双曲线的定义及性质练习题一菁优网2018427

1、双曲线的定义及性质练习题.选择题（共20小题）1 .已知两定点 F1 （- 5, 0）, F2 （5, 0）,动点 P满足I PF| - | PF2| =2a,则当 a=3 和5时，P点的轨迹为（）A. 双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线=1的渐近线方程为（）A.尸土* B尸寺 C y=yX D-尸土号2 23 .如果方程-+=1表示双曲线，贝U m的取值范围是（血2 jTrfl2)2+y2=1 上，点 RA. (2, +X) B. (-2,- 1)C. (-X,- 1)D. (1,2 24.已知点P在曲线C1：牯专二1上，点Q在曲线C2：

2、 （X-5）在曲线C3： （X+5） 2+y2=1上，则I PQI - I PR的最大值是（）A. 6 B. 8C. 10 D. 125.在 ABC 中,已知 A (-4, 0), B (4, 0),且 si nA-sin B扣也，则 C 的轨迹方程是（B.C 厶C- 124 1D.124 二LCvAl)6.已知Fi、巨为双曲线C: X2-y2=1 的左、右焦点，点 P在 C上,/ FiPF2=6O则P到X轴的距离为（A咿B.惬C. Vs D.伍7.已知F是双曲线C: x2-L=1的右焦点，P是C上一点，且PF与 x轴垂直,3则APF的面积为（）A.1B.1C. 2D .3323点A的坐标是(

3、1, 3),&已知双曲线2 a2=1 （a0, b 0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线a.上， OAF是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（2肿2A T备】B令D.9.已知F1, F2是双曲线2E丄2a阴2-识=1的左,右焦点，点M在E 上, MF1与x轴垂直，sin/ MF2F4，则E的离心率为（A. B.手C需 D. 210.已知M （x0, yo）是双曲线C:言-丫1上的一点，F1, F2是C的左、右两 个焦点，若MF；v 0,则y。的取值范围是（）C ,222V2 , D . 2 0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线。2,贝（A.对任意的a,b, e1 e2B.

4、当a b时,e1 e2；当 av b 时,e1 v e2C.对任意的a,b, e1 v e2D.当ab时,e1 v e2；当 av b 时,e1 e211. 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b23则点F到C的一条12. 已知F为双曲线C: x2-my2=3m （m0）的一个焦点,渐近线的距离为（）A.贡 B. 3 C. VSm D. 3m2 r13. 若点O和点F (- 2, 0)分别是双曲线的中心和左焦点, 点p为双曲线右支上的任意一点，则硬的取值范围为(B. 3+2亦，+8)| C. r丄 +0, b0)的两个焦点为F1、F2, a t/且I PF| =2| PF2I，则双

5、曲线离心率的取值范围为(A. (1, 3) B. (1,3C. (3, +)D. 3, +X15.已知双曲线C:279 16=1的左右焦点分别为F1, F2, P为C的右支上一点,16.设F1、2F2分别是双曲线X2-匚=1的左、右焦点.若点 P在双曲线上，且g而7?呢=0,则I再甸訴 ()A. VT3 B. 2顷 C.衝 D. 2/e2 217.已知双曲线昱壬尹(色0, bAO)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60a b的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. (1, 2 B. (1, 2) C. 2, +) D. (2, +18. P是双曲线字咅=1的右支上一

6、点，M、N分别是圆（X+5） 2+y2=4和（X-5） 2+y2=1上的点，则I PM| - | PN的最大值为（）219.已知双曲线/丄二1的焦点为F1、2F2,点M在双曲线上且MF；MF；二D，则点M到X轴的距离为（）4320.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 M、 N两点，MN中点的横坐标为-国A.B.2 2A. L-1342 2B. L-匚=143F （听，0）,直线y=x- 1与其相交于屮则此双曲线的方程是（2-匚=12D.2-匚=1511小题）21.如果点M （X, y）在运动过程是总满足关系式Jh外(y-5)，则点M的轨迹方程为22.设动圆C与两圆（寸靠严+/=4，SJy2=4中

