)因为在 (0, +)上函数 f ( x )单调递减，则 f (x) x，所以 f ( x ) 0设 g ( x ) =f ( x ) xf (x) -f ( x) ，所以 g ( x) =x x 20，即函数 g ( x )在 (0, +)上 单 调 递 增 所 以f ( 4 ) f ( 3) f ( 2 ) f (1) ， 即 3 f ( 4 ) 4f ( 3)， 4 3 2 12 f (3) 3 f (2)， f (2) 2 f (1)，故选 c3已知函数f (x)的导数为f (x)，且(x+1)f(x)+xf(x)0对x r恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）af (x)

25、bxf (x)ce x f (x) d xe x f (x)【答案】d 【解析】设f (x)=xexf(x),则f(x)=(x+1)exf(x)+xexf(x)=ex(x+1)f(x)+xf(x), (x+1)f(x)+xf(x)0对xr恒成立 ,且 ex0, f (x)0,f(x)在r上递增,故选 d.4已知f ( x) 是 r 上的减函数，其导函数f ( x )满足f ( x)f ( x)+x 1，那么下列结论中正确的是（ ）ax r，f ( x) 0b当且仅当x ( -,1)，f ( x) 0d当且仅当x (1，+)，f ( x) 0【答案】c 【解析】因 为f ( x)f ( x)+x

26、 1 ， f ( x)是 定 义 在 r 上 的 减 函 数 ，f (x ) f(x)，所以f ( x) + f(x)( x -1) 0，所以( x -1) f ( x )0，所以试卷第 11 页，总 15 页2x 2 x x 21333函数y =（x-1) f ( x)在r上单调递增，而x =1时，y =0，则 x 1时， y 1时，x -1 0,故f ( x) 0，又f ( x)是定义在 r 上的减函数，所以 x 1 时， f ( x) 0也成立，f ( x) 0 对任意 x r 成立5设1 x 2ln x ln x ln x 2，则 ， ( ) 2 ， 的大小关系是（ ） x x x 2

27、a(ln x ln x ln x 2 ln x ln x ln x) 2 b ( ) 2 x x x 2 x x x 22c(ln x ln x2 ln x ln x2 ln x ln x) 2 d ( ) 2 x x 2 x x 2 x x【答案】a 【解析】令f ( x) =x -ln x,1 x 0x，所以函数f ( x) =x -ln x ,1 x f (1) =1 0，所以x ln x 0，即ln x1 0x，所 以ln x ln x 0； 又 因 为 ， 所 以ln x ln x ln x ( ) 2 x x x 22，故应选 a .6 设 奇 函 数f(x)在 r 上 存 在 导 数f (x),且 在 (0,+)上