模拟有源滤波器设计的MATLAB实现

1、（200*届）本科毕业设计（论文）资料题 目 名 称： 模拟有源滤波器的MATLAB实现 学 院（部）： 电气与信息工程学院 专 业： 自动化专业 学 生 姓 名： 班 级： 学号 指导教师姓名： 职称 教授 最终评定成绩： 湖南工业大学教务处200*届本科毕业设计（论文）资料第一部分 毕业论文（2008届）本科生毕业设计（论文）模拟有源滤波器设计的MATLAB实现学 院、系：电气与信息工程学院 专 业：自动化专业 学 生 姓 名： 班 级： 学号 指导教师姓名： 职称 教授 最终评定成绩 2008 年 6月摘 要本文阐述了滤波器的基本概念，介绍了模拟有源滤波器的设计原理和逼近理论。其中包括巴

2、特沃思逼近、切比雪夫I型逼近、切比雪夫型逼近、椭圆函数逼近和贝塞尔逼近。并研究了模拟有源滤波器的设计流程及性能测试。综合了传统的硬件设计方法与软件编程技术,由MATLAB仿真出了各种滤波器逼近技术的幅频特性曲线并进行了实例分析。对巴特沃思滤波器实例的研究仿真，由程序快速的得到了最小阶数和截止频率，取代了传统繁复的计算；方便的实现了由模拟低通滤波器向高通、低通和带阻滤波器的转换；对四运放复杂电路进行了设计仿真，通过求取其不同点的输出传递函数，模拟了二阶低通、高通和带通滤波器的响应曲线。得到了较好的仿真结果。关键词：模拟有源滤波器，逼近理论，最小阶数选择，MATLAB程序设计ABSTRACTThi

3、s article shows Design of Analog and Active Filter Based on MATLAB.It starts by covering the fundamentals of filters .And then introduces the design principle of analog and active filter, the choice of the minimum order, the performance testing of the analogy filter and the theory of approximation,

4、goes on to introduce the basic types like Butterworth, Chebyshev I, Chebyshev , Ellipse and Bessel filter, and then guides the reader through the design process for analog and active filters. It synthesizes the conventional method and MATLAB program means, studying how to carry out an analog filter

5、with MATLAB. This text includes numerous examples of the magnitude curve. We can easily carry out a low pass, high pass, band pass, band stop filter and change parameters such as pass band ripple and stop band attenuation as long as changing certain program. It largely simplifies the design of analo

6、g filter. Keywords: Analog and Active Filter，Theory of Approximation, The Choice of the minimum order，MATLAB program design目 录引言1第1章 滤波器的基本概念31.1 滤波原理.31.2 滤波器的分类.4第2章 模拟有源滤波器的设计原理62.1信号无失真传输的条件.62.2 理想滤波器的特性.82.3 模拟有源滤波器传递函数设计原理.92.3.1 设计步骤.112.3.2 设计函数.112.4 滤波器最小阶数选择.122.4.1 最小阶数选择原理.122.4.2 最小阶数

7、选择函数.132.5 频率变换.152.5.1 低通低通变换.152.5.2 低通高通变换.162.5.3 低通带通变换.162.5.4 低通带阻变换.172.5.5 频率变换工具函数.172.6 模拟滤波器的性能测试.19第3章 模拟有源滤波器的逼近理论 213.1巴特沃思逼近.213.1.1巴特沃思滤波器.213.1.2应用实例.233.2 Chebyshev I型逼近.253.2.1 Chebyshev I型滤波器.263.2.2应用实例.283.3 Chebyshev II型逼近.333.3.1 ChebyshevII型滤波器.333.3.2应用实例.343.4椭圆函数逼近.363.4

