正方形知识点及同步练习含答案1推荐文档

1、【学习目标】1. 掌握正方形的定义、性质和判定方法.2 能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.3能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明.【主体知识归纳】1. 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：(1) 正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(2) 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形的判定(1) 根据正方形的定义；(2) 有一组邻边相等的矩形是正方形；(3) 有一个角是直角的菱形是正方形；(4) 既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【基

2、础知识精讲】1. 掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包 含两层意思：(1) 有一组邻边相等的平行四边形(菱形)正方形(2) 并且有一个角是直角的 平行四边形(矩形) 形正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.2. 正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45 ;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是 轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这

3、些最基本的内容.【例题精讲】例1如图4 50,已知矩形 ABCDK F为CD的中点，在BC上有一点E,使DC + CE AF平分/ EAD求证：矩形 ABCDI正方形.图 450剖析：欲证矩形 ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知 AE= DO CE 容易想到若能证明 AE= A CE便可证得 AD- DC由于AF平分/ EAD因此可在 AE上截取 AG= AD再证GE= CE就可得出要证的结论.证明：在 AE上截取AG= AD连结FG FE四边形 ABCD矩形，/ D=Z C- 90./ AD- AG / DAF=Z GAF AF= AF ADFA AGF - DF- GF,

4、 / D-Z AG- 90 ./ DF= CF, GF= CF.Z FGE=Z C= 90 , FE= FE, Rt GFE Rt CFE GE= CE - AD CE= AE 又 DO CE= AE AD- DC矩形ABCD是正方形.说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形， 再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角.例2如图4 51,已知正方形 ABCD勺对角线AC BD相交于点 O E是AC上一点， 过点A作AGL EB,垂足为 G AG交BD于点F,则0E= OF图 451对上述命题的证明如下：四边形ABCD正方形，Z BOE=Z AOF= 90 ,

5、 BO= AO Z 3+Z 2= 90 ,/ AGLBE Z 1 + Z 3-90. Z 1-Z 2 , BOE AOF OE= OF问题：对于上述命题，若点 E在AC延长线上，AGL EB交EB的延长线于 G AG的延长 线交DB的延长线于点F,其他条件不变（如图4 52）,结论“OE= OF”还成立吗？如果成立, 请给出证明；如果不成立，请说明理由.剖析：可仿上述的证明，证 BOEA AOF解：结论O氐OF仍然成立，证明如下：四边形ABCD是正方形，/ BOE=Z AOF 90, BO= AQ/ OFA-Z FAEF 90又 AGL EB / OEZ EAF= 90, Z OEFZ OFA

6、 BOA AOF - OE= OF例3有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍 的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来.图 453剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的.2倍，而正 方形的对角线是边长的 .2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形.答案：如图4 53,分别过B、D作AC的平行线，分别过 A C作BD的平行线，四条线 分别交于A、B、C、D，则四边形 A B C D为要求的正方形.【同步达纲练习】1 选择题(1)下列命题中，假命题的个数是()四边都相等的四边形是正方形对角线互相垂直的平行四边形是正方形四角都相等

7、的四边形是正方形对角线相等的菱形是正方形A. 1 B . 2 C . 3 D . 4)B.对角线相等D.每条对角线平分一组对角(2) 正方形具有而菱形不具有的性质是(A.对角线互相垂直平分C.邻边相等(3) 正方形的对角线与边长之比为()A. 1 : 1 B .2 : 1 C . 1 :2 D . 2 : 1(4) 以等边AABC勺边BC为边向外作正方形BCDE则/AB9105。，/ACB150。，/DAE30。，厶AB星AACD其中正确的结论有()A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个(5) 在正方形 ABCDh P、Q R S分别在边 AB BC CD DA上，且 AP= B

8、Q= CR= DS=1, AB= 5,那么四边形 PQRS勺面积等于()A. 17 B . 16 C . 15 D . 9(6) 如图4 54,正方形 ABCDK 0是对角线 AC BD的交点，过 O点作OEL OF分别交 AB BC于 E、F,若 AE= 4, CF= 3，则 EF等于()(7)在正方形A. 7 B . 5ABCD中, E、F两点分别是 BC CD边上的点，若AEF是边长为.2的等边三角形，则正方形ABCD勺边长为(8)如图 4 55,那么/ ANM等于(在正方形A. 45B. 55图 455C. 65D. 752. 填空题(1)已知正方形的面积是16 cm则它的一边长是 ，

9、一条对角线长是 (2) 已知正方形的对角线长为 2 J2，则此正方形的周长为 ，面积为(3) 在正方形ABCDK两条对角线相交于 Q / BAQ的平分线交BD于E,若正方形ABCD 的周长是16 cm，贝U DE=cm.(4) 在正方形 ABCD勺边BC的延长线上取一点 E,使CE= AC连结AE交CD于 F,那 么/ AFC等于度.3如图4 56,已知正方形 ABCD中, E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且 CE =CF.图 456(1) 求证： BCEA DCF(2) 若/ BEC= 60，求/ EFD的度数.14.已知：如图4 57,在正方形 ABCDK E是CB延长线上一点，E

10、B=丄BC如果F2是AB的中点，请你在正方形 ABCDb找一点，与F点连结成线段，并证明它和 AE相等.长NA交EF于M点.(1) 求证：EM= FM1(2) 若使AM= - EF,则厶ABC必须满足什么条件呢?2图 4586.如图4 58,已知正方形 ABCD中, M F分别在边 AB AD上，且 MB= FD E是AB 延长线上一点， MNL DM MN与Z CBE的平分线相交于 N.求证：Dl= MN7.如图4 59 ,已知C是线段AB上的一点，分别以AG BC为边作正方形 ACDE和BCFG图 459求证：AF= DB若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请 加以证明，如果不正确，请说明理由.【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地， 要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案.（在给出如图460的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）(2)图 460参考答案【同步达纲练习】1. (1)C (2)B (3) B(4) D(5) A (6)B (7) A (8) B2. (1)44 、2(2) 8 4( 3) 4(4) 112.53. (1)略(2) 154连结 CF,可证 ABEA CBF或连结 DF,让厶 ABEA DAF.5 .提示：（1）过点E