7、的一个内切,A. 6 B. 7 C 8 D. 9另一个外切.则动圆C的圆心M轨迹L的方程是23.已知圆（X+4） 2+y2=25的圆心为M1,圆（x-4） 2+y2=1的圆心为M2,动圆与这两个圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为24.已知F是双曲线予2 ?二1的左焦点，A （1,4）, P是双曲线右支上的动点,则| PF+| PA的最小值为25.已知双曲线C:=1 （a0，b 0）的右顶点为 A，以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若/ MAN=6,则C的离心率为2 226.设直线X-3y+m=0 (0)与双曲线 一-=1 (a0, b0)的两条渐近 a? b?

8、线分别交于点 A, B.若点P (m, 0)满足|PA=|PB，则该双曲线的离心率2 227.设Fi, F2是双曲线C:务七二1 (a0, b0)的两个焦点，P是C上一点, a b若|P F|+| P F2|=6a,且 PFF2的最小内角为30则C的离心率为28.已知Fi、F2分别为双曲线C:二1的左、右焦点，点A C,点M的坐标为(2, 0), AM为/ FiAb的平分线，则|AF2| =2 229.过双曲线 -二1左焦点F的直线交双曲线的左支于 M、N两点，F2为其4 b右焦点，则| MF2|+| NF2| - | MN|的值为2 230.已知Fi, F2为双曲线匸1 OG$ b0且aHb

9、的两个焦点，P为双曲 a b线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点.下面四个命题(A、A PF1F2的内切圆的圆心必在直线 x=a上;B、A PFF2的内切圆的圆心必在直线 x=b 上;C、A PFF2的内切圆的圆心必在直线 OP上;D、A PFF2的内切圆必通过点(a, 0).2 231.过双曲线笃-笃其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).=! (a0, b0)的左焦点且垂直于X轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点， 则双曲线的离心 率等于.2018年04月27日* 丑的想撞墙的高中数学组卷参考答案与试题解析选择题（共20小题）已知两定点 Fi （

10、- 5, 0），F2 （5, 0），动点 P满足| PF| - | PF2| =2a，则当 a=3 和5时，P点的轨迹为（）A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C. 双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线【分析】先看a=3时，根据双曲线的定义可推断出 P点的轨迹是双曲线，同时利 用已知条件可推断出| PF| | Pb|，进而可知其轨迹是双曲线的一支；再看当a=5 时，可求得P的轨迹方程，同时根据|PF| |PF2|推断出P的轨迹为射线.最后 综合可得答案.【解答】解：当a=3时，根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线，|PFi| I PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a

11、=5时，方程y 22. 双曲线牛斗二1的渐近线方程为（94=0，可知其轨迹与x轴重合，舍去在x轴负半轴上的一段，又 因为I PF| - | PF2|=2a,说明I PF| | PF2|所以应该是起点为（5, 0）,与x轴重 合向x轴正方向延伸的射线，故选：D.【点评】本题主要考查了双曲线的定义,轨迹方程问题.考查了学生对基础知识A.尸土弓s B.尸土C y=yK D.,3尸土尹的综合运用.【分析】由双曲线方程与渐近线方程的关系，只要将双曲线方程中的“ 1换为“0” 化简整理，可得渐近线方程.【解答】解：由题意，由双曲线方程与渐近线方程的关系，可得的渐近线方程为y=土寻x，2 2将双曲线方程中的

12、“1换为“0”双曲线牛专=1 故选：D.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法， 注意运用双曲线方程与渐近线方 程的关系，考查运算能力，属于基础题.2 23. 如果方程匚+=1表示双曲线，则m的取值范围是（）耐2 irrflA. （2，+x） B. （-2，- 1）C. （-X,- 1）D. （1，2）【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需 2+m与1+m只需异号即可，则解不等式（2+m） （1+m） 0即可求解.【解答】解：由题意知（2+m） （1+m） 0,解得-1m| - 1)=| PFI - | PF2I+2=8+2=10, 故选：C.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，合