8、.1椭圆函数滤波器.363.4.2应用实例.373.5贝塞尔逼近.403.5.1贝塞尔滤波器.403.5.2应用实例.41第4章 设计举例.43 4.1有源一阶滤波电路. .434.1.1 一阶滤波电路. . . .434.1.2 应用实例. .44 4.2双二阶滤波电路. . .45 4.2.1双二阶电路. . .45 4.2.2应用实例. . .464.3低通和高通滤波器. . .50 4.3.1 二阶低通滤波器. . . 50 4.3.2 二阶高通滤波器. . . . 51结论53致谢54参考文献55引 言滤波器作为一门学科发展至今已有八十多年的历史，早在1915年美国的Campbll(

9、坎贝尔)和德国的Wagner(瓦格纳)各自独立地发展了无源滤波器。有源RC滤波器的研制很早就开始了，1945年Bode(波特)就提出了用高增益反相放大器作为有源元件与无源回路组成反馈放大器理论的基本思想。1954年Linvill(李闻)用负阻抗变换器的转移阻抗综合实现了第一个有源滤波器。1955年Sallen-Key应用单放大器实现了有源RC滤波器，为使用设计开辟了新途径，1965年单片集成运放问世，为有源滤波器的迅速发展和普及提供了物质基础。70年代，由于线性集成电路工艺的发展，研制出了用于数字通讯设备系统的混合集成有源RC滤波器，1970年后，人们开始注意到运放模型的非理想特性，出现了许多

10、有源补偿和无源补偿方法。同时，还出现了RC滤波器和有源LC滤波器，有源滤波器均已进入实用阶段，在低频领域中获得广泛应用。由于有源RC滤波器中的电阻集成需要占用较大的芯片面积。70年代末，开始研究取代电阻的方法。1977年成功地研制成采用MOS管和MOS电容组成的开关来模拟“电阻”，进而完全取代有源RC滤波器中的电阻，构成单片全集成开关电容滤波器。开关电容滤波器是由MOS开关，MOS电容和MOS运算放大器构成的一种大规模集成电路滤波器。早在1966年，就有人指出开关电容滤波网络的特性仅取决于网络中的电容比，这一点是很重要的。人们在探索处理有源RC滤波器的单片实现是发现，许多有源RC滤波器的特性取

11、决于RC乘积。而在MOS单片处理中，很难得到精确且稳定的RC乘积。然而，在同一块硅片上实现精确且稳定的电容比是不难的。而且与有源RC滤波器相比，开关电容滤波器更易于实现单片集成，适合成批生产，这是滤波器从分立走向全集成的重大突破。然而，开关电容电路也存在很多问题，由于它具有采样数据系统性子，因而信号频率受时钟频率制约，限制了它的应用频域。80年代，当开关电容电路技术应用于高频遇到挑战后，人们又开始把注意力转向全集成连续时间电路技术，全集成连续时间滤波器的理论和设计是近代电路理论的一个重要领域，近年来，国外非常重视高频率（现可达上百MHZ）集成滤波器的研究，因为这类滤波器在视频信号处理，硬盘驱动

12、器，电话和无线通信等方面有着广泛的应用。连续时间滤波器的最大优点是不受采样频率的制约，但能适应10MHz以上频率的，只有g-c或OTA-C和电流模式滤波器，电流模式集成连续时间滤波器，由于其电路具有许多优点，已成为国际上一个广泛研究的前沿课题。目前，“瞬时缩展”技术已成为模拟集成电路设计中的新的研究领域。它是当今模拟信号处理中广泛关注的一个研究热点。当前这个技术应用的主要范围是实现具有宽动态范围（可达60分贝以上），高频率潜能（最高可达几百MHz）和大调谐能力的连续时间全集成滤波器，在这个方法中，最突出的例子是对数域技术，它直接利用了晶体管的电流与电压的指数特性来实现输入-输出线性滤波器。随着

