(2021年整理)中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

1、中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步

2、，以下为中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)的全部内容。中考压轴题突破:几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：定点到定点：两点之间，线段最短;定点到定线:点线之间，垂线段最短。 由此派生：定点到定点:三角形两边之和大于第三边;定线到定线：平行线之间，垂线段最短；定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短(长）；定线到定圆：线圆之间，心垂线截距最短；定圆到定圆：圆圆之间，连心线截距最短（长）。举例证明：定点到定圆：点圆之间,点心线截距最短（长）。已知o半径为r，ao=d，p是o上一点,求ap的最

3、大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短”得apao+po，aoap+po，得drapd+r,ap最小时点p在b处，最大时点p在c处。即过圆心和定点的直线截得的线段ab、ac分别最小、最大值.（可用“三角形两边之和大于第三边”,其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的.2、 考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的.类型分三种情况：(1)直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3)动

4、线(定点)位置需变换。（一）直接包含基本图形例1.在o中，圆的半径为6，b=30，ac是o的切线，则cd的最小值是 。简析:由b=30知弧ad一定,所以d是定点，c是直线ac上的动点,即为求定点d到定线ac的最短路径，求得当cdac时最短为3。（二）动点路径待确定例2.，如图，在abc中，acb=90，ab=5，bc=3，p是ab边上的动点（不与点b重合)，将bcp沿cp所在的直线翻折，得到bcp,连接ba，则ba长度的最小值是。简析：a是定点，b是动点，但题中未明确告知b点的运动路径,所以需先确定b点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中b的路径是以c为圆心，bc为半径的圆弧，从而转

5、化为定点到定圆的最短路径为acbc=1。 例3。在abc中，ab=ac=5，cosabc=3/5，将abc绕点c顺时针旋转，得到abc,点e是bc上的中点，点f为线段ab上的动点，在abc绕点c顺时针旋转过程中，点f的对应点是f，求线段ef长度的最大值与最小值的差。简析：e是定点,f是动点，要确定f点的运动路径.先确定线段ab的运动轨迹是圆环，外圆半径为bc，内圆半径为ab边上的高，f是ab上任意一点，因此f的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点e到圆环的最短和最长路径。e到圆环的最短距离为ef2=cf2-ce=4.8-3=1.8，e到圆环的最长距离为ef1=ec+cf1=3+6=9，其差

6、为7。2.（三)动线（定点）位置需变换线段变换的方法:（1)等值变换：翻折、平移;（2)比例变换：三角、相似.【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例4.如图，aob=30，点m、n分别是射线oa、ob上的动点，op平分aob，且op=6，当pmn的周长最小值为 。简析：动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段pm、mn、pn在oa、ob的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段pm、mn、pn转化为连接两点之间的路径.如图，把点p分别沿oa、ob翻折得p1、p2，pmn的周长转化为p1m+mn+p2n，这三条线段的和正是连接两个定点p1、p2之间的路径

7、，从而转化为求p1、p2两点之间最短路径，得pmn的周长最小值为线段p1p2op6.例5。如图,在锐角abc中，ab=4，bac=45,bac的平分线交bc于点d,m、n分别是ad和ab上的动点，则bm+mn的最小值是 。简析:本题的问题也在于动线段bm、mn居于动点轨迹ad的同侧，同样把点n沿ad翻折至ac上，bm+mnbm+mn,转化为求点b到直线ac的最短路径，即bnac时，最小值为2。【平移变换类】典型问题:“造桥选址”例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，a、b是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使a、b之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河

8、岸m向下平移与n重合，同时把点a向下平移河宽，此时转化成n上的一点到a、b的路径之和最短,即转化为定点a到定点b的最短路径。如下图：思路是把动线am平移至am，an+bn即转化为求定点a与定点b之间的最路径。本题的关键是定长线段mn把动线段分隔，此时须通过平移把动线段an、bn变为连续路径，也可以把点b向上平移20米与点a连接。例7。如图,cd是直线y=x上的一条定长的动线段，且cd=2，点a（4，0），连接ac、ad，设c点横坐标为m，求m为何值时，acd的周长最小,并求出这个最小值。解析：两条动线段ac、ad居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。首先把a

9、c沿直线cd翻折至另一侧，如下图：现在把周长转化为ac+cd+ad，还需解决一个问题：动线段ac与ad之间被定长线段cd阻断,动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理,把ac沿cd方向平移cd的长度即可，如下图.现在已经转化为ad+ad的最短路径问题，属定点到定点,当ad与ad共线时ad+ad最短，即为线段aa的长。【三角变换类】典型问题:“胡不归”例8.如图，a地在公路bc旁的沙漠里，a到bc的距离ah23，ab219,在公路bc上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。某人在b地工作，a地家中父亲病危，他急着沿直线ba赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子,连连问:“胡不归，

10、胡不归！（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么，从b至a怎样行进才能最快到达？简析：bp段行驶速度是ap段的2倍,要求时间最短即求bp/2+ap最小，从而考虑bp/2如何转化,可以构造含30角利用三角函数关系把bp/2转化为另一条线段.如下图,作cbd=30,pqbd，得pq=1/2bp，由“垂线段最短”知当a、p、q共线时ap+pqaq最小。【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆：知平面上两点a、b，则所有满足pa/pb=k且不等于1的点p的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中po:boao:popa：pbk

11、.例9.已知a(4，-4）、b(0, 4)、c(0, 6)、 d（0, 1），ab与x轴交于点e,以点e为圆心,ed长为半径作圆，点m为e上一动点,求 1/2am+cm 的最小值.简析:本题的主要问题在于如何转化1/2am，注意到由条件知在m的运动过程中，em：ae1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与aem的相似比为1:2，这样便可实现1/2am的转化，如下图取en：em1:2，即可得emneam，再得mn=1/2am，显然，mn+cm的最小值就是定点n、c之间的最短路径。之后便是常规方法先求n点坐标，再求cn的长。【解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线.（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。(动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线,动线与折线同指）核心