13、理地进行等价转化是解决问题的关键.5.在 ABC 中,已知 A (-4, 0), B (4, 0),且 si nA-sin B丄“也，则 C 的轨2迹方程是（B.D.【分析】根据正弦定理，将si nA- sin B寺i血;化为a- bc,判断出点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可.a- b丄C,即| CB - | CA| =4【解答】解：T si nA-si nB寺吨，由正弦定理得0,则y=3, 则 P (2, 3), APPF,贝AP 丨=1,丨 PF 丨=3,-冷-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与 x轴垂直, L?点A的坐标是（1, 3）,则APF的面积为（

14、【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2, 0）,由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据二角形的面积公式，即可求得APF的面积.A.1B.1c. 2D.33232-APF的面积S专XI AP M PF丨同理当yv 0时，则APF的面积 S专，考查数形结合思想，属于基础题.8已知双曲线密訂（a 0，b 0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（）2 2 2 2Ar 】B-2=1 c.号-/=1 D.【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2,求解a，b，然后 等到双曲线的方程.2 2【解答】解：双曲线务-厶7=1（a

15、0，b0）的右焦点为F,点A在双曲线的a b渐近线上， OAF是边长为2的等边三角形（0为原点），可得c=2,夕朋,即务:,2 2 -a “2 Y a解得a=1,，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为: 故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.9.已知Fi, F2是双曲线E: W-比=1的左，右焦点，点M在E上，MFi与x轴垂直，sin/ MF2F1丄，则E的离心率为（）3寻 C體D. 2_r【分析】由条件MFi丄MF2，sin/ MF2Fi4，列出关系式，从而可求离心率.J【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨mFi丨羊，I MF2丨春耳（厶2 sin/

16、MFzF诗，： b4 4，可得：2b4=a2c2，即 b2=ac,又 c2=a2+b2, 可得 Jle2- e-|Vl=0，e 1，解得 e2.【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系, 考查数形结合思想，属于中档题.2 严1上的一点，F1, F2是C的左、右两个焦点，若兀瓯vo,则yo的取值范围是（）爭卑）B（芈辛）10.已知M （Xo, yo）是双曲线C:C避、爭D.普,竽【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定 yo的取值范围.A.【解答】解：由题意，肝； MF ；=（-xo,- yo） ? （- xo,- yo） =xo2 -3+yo2=3y

17、o2 - 1 vo,3所以咅yov故选：A.【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力, 比较基础.11.将离心率为ei的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b （aM b）同时增加m（m 0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线。2,则（）A.对任意的a,b, ei e2B.当a b时,ei e2；当 av b 时,ei v e2C对任意的a,b, ei v e2ei ve2；当 av b 时,ei e2D.当ab时，【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【解答】解：由题意，双曲线C1： c2=a2+b2, e1=2 ；a(b+m、2(b-a)呂bm

18、+bitiSamB2 ata+m、2a 勺 a+m),e2呂+m飞1J严双曲线 C2： c2= (a+m) 2+ (b+m) 25沁当 ab 时，e1e2；当 avb 时，e1ve2,故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.12.已知F为双曲线C: X2-my2=3m （m0）的一个焦点，则点 F到C的一条 渐近线的距离为（）A.亦 B. 3 C3mD. 3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到 直线的距离公式，可得结论.32-1,【解答】解：双曲线C: X2- my2=3m （m 0）可化为Z_JL_ 3m 3一个焦点为（巫肓，

19、0）, 一条渐近线方程为Ix+Vriiy=0, 点F到C的一条渐近线的距离为芈亜毛.Vl+m故选：A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题.2口13.若点0和点F （-2, 0）分别是双曲线 青匚1（赳0）的中心和左焦点,aA. 32需.+8) B. 3+2/3, +8)点P为双曲线右支上的任意一点，则迅的取值范围为（）C+ 3 D.【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得，设出 点P,代入双曲线方程求得yo的表达式，根据P, F, O的坐标表示出历和帀,进而求得帀的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则帀而的取值 范围可得.【解答