13、计算机软件技术的发展，各种功能强大的电子仿真软件层出不穷，其中最常用的有protel、matlab、vc等等。我们可以用软件编程实现各种复杂的模拟滤波器的功能，然后把程序写入相应的可编程逻辑器件里面，则写入程序的IC只要配合简单的硬件电路，就可实现复杂的模拟滤波功能。因此，研究模拟滤波器的工作原理，以及在此基础上进行模拟滤波器的理论上的设计与实现的研究就变得非常重要，本文就是在这样的背景下孕育而生。本文第一章讲述了滤波器的基本概念，使得我们对滤波器的原理和滤波器的分类有了一个较为直观、清晰的了解。第二章讲解了模拟有源滤波器的设计原理，它们分别是信号无失真传输的条件、模拟有源滤波器的设计原理和步

14、骤、滤波器的最小阶数选择原理和函数、频率变换的几种类型和典型工具函数。第三章介绍了模拟滤波器的逼近理论，其中包括巴特沃思逼近和巴特沃思滤波器、切比雪夫逼近和切比雪夫滤波器、椭圆函数逼近和椭圆函数滤波器、贝塞尔逼近和贝塞尔滤波器，同时对五种逼近技术列举了大量的应用实例加以分析探讨。第四章介绍了有源一阶和二阶电路，并列举了实例。第1章 滤波器的基本概念滤波器是一种能使有用频率信号通过而同时抑制（大为衰减）无用频率信号的电子装置。工程上常用它来作信号处理、数据传送和抑制干扰等。在各种不同的应用中，改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量这样一类要求常常是颇为关注的，这样一种过程称

15、为滤波。对线性时不变系统来说，其输出信号的频谱等于输入信号频谱乘以系统的频率响应。因此，采用经过适当选定频率响应的线性时不变系统，就可方便地实现滤波。1.1 滤波原理滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波的作用。对图1.1所示的线性时不变系统其时域输入和输出关系为： （1.1）图1.1 线性时不变系统示意图若，的Fourier变换存在，为和，则输入和输出的关系为： （1.2）其中为系统的频率响应。 图1.2 滤波器滤波示意图再假定的Fourier变换的振幅可用图1.2左图表示，系统幅频响应可用图1.2中图表示，则滤波器的输出可表示为图1.2右图。这样，通过系统的结果是使输出中不再含有的频

16、率成分，而使的成分“不失真”地给以通过。因此设计出不同形状的可以得到不同的滤波结果。若滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该滤波器的脉冲响应也必然是离散的。我们称这样的滤波器为数字滤波器（Digital filter）。当用硬件实现一个数字滤波器时，所需的元件是延迟器、乘法器和加法器。当在计算机上用软件实现时，它就是一段线性卷积的程序。我们知道模拟有源滤波器只能用硬件来实现，其元件是电阻、电容、电感及运算放大器等。如果在一级RC低通电路的输入端再加上一个电源跟随器，使之与负载很好地隔离开来，就构成了一个简单的一阶有源低通滤波电路。1.2 滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。(1)

17、、从功能上分：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。 (2)、从实现方法上分：分为FIR、IIR。(3)、从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫），Butterworth（巴特沃斯）等。(4)、从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器。 图 1.3理想模拟滤波器幅频响应但总的来说，滤波器可分为两大类，即经典滤波器和现代滤波器【2】。经典滤波器从功能上总的可分为四种，即低通（Low pass）、高通（High pass）、带通（Band pass）、带阻（Band stop）滤波器，当然每一种又有模拟滤波器和数字滤波器两种形式。图1.3和图1.4分别给出了模拟滤波器和数字滤波器的四

18、种形式。图中所给的滤波器的幅频响应都是理想情况，在实际上是不可能实现的。在实际工作中，我们设计的滤波器都是在某些准则下对理想滤波器的近似，但这保证了滤波器在物理上是可实现的，且是稳定的。 图1.4 理想数字滤波器的幅频响应图1.3和1.4 的理想滤波器在物理上是不可实现的。不可实现的根本原因是从一个频率带到另一个频率带之间存在突变。为了物理上可实现，我们从一个带到另一个带之间设置一个过渡带，且在通带和阻带内也不应该严格为1或0，应给以较小的容限。第2章 模拟有源滤波器的设计原理一般情况下，系统的响应波形与激励波形不相同，信号在传输过程中将产生失真。线性系统引起的信号失真由两方面因素造成，一是系

