高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 文 苏教版(2021年最新整理)

1、（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 文 苏教版（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 文 苏教版 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 文 苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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3、a,b为非零向量长度问题数量积的定义a|,其中a（x，y)，a为非零向量(2）用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题。2.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数），解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。【知识拓展】1。若g是abc的重心，则0。2.若直线l的方程为axbyc0，则向量(a，b）与直线l垂直,向量(b,a)与直线l平行。【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“”或“”）(1）若,则a，b，c三点共线.（）(2）若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角。(

4、)(3)在abc中，若0,则abc为钝角三角形.（）（4)已知平面直角坐标系内有三个定点a（2，1)，b(0,10）,c（8，0),若动点p满足：t(),tr，则点p的轨迹方程是xy10.(）1。已知向量a（cos ，sin ）,b（，1)，则|2ab的最大值为_。答案4解析设a与b夹角为，2ab|24a24abb284a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20，16，2ab0,4.2ab|的最大值为4.2.设o是abc内部一点，且2，则aob与aoc的面积之比为_.答案12解析设d为ac的中点，如图所示,连结od,则2。又2，所以，即o为bd的中

5、点，从而容易得aob与aoc的面积之比为12。3。(2016泰州模拟）平面直角坐标系xoy中，若定点a（1,2）与动点p(x，y)满足4，则点p的轨迹方程是_（填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”）.答案x2y40解析由4，得（x，y）(1，2)4,即x2y4.4.在abc中，m是bc的中点，am1，点p在am上且满足2，则（)_.答案解析因为m是bc的中点，所以2，所以()。5。如图,abc是边长为2的等边三角形，p是以c为圆心,1为半径的圆上的任意一点，则（)min_。答案1解析取ab的中点d,连结cd、cp（图略)。所以（)（)()2(2)22176cos,当cos，1时，取得最小值

6、1.题型一向量在平面几何中的应用例1（1)在平行四边形abcd中，ad1，bad60，e为cd的中点.若1，则ab_。(2）已知o是平面上的一定点，a，b,c是平面上不共线的三个动点,若动点p满足（）,(0，)，则点p的轨迹一定通过abc的_.(填“内心“外心”“重心”或“垂心）答案（1)（2)重心解析（1)在平行四边形abcd中，取ab的中点f，则,，又，（）（)22|2|cos 6021|21。|0，又0,|.（2)由原等式，得(），即（）,根据平行四边形法则，知是abc的中线ad（d为bc的中点）所对应向量的2倍,所以点p的轨迹必过abc的重心。引申探究在本例(2)中，若动点p满足，(0

7、,)，则点p的轨迹一定通过abc的_。(填“内心”“外心”“重心”“垂心”）答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分bac，即平分bac，所以点p的轨迹必过abc的内心.思维升华向量与平面几何综合问题的解法（1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.（1)在abc中，已知向量与满足（）0，且,则abc的形状为_三角形.（2）已知直角梯形abcd中,adbc，adc90,ad2，bc1，

8、p是腰dc上的动点,则3|的最小值为_.答案（1）等边(2）5解析(1），分别为平行于,的单位向量，由平行四边形法则可知为bac的平分线.因为（)0，所以bac的平分线垂直于bc，所以abac.又cosbac，所以cosbac，又0bac，故bac，所以abc为等边三角形。（2)以d为原点，分别以da，dc所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设dca，dpy. 则d（0，0），a(2,0），c(0,a），b(1,a)，p(0，y）,（2，y），（1，ay），则3(5,3a4y)，即3|225（3a4y）2，由点p是腰dc上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2的最小值为25。故

9、3|的最小值为5.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k,12)，（4,5)，(10,k)，且a、b、c三点共线，当k，又a，b0，向量a与向量b的夹角为.3.（2016南京模拟)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，则sin 2_。答案解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ,又sin2cos21，5sin21，sin2，cos2,sin 22sin cos cos2.4。设abc的三个内角为a，b,c，向量m（sin a，sin b)，n(cos b，cos a),若mn1cos(ab），则c_。答案解析依题意得sin acos bcos asin

10、b1cos(ab），sin（ab)1cos（ab)，sin ccos c1，2sin（c）1,sin（c).又c,因此c，c.5。已知点a(2,0），b(3,0),动点p(x，y)满足x2，则点p的轨迹是_。答案抛物线解析（2x，y)，（3x，y），(2x）(3x）y2x2,y2x6，即点p的轨迹是抛物线.6.已知a（1，cos ),b（sin ，1），若|(o为坐标原点),则锐角_.答案解析方法一由向量的几何意义可知，是以oa、ob为邻边作平行四边形oadb的对角线向量,则是对角线向量，于是对角线相等的平行四边形为矩形，故oaob。因此0,所以cos sin 0，即sin cos ,又因为为

11、锐角，所以。方法二(sin 1，cos 1）,（sin 1,cos 1），由|可得(sin 1）2(cos 1）2（sin 1）2（cos 1）2,整理得sin cos ，于是锐角。7.在菱形abcd中，若ac4，则_.答案8解析设cab，abbca，由余弦定理得：a216a28acos ，acos 2，4acos（）4acos 8.8。(2016南京模拟)已知平面向量a,b满足a|1，b2,a与b的夹角为。以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_。答案解析|ab2|ab24ab4|a|b|cos 40，abab|，又ab2a2b22ab3，|ab.9.设e

12、1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yr。若e1,e2的夹角为，则的最大值等于_。答案2解析。因为（）2，所以的最大值为2.10。(2016常州期末)如图，直角梯形abcd中,abcd，dab90，adab4,cd1，动点p在边bc上，且满足mn（m,n均为正实数），则的最小值为_.答案解析方法一建立如图所示的平面直角坐标系，则a(0，0），b（4，0),d(0,4)，c(1，4）。又kbc，故bc：y（x4）。又mn，（4，0)，(0，4），所以(4m,4n)，故p（4m，4n)，又点p在直线bc上，即3n4m4，即4()（3n4m）(）77274,所以(）min，当且仅当即m4

13、2，n时取等号(因为m，n均为正实数).方法二因为mn，所以mn（)mn（m)n.又c,p，b三点共线，故mn1，即m1,以下同方法一。11.已知向量a(sin（)，3），b（1,4cos )，(0，）。(1)若ab，求tan 的值;(2）若ab,求的值.解（1）因为ab，所以sin（)12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0,又由题意得cos 0,所以tan .(2)若ab,则4cos sin()3，即4cos (sin cos ）3，所以sin 2cos 22.所以sin(2）1.因为(0，），所以2(，)，所以2,即。12。已知向量a（cos ,sin ),

14、b（cos ,sin )，0。(1)若ab，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值.(1)证明由题意得ab|22，即(ab）2a22abb22.又因为a2b2a2b|21,所以22ab2，即ab0，故ab.（2）解因为ab（cos cos ,sin sin ）（0，1)，所以由此得，cos cos（）,由0,得0，又0,故.代入sin sin 1,得sin sin ，而,所以，.13。在abc中，设内角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m（cos a，sin a），向量n（sin a，cos a）,若mn|2.(1)求内角a的大小；（2）若b4,且ca，求abc的面积。解（1）|mn|2（cos asin a)2（sin acos a）242(cos asin a)44cos(a)。44cos（a）4，cos（a）0.a(0，），a，a。（2）由余弦定理知：a2b2c22bccos a,即a2（4）2(a)224acos，解得a4,c8。sabcbcsin a4816。14。设向量a（cos xsin x，1），b(2sin x,1），