20、】解：因为F （- 2，0）是已知双曲线的左焦点, 2C所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为 号-/二1， 设点 P （X0， yo），2 賃n 则有号-护因为FP二（s+2和），OP二（只旷坯），所以序帀二切（辺+2）+，/此二次函数对应的抛物线的对称轴为2=X0 (X0+2)33 廿P，因为沙，所以当丸二冈时 丽讦?取得最小值霁3+2爲-1=3+23，J故qP-FP的取值范围是2后+8）, 故选：B.【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、 二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综 合应用能力、运算能力.2 214.双

21、曲线牛召 =1 （a0, b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点, a b且I PF| =2| PF2I，则双曲线离心率的取值范围为（A. (1，3) B. (1，3 C. (3，+)D. 3，+【分析】可用三角形的两边和大于第三边， 及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定a与c的关系.【解答】解：设I PF| =x, I PF!| =y，则有x=2y解得 x=4a，y=2a，在 PFF2 中，x+y 2c,即卩 4a+2a2c，4a - 2av2c， 1O0, bAO)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个

22、交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. (1, 2 B. (1, 2) C 2, +) D. (2, +)【分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率. 根据这个结论可以求出双曲线离 心率的取值范围.2 2【解答】解：已知双曲线 务斗1山b0)的右焦点为F, 若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b,a18. P是双曲线尊-916=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5） 2+y2=4和（x-5） 2+y2=1上的点，则I PM| - I PN的最大值为（）A.

23、6 B. 7 C 8 D. 9【分析】由题设通过双曲线的定义推出I PFi| -|P F2| =6 ,利用|MP| I Pb| - I NF2|，推出 I PM| - | PN| | PF|+| MFi| - | Pb| -| NF2|，求出最大值.22K一y916【解答】解：双曲线=1中，如图:-Fi (-5, 0), F2 (5,0),a=3, b=4, c=5, I PF| - | Pb| =2a=6, I MP| I Pb| - I NF2| ,- I PN| - I P冋I+I NF2| ,所以，I PM| - I PN| I PFi|+| MFi| - I PFH+| NFz=6+

24、1+2=9.y【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的 求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化.19.已知双曲线/空一二1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF；吓；二0 ,则点M到x轴的距离为（）c.竽 dm43【分析】由二0可知点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,由此可以推导A.B.524出点M到x轴的距离.【解答】解：；而*丽=0,二点M在以FiF2为直径的圆x2+y2=3上故由得b令誓, 专二 1V3 3.点M到x轴的距离为翠 故选：C.【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件.M、 N两点，MN中点的

25、横坐标为-20.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F （听，0）,直线y=x- 1与其相交于 寻，则此双曲线的方程是（2 2 2 2 - 一A 号-亍1 B=1 C T-T=1 D. T 十=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及 MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中 有c2=a2+b2,则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程.【解答】解：设双曲线方程为=1.将y=x- 1代入q-a=11,整理得（b2- a2） x2+2a2x- a2 - a2b2=0.由韦达定理得Xi+X2=冃“只1小2込22，则h K

26、=-石.又 c2=s2+b2=7，解得 a2=2，b2=5.2 2所以双曲线的方程是邑匚25故选：D.【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性 质等.二.填空题(共11小题)21.如果点M (X, y)在运动过程是总满足关系式jF+(y_5)=8 , 则点M的轨迹方程为害*)【分析】方程jF+y-5)十y+5),表示点M (x, y) 与定点(0, 5),(0,- 5)的距离的差为8,禾用双曲线的定义，即可得到结论.【解答】解：方程+-Vx + ty+5)=3, 表示点M (X, y)与定点(0, 5), (0,- 5)的距离的差为8 8V 10点M (X,y)的

27、轨迹是以两定点为焦点的双曲线的下支2a=8, c=5 b=32 2点M的轨迹方程为L斗1(穴0)169故答案为:属于基【点评】本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是掌握双曲线的定义,础题.22.设动圆C与两圆S G十靠)5=4, F氐云)2+/=4中的一个内切,332 c另一个外切.则动圆C的圆心M轨迹L的方程是亠宀【分析】由题意直接利用已知列出关系式， 结合圆锥曲线的定义，即可求出圆心M的轨迹方程.【解答】解：根据题意，有|MCil=2+r|叫| 二 r-2，或*|MC1| -|MC2|=4v |C1Q|=，或 | MC2| - |MC1|=4 2)22KY412故答案为:=1 (x 2)r