19、统对信号各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。一是系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，引起相位失真。必须指出，线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。而对于非线性系统则由于其非线性特性对于所传输信号产生非线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。有源滤波器实际上是一种具有特定频率响应的放大器。它是在运算放大器的基础上增加一些R、C等无源元件而构成的。 滤波器也可以由无源的电抗性元件或晶体构成，称为无源滤波器或晶体滤波器。 有源滤波电路通常是由运放和RC反馈网络构成的电子系统，根据幅频响

20、应不同，可分为低通、高通、带通、带阻和全通滤波电路。高阶滤波电路一般都可由一阶和二阶有源滤波电路构成，而二阶滤波电路传递函数的基本形式是一致的，区别仅在于分子中s的阶次为0、1、2或其组合。滤波器主要用来滤除信号中无用的频率成分，例如，有一个较低频率的信号，其中包含一些较高频率成分的干扰。滤波过程如图2.1所示。 图2.1 滤波过程2.1 信号无失真传输的条件所谓无失真是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波形上的变化。设激励信号为，响应信号为，无失真传输的条件是： （2.1）式中是一常数，为滞后时间。满足此条件时，波形是波形经时间的滞后，虽然，幅度方面由系数倍的变化，但波

21、形形状不变。为了满足式2.1，实现无失真传输，对系统函数应提出以下要求：设与的傅立叶变换式分别为与。借助傅立叶变换的延时定理，从式2.1可以写出： （2.2）此外还有 （2.3）所以，为满足无失真传输应有 （2.4）式2.4就式对于系统的频率响应特性提出的无失真传输条件。欲使信号在通过线性系统使不产生任何失真，必须在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅度特性是一常数，相位特性是一通过原点的直线。从物理概念上的直观解释就是，由于系统函数的幅度为一常数，响应中各频率分量幅度的相对大小将与激励信号的情况一样，因而没有幅度失真。要保证没有相位失真，必须使响应中各频率分量与激励中各对应分量之后同样的时

22、间，这一要求反映到相位特性上就是一条通过原点的直线，即信号通过线性系统是谐波的相移必须与其频率成正比，写作 （2.5）显然，信号通过系统的延迟时间即为相位特性的斜率 （2.6）由此，我们得到对于传输系统相位移的另一种描述方法“群时延”（或称群延时）(Group delay) 【1】。群延时的定义为 （2.7）也即，群延时定义为系统相频特性对频率的导数并取负号。在满足信号传输不产生相位失真的条件下，其群延时特性应为一常数。对于实际的传输系统为负值，因而为正值。通常利用与之比（当足够小）近似计算或测量值。与直接用描述相位特性相比较，用群延时间表达相位特性的好处是便于实际测量，而且有助于理解调幅波传

23、输过程的波形变化。由以上分析，我们总结到，所谓信号无失真传输是指输入信号通过系统后，输出信号的幅值和输入信号的幅值成正比。允许有一定的延时，但没有波形上的畸变。因此，系统的频率响应满足下面的特性： (2.8)式中、均为常数。即信号无失真传输的条件是：系统的幅频响应|应为常数，相频响应应与频率成正比。或者说，滤波器应具有无限宽的定值幅频与线性相频。对于信号无失真传输，为常数，即群延迟为常数；否则它是频率的非线性函数。2.2 理想滤波器的特性滤波器是一个选频装置。所谓“理想滤波器”就是将滤波网络的某些特性理想化而定义的滤波网络。理想滤波器应能无失真地传输有用信号，而又能完全抑制无用信号。有用信号和

