椭圆的常见题型及解法一

1、-3y+2b+3+2d3a+2+2 oXoHc+a椭圆的常见题型及其解法（一）椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的 定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时, 用焦半径公式解题可以简化运算过程。1. 公式的推导设P （扯，冗）是椭圆上的任意一点，Fi（-珥毗）分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证IPF1 |-a+ eso|PF空卜 a - eso10ao11

2、1=a十ez为 因又因为IPil + IPFs 1=药，所以|PF汁a -乐.|PFi I- a + exo |PF I-a -協。证法2 :设 P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知PFidi=e，又(li-kc)H=fo + IIPFJ- di-e.-Cxo + ) = a+ excu ，所以cc(a + exo)-a - ex。|PFi |-a+ exo|PF汁a-乐。2. 公式的应用=+乩14上例1椭圆25 9 上三个不同的点 A （衍yi ）、B （ 5 ）、C （衍，y）到焦点F （4,0）的距离成等差数列，则X1十X2X-百解：在已知椭圆中，右准线方程为4，设A、B、C到

3、右准线的距离为dp d沪已3 ,山-42425斗O|CF卜如5，而|af|、|BF|、|CF|成等差数列。.址2525即 2一-4） = -（鲨 +2例2. Fi , F2是椭圆 + 2 =14的两个焦点，P是椭圆上的动点， 求|F用I閃I的最大值和最小值。解：设Pg九），贝y PFi =2+ 2XoPF 42X0PFiHpF*23 2 Xo.4:P在椭圆上,2xob0）上一点，E、F是左、右焦点,a bPE与x轴所成的角为a，PF与x轴所成的角为P,c是椭圆半焦距，贝（1） IPE|=ba ccosab2;（2） IPF|=。a +ccos P2 2P是椭圆 每+务=1（a b 0）上一点，

4、E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为a，a bb2PF与x轴所成的角为P,c是椭圆半焦距，则（3）|PE| = b；4） IPF|=。a + csinda - csin Pb2证明：（1）设P在x轴上的射影为 Q,当a不大于90时，在三角形 PEQ中，有I PE I I PE I由椭圆焦半径公式（1）得 I PE| = a + exP。消去xP后，化简即得（1）IPE| = b。 a -ccos。 awjjRJjC-XPI PE I I PE I而当a大于90时，在三角形 PEQ中，有cos（兀二 cosd = 2I PEI以下与上述相同。（2 ）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。

5、4.变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例1. （2005年全国高考题）P是椭圆 笃+爲=1（a b0）上一点，E、F是左右焦 b点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点 是F,若三角形PEF是等腰直角三角形,则椭圆的离心率解：因为PF丄EF，所以由（2）b2b2式得|P F| =a+cco90 a再由题意得2 2 2-c =2ac二 c +2ac-a =0二2CCe + 2e - 1 = 0 obI EF |=| PF n 2c = 二 a注意到 0 e c 1 解得 e = J 2 -1 O2 2例2.P是椭圆盖+64上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为

6、-4J3，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为P ,则:tan P = v73, cos P = -1743sin P =7。因为a= 10, b= 8, c= 6,由变式（2）得82|PF| =110+6x（-7）=7所以三角形PEF的面积S =11 PF IIEF |sin1=一 X27 X 2 X 6X也 24737变式训练1.经过椭圆2 = 1（a A b A 0）的左焦点F1作倾斜角为60的直线和椭 b圆相交于A , B两点，若|AF12|BF1|，求椭圆的离心率。解：由题意及变式（2）得b2b2=2 Xa CCOS60 a cos(60 +180)1化简得 2a - c =

7、a + c=23c = 2a =变式训练2.设F是椭圆x22+才1的上焦点,PF与FQ共线，MF与FN共线,且PF mF = 0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为a，则由题意知 PF丄MF，所以MF倾斜角为 90 +a，而|PQ|=| PF|+|FQ|1a=J2, b=1, c = 1，由题意及(3)式得+72-si na72si n(180 + )2运2 -sin2 a同理得| MN匸一迂厂。由题意知四边形 PMQN面积2 -COS aS = j PQ|MN|2 22 2 -sin a 2 - cos a162 22 +sin a cos a162 28 +4sin

8、a cos a3228+sin 217-cos4a当 cos如=1 时，Smax32市=2 ；当 COW1 时，Smin321617-(-1)9 椭圆的焦点弦设椭圆方程为令+%=1(a Ab ：0,c2 =a2-b2)过椭圆右焦点且倾斜角为a b兀si n0日（0 H）的直线方程为y =（X -C），此直线交椭圆于 A, B两点，求焦点弦 AB的长.2cos日解：将直线方程代入椭圆方程并整理得（胪十耳罟）才+哙驴7宀设-是此一无二次方程的阴个粒根据椭闔第二定义得I八禹=2。一计a +工丄由韦达定理可知宀毛=乔歸沽歹代人此焦点弦长公式，再利用心舟及口。卍亦日1化简可得I八砂=衣號而.出0 Y时，

9、称此时的焦点弦为通径，Jt长度公式为务把&=号代入骑证，符合公式*同理，可推得过椭圆左焦总的效长公武为T年F-耳（ cos 7故肉轴在北轴上的椭圆焦点弦长公式为|心别=芦2：淖矿例1、已知椭圆的长轴长Afl =8，焦距FiF2 =4J2，过椭圆的焦点Fi作一直线交椭圆于P、Q两点，设NP F/ =a（0ac兀），当a取什么值时,轴长?PQ等于椭圆的短分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且 a = 4，C = 2，从而b = 2J2，故由焦点弦长公式F1F2 =2ab22x4x（2J2）2厂-2 及题设可得： 匚=4/2，a -C cos 日16 8cos acosa = 土 J2 ，即 a =

10、 arc cosj2 72 或兀一arc cosJ2-72。例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（ 3，1），相应于F的准线为，求椭圆5Y轴,直线I通过点F，且倾斜角为生，又直线I被椭圆E截得的线段的长度为3方程。分析：由题意可设椭圆E的方程为（X-C-3）2 +（y-1）2b2=1，又椭圆E相应于F的准线2为丫轴，故有=cC+3（ 1），又由焦点弦长公式有2ab2222兀a -C cos 一3=165（2）又 a2 =b2 +c2（3）。解由（1）、（ 2）、（ 3）联列的方程组得：a2 =4 , b2 =3，c = 1，从而所求椭圆2 2E 的方程为（X-4）+（y-1）=1。4

11、3变式训练2 21、已知椭圆C：笃+ a2b2=1（ abAO），直线11:上=1被椭圆Ca b截得的弦长为2Q2，过椭圆右焦点且斜率为J3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴2长的2，求椭圆C的方程。5分析：由题意可知直线11过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有 a2 + b2 = 8，（ 1）2 ab24a又由焦点弦长公式得2 2ab 2=竺a -c cos 日 5(2) 因 tan8 = /3，得 0 = ， (3)3又 a2 2 +c2（4）。解由（1 ）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：a2 =6，b2 =2，2 2从而所求椭圆E的方程为 乞+ Z = 1。6 22 2例3已知椭圆 =1的左右焦点分别为3 2Fi,F2，过Fi