28、1【点评】本题给出动圆与两个定圆都相外切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查 了两圆的位置关系和双曲线的定义与标准方程等知识，属于基础题.24.已知F是双曲线2 2勺左焦点，A（ 1,4）, P是双曲线右支上的动点,则I PF+I PA的最小值为 9.【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得 a,进而根据PAI+I PF| I AFI =5两式相加求得答案.【解答】解： A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F （4，0），由双曲线性质I PF - I PFI =2a=4而 I PA+I PF| I AF| =5两式相加得I PF+I PA 9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成

29、立.故答案为9.【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用.2Ky22 a25.已知双曲线C:=1 (a0, b 0)的右顶点为 A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点. 则C的离心率为丄互_.3若/ MAN=6 ,【分析】利用已知条件，转化求解 A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线C:弓-咅=1 （a0, b0）的右顶点为A (a，0)，以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若/ MAN=6，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30=_v ,2可

30、得：泌|巫b，即H3【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程 唾，可得离心率为：e旦3.故答案为:C - 23的应用，考查转化思想以及计算能力.2 226.设直线X-3y+m=0 (m0)与双曲线耳三=1 (a0, b0)的两条渐近线分别交于点A, B.若点P (m, 0)满足|PA=|PB，则该双曲线的离心率是2ma皿2 29b -a)，利丁【分析】先求出A, B的坐标，可得AB中点坐标为(和bZg, 2_2 U用点P (m, 0)满足| PA=| PB，可得导=-3,从而可求双曲线的离心ma 曲9b -a率.2 ? ,【解答】解：双曲线-=1 (a0, b0)

31、的两条渐近线方程为y=Rx,则),与直线x-3y+m=0联立，可得A (君，艄)，B (亲，恚2 ma n 229b -a, AB中点坐标为(),点 P (m, 0)满足 | PA=| PB ,二 =- 3,mar=d/+, e应a 2故答案为：Vsa=2b，2【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力, 属于中档题.2 227.设Fi, F2是双曲线C:耳壬二1 (a0, b0)的两个焦点，P是C上一点, a b若|P F|+| P F2|=6a,且 PFF2的最小内角为30则C的离心率为【分析】利用双曲线的定义求出|PF| , | FiF2| , |Pb|，然后

32、利用最小内角为30 结合余弦定理，求出双曲线的离心率.【解答】解：因为Fi、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足| PF|+| Pb| =6a,不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知| PFi| - | PE| =2a所以 |FiF2|=2c, | PF|=4a, | P巨| =2a, PFF2的最小内角/ PFF2=3O,由余弦定理，即 4&2=4&+16&2- 2X 2cX4aX | Pb| 228.已知Fi、F2分别为双曲线C:二1的左、右焦点，点A C,点M的坐y Z f=| FiF2| 2+| PF|2- 2| FiF2| PF| cos/ PFIF2,2，二

33、C2 - 3ca+3a2=0, c3a所以e二聒.a故答案为：Ml.【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力.标为（2, 0） , am为/ FiAb的平分线，则I AF2I = 6.【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦 半径.【解答】解: 不妨设A在双曲线的右支上 AM为/ FiAF2的平分线.lAFi |=|F|3 ciAF?i=iio2r2又 I AF| - | AF2| =2a=6 解得I AFd =6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用 双曲线的定义.2229.过双曲线宁 W厂二1左焦点F的直线交双曲线的左支于 M、N两点，F2为其右焦点，则I MF2I+I NF2| - I MN|的值为 8.【分析】根据双曲线第一定义有I MF2| - I MF| =2a, I N冋I - I NF| =2a,两式相加 得I MF2I+I NF2I - I MNI 的值.【解答】解：根据双曲线定义有IMF2I - I MFI =2a, I NF2I - I NFI