24、无用信号往往占有不同的频带。信号能通过滤波器的频带称为通带(Passband)。信号被抑制的频带称为阻带（Stopband）3。理想滤波器频率特性可写为： (2.9)理想滤波器是物理不可实现系统。实际滤波器的频率特性只能“逼近”理想滤波器。图 2.2为低通滤波器的幅频特性示意图。图2.2 低通滤波器的幅频特性示意图可见，滤波器的幅频响应在通带内不是完全平直的，而是呈波纹变化；在阻带内，幅频特性也不为零，而是衰减至某个值；在通带和阻带之间存在一个过渡带，而不是突然下降。通常，实际设计要求滤波器的技术指标包括通带波纹(Passband ripple)(dB)、阻带的最小衰减系数(Stopband

25、attenuation)(dB)、通带边界频率、阻带边界频率、过渡带宽。滤波器的通带波纹Rp为相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越少说明通带越平直，滤波器的滤波效果越好（通常为1-5dB）。滤波器的阻带衰减Rs也是相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越多说明信号在阻带内越不容易通过，因此滤波效果越好(通常要大于15dB)。过渡带宽越窄，滤波器的频率特性越接近于直角矩形特性，滤波效果也越好。应该指出的是，图2-2给出的是低通滤波器的情况，对于高通、带通、带阻具有相同的参数。2.3 模拟有源滤波器传递函数设计原理模拟有源滤波器的设计理论通常在Laplace域内进行讨论。模

26、拟有源滤波器的技术指标可由平方幅值响应函数形式给出，以模拟低通滤波器为例，对于单调下降的幅度特性：通带波纹、阻带最小衰减系数可表示成： （2.10） （2.11）如果处幅值已归一化到1，即，和表示为 （2.12） （2.13）以上技术指标可用图2.3表示。图2.3 低通滤波器的幅度特性图中称为截止频率，因，。滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数，希望滤波器幅度平方函数满足给定的指标和，而和传递函数H(s)存在下面关系： (2.14)即 (2.15)当给定模拟滤波器的技术指标后，由求出，再适当地分配零极点可求出。为了使滤波器稳定H(s)的极点必须落在平面左半平面，这是因为对于一个滤波器的

27、极点p，就可以写成的形式，其逆Laplace变换（对应于时间域）为，若，则随着时间增大至无穷，该滤波器的输出将出现不稳定。滤波器的零点选择可任取的一半零点，这是因为滤波器对Laplace域表示的传递函数并无特殊要求，但如果要求具有最小相位，零点也必须选择在左半平面。2.3.1设计步骤用户对设计的滤波器提出设计要求，我们可以针对滤波器的设计要求设计滤波器。通常用户对模拟滤波器提出的要求有：（1）滤波器的性能指标，包括截止频率(对于低通和高通)或上下边界频率、，通带波纹、阻带衰减等；（2）滤波器的类型，通常为Butterworth，Chebyshev I， Chebyshev II， Ellipt

28、ic或Bessel滤波器。我们根据滤波器的类型通常按下列步骤设计滤波器: 给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率(对于低通和高通)或上下边界频率、；通带波纹、阻带衰减以及滤波器类型等（用户给定）。 确定滤波器阶数。 设计模拟低通原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型设计函数有butterap， cheb1ap，cheb2ap，ellipap，besselap。 按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。MATLAB信号处理工具箱的频率变换函数有lp2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bs。2.3.2设计函数上面滤波器的设计步骤比较麻烦，根据设计要求求解滤波器的最小阶数和边

29、界频率之后需要设计模拟原型滤波器并进行频率转换。其实MATLAB将这一系列的过程组合成了更为方便的设计函数：butter，cheby1，cheby2，ellip，besself。这些函数称为模拟滤波器完全设计函数。用户在求得滤波器的最小阶数和截止频率之后只需调用一次完全设计函数就可以自动完成所有设计过程，编程十分简单。这种方法的程序如下:b，a=butter(n，wn， ftype， s)z，p，k=butter(n，wn， ftype， s)b，a=cheby1(n，Rp，wn， ftype， s)z，p，k=cheby1(n，Rp，wn， ftype， s)b，a=cheby2(n，Rs，

30、wn， ftype， s)z，p，k=cheby2(n，Rs，wn， ftype， s)b，a=ellip(n，Rp，Rs，wn， ftype， s)z，p，k=cheby2(n，Rp，Rs，wn， ftype， s)b，a=besself(n，wn， ftype， s)z，p，k=besself(n，wn， ftype， s)在上面的调用方式中，n为滤波器的阶数，wn为滤波器的截止频率，单位rad/s（wn0）；s为模拟滤波器，缺省时为数字滤波。ftype滤波器的类型可取为：high高通滤波器，截止频率为wn。stop带阻滤波器，截止频率为wn=w1，w2 (w1w2)。ftype缺省时为低

31、通或带通滤波器。当设计带通滤波器时，截止频率也为wn=w1，w2 (w1w2)。a，b分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式系数向量；z，p，k分别为滤波器的零点、极点和增益。Rp，Rs分别为所设计滤波器的通带波纹和阻带衰减， 单位为dB。滤波器的传递函数具有下面的形式： (2.16)若滤波器为带通或带阻型，则滤波器的阶数为2n，否则阶数为n。2.4滤波器最小阶数选择2.4.1最小阶数选择原理众所周知,滤波器的阶数越小，其所需要的计算量越少，需要的设备越简单，所需运算时间也越少。但是阶数越少,滤波器的滤波效果就越差，误差越高。因此合理选择滤波器的阶数是滤波器设计中的一个重要问题。以Butter

32、worth低通模拟滤波器为例模拟低通滤波器的设计指标为：通带边界频率，阻带边界频率，通带波纹Rp(dB)、阻带衰减Rs(dB)。当时: (2.17)以截止频率（幅值下降3dB）为1，化为相对的相对频率，则上式可写成： (2.18)同理，当时， (2.19)综合上面两式可得： (2.20)N应向上取整。则N为该滤波器的最小阶数【4】。表示为： (2.21)或 (2.22)2.4.2最小阶数选择函数上面给出了Butterworth滤波器的最小阶数和截止频率的选择公式及程序。其实MATLAB工具箱中运用滤波器的最小阶数选择公式给出了滤波器最小阶数选择函数。几种滤波器的设计函数如下：n，wc=butt

33、ord(wp，ws，Rp，Rs， s); Butterworth 滤波器n，wc=cheb1ord(wp，ws，Rp，Rs， s); Chebyshev I 滤波器n，wc=cheb2ord(wp，ws，Rp，Rs， s); Chebyshev II 滤波器n，wc=ellipord(wp，ws，Rp，Rs， s); Elliptic 滤波器其中，wp为通带边界频率，ws为阻带边界频率，单位为rad/s。Rp，Rs分别为通带波纹和阻带衰减，单位为dB。分别表示通带内的最大允许幅值损失和阻带下降的分贝数。s表示模拟滤波器（缺省时，该函数适用于数字滤波器）；函数返回值n为模拟滤波器的最小阶数；wc

34、为模拟滤波器的截止频率，单位为rad/s。这四个函数适用于低通、高通、带通、带阻滤波器。若wpws时为对于高通模拟滤波器，对于带通和带阻滤波器存在两个过渡带，wp和ws均应该为含有两个元素的向量，分别表示两个过渡带的边界频率。即：wp=通带下界频率， 通带上界频率，ws=阻带下界频率， 阻带上界频率。对于带通滤波器，这四个频带界线的大小排列为:阻带下界频率通带下界频率通带上界频率阻带上界频率；对于带阻滤波器，这四个频带界线的大小排列为:通带下界频率阻带下界频率阻带上界频率通带上界频率。这时返回值wc包括两个元素（第一个元素小于第二个元素），分别为通带和阻带之间的界线频率。函数自动判断是带通还是

35、带阻滤波器。例2.1设计一个模拟Butterworth滤波器，边界频率为100Hz和150Hz，通带波纹不大于2dB,阻带衰减不小于30dB。试确定最小阶数N和截止频率。%sample2.1wp=200*pi;ws=300*pi;Rp=2;Rs=30;%滤波器的通带阻带边界频率、通带波纹和阻带衰减N=ceil(log10(10(Rp/10)-1)/(10(Rs/10)-1)/(2*log10(wp/ws) Wcp=wp/(10(Rp/10)-1)(1/(2*N) Wcs=ws/(10(Rs/10)-1)(1/(2*N) 程序的输出为：N = 10Wcp = 645.3957Wcs = 667.

36、2566程序输出的两个截止频率分别为运用通带波纹和阻带衰减得到的。为使信号保留较多的有用信息，对于低通滤波器可选用较大的截止频率，即667.2566。例2.2 设计一个模拟低通Chebyshev I滤波器，边界频率为500Hz和750Hz，通带波纹不大于2dB,阻带衰减不小于30dB。试确定最小阶数N。%sample2.2wp=1000*pi;ws=1500*pi;Rp=2;Rs=30;%滤波器的通带阻带边界频率、通带波纹和阻带衰减N=ceil(log10(10(Rp/10)-1)/(10(Rs/10)-1)/(2*log10(wp/ws) 程序的输出为：N = 102.5 频率变换前面所讲的

37、模拟原型滤波器均是截止频率为1的滤波器，在实际设计中是很难遇到的，然而它是设计其他各类滤波器的基础。我们通常遇到的是截止频率任意的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。所谓频率变换【5】是指各类滤波器（低通、高通、带通、带阻）和低通滤波器原型的传递函数中频率自变量之间的变换关系。通过频率变换，我们可以从模拟低通滤波器原型获得模拟的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。2.5.1 低通低通变换这个过程有时也称为“频率标尺变换【6】”或“频率反归一化【6】”。其目的在于把用推导出的传递函数变成实际通带为时的传递函数。实际频率与归一化频率之间的关系为，而现在故有，这样，只需将归一

38、化幅频特性（见图2.4（a）中各相应的频率坐标都乘以即得到实际频率的幅频响应（见图2.4（b）图2.4 频率标尺变换幅频特性图对于传递函数，也只需将归一化的传递函数中的替代，即得到实际频率的传递函数2.5.2 低通高通变换理想低通和理想高通滤波器的幅值特性如图2.5（a）、（b）所示。将两者的特性相比较后可看出，低通的零点应变为高通的无限远点；而低通的无限远点应变换为高通的零点，并且在1处，两者都不变。可用下面的变换式完成： （2.23）图2.5 低通高通变换幅值特性图同时，我们得到，对于已确定的低通电路，当作低通高通变换时，电路的结构不变，只需将低通电路的电感换成电容，低通电路的电容换成电感

39、，电阻保持不变。2.5.3 低通带通变换图2.6 低通带通变换图由图2.6可以看出，这种变换是要求把低通特性如（a）图能分别移到两边，变换带通特性如（b）图，这个变换可以用下式完成 （2.24）式中：2.5.4 低通带阻变换图2.7（a）、（b）分别表示低通和带阻的特性。将带阻特性与图3-17带阻特性比较后，带通和带阻的关系与低通和高通完全相相似。在低通高通变换中，类比后可知,因此变换式推论为(2.25)式中： (2.25)图2.7低通带阻变换图2.5.5 频率变换工具函数MATLAB信号处理工具箱有lp2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bs四个频率变换函数。下面分别叙述其使用方法及各参量

40、的意义。(1) 函数lp2lp用于实现由低通模拟原型滤波器至低通滤波器的频率变换，调用格式为：bt，at=lp2lp(b，a，)其中，a，b为模拟原型滤波器的分母和分子多项式的系数，为低通滤波器所期望的截止频率(rad/s)，若给定的单位为Hz，应乘以2。bt，at为返回的低通滤波器的分母和分子多项式的系数。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换： (2.26)式中，H(p)为低通原型滤波器传递函数，H(s)为低通滤波器传递函数。该项操作可以执行模拟原型滤波器由截止频率为1到指定截止频率的变换，其原理讨论以超出本课程的范围，可参看其他信号处理参考书。下面的例子说明如何进行模拟原型低通滤波器

41、变换为截止频率不为1的模拟低通滤波器。(2) 函数lp2hp用于实现由低通模拟滤波器至高通滤波器的频率变换。调用格式：bt，at=lp2hp(b，a，)式中，为高通模拟滤波器所期望的截止频率（rad/s），若给定的频率单位为Hz，应乘以2。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换： (2.27)(3) 函数lp2bp用于实现由低通模拟原型滤波器至带通滤波器的频率变换。调用格式：bt，at=lp2bp(b，a，Bw)式中，为带通滤波器的中心频率(rad/s)，Bw为带通滤波器带宽(rad/s)。而 (2.28)式中， 为带通滤波器的下边界频率，为带通滤波器上边界频率。若给定的边界频率为Hz需乘

42、以2。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换运算： (2.29)(4) 函数lp2bs用于实现由低通模拟原型滤波器至带阻滤波器的频率变换。调用格式：bt，at=lp2bs(b，a，Bw)式中，为带阻滤波器的中心频率(rad/s)，为带阻滤波器带宽(rad/s)。而 (2.30)式中， 为带阻滤波器的下边界频率，为带阻滤波器上边界频率。若给定的边界频率为Hz需乘以2。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换运算： (2.31)注意：输出的带阻滤波器和带通滤波器是滤波器原型阶数的2倍。2.6模拟滤波器的性能测试滤波器设计好之后，一般要进行各方面的测试。在正式设计滤波器之前，我们先介绍如何测试

43、滤波器的性能。对于模拟滤波器，我们已采用函数freqs来求模拟滤波器的频率响应，这里我们详细介绍该函数，若其调用格式为：h，w=freqs(b，a，n)式中，b，a分别为模拟滤波器传递函数分子和分母多项式系数； h为对应频率点的传递函数值。上面的表示中，w和，n表示可有可无的参数，本书中的该类均为可有可无的参数。它们表示为w为频率点的值，为可选项。n为频率点数，为可选项，由用户根据需要确定。若n=128，则用128个频率点来给出此模拟滤波器的频率特性（给定频率点的传递函数值），缺省时为200。若该函数不写输出变量，则执行后绘出该滤波器的幅频响应和相位响应图。此函数模拟滤波器的传递函数形式为：

44、(2.32)MATLAB工具箱还提供了两个函数abs和angle，由频率响应求幅频响应和相频响应。其中angle的输出单位为rad。可采用rad2deg函数转化为度。另外注意函数的幅频响应经常用分贝(dB)来表示。求出的幅频响应通过下式转换为分贝:(dB)。我们知道，除了用传递函数描述滤波器特性外，还可用脉冲(冲激)响应来描述滤波器，因为在模拟滤波器中，脉冲响应与传递函数是Laplace变换对。此外还可以用阶跃响应（输入一个阶跃时系统的输出）来描述滤波器特性。下面我们介绍在MATLAB中如何得到模拟滤波器的脉冲响应和阶跃响应。将滤波器的传递函数表示成分子和分母多项式系数的形式，如分子和分母多项式的系数为b，a，则在MATLAB中用H=tf(b，a)来表示此模拟滤波器，采用y，t=impulse(H)给出该系统的模拟脉冲响应。采用y，t=step(H)来得到该系统的阶跃响应。这