(2021年整理)函数重、难点讲解：函数的单调性一

1、函数重、难点讲解：函数的单调性一函数重、难点讲解：函数的单调性一 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（函数重、难点讲解：函数的单调性一）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为函数重、难点讲解：函数的单调性一的全部内容。7函数的单调性(一) 增、减函数定义王宪良【学习目标】 （1)理解函数的单调性及其几何

2、意义；(2)会运用函数图象理解和研究函数的单调性； 一、 阅读课本内容，有一句话：“随着x的增大，相应的f（x）也随着增大”，怎么用图象和数学式子表示这句话？“f（x) 随着x的增大而减小呢”？ 什么叫做增函数?减函数？（记住定义）定义：如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f（x)在区间d上是增函数如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1）f（x2）,那么就说函数f（x）在区间d上是减函数。练习：定义在r上的函数f（x)，对任意两个不相等的实数，总有，则必有 （ )a.

3、函数f(x）先增后减 b. 函数f(x）先减后增c。函数f（x)在(，+）上增 d。 函数f(x）在（-，+)上减注1：增（减）函数的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征,在增（减)函数的定义中包含三个方面的内容，即只要满足：任意，有或,就能推出y=f(x）是增（减）函数。这三项可以知二求一，即：（1）是增函数,是减函数;(2），（3），以上特征(2）(3)称作函数单调性的可逆性，利用（3）可以脱去某些函数符号，也可以解某些不等式.如：若f(x)是减函数，且,则，又如：解不等式时,可利用幂函数的单调性,由于幂函数在r上单调递增，因此， 利用函数单调性的可逆性出题较多,详见后单调性的应用。2。研

4、究函数单调性时,需注意事项：坚持“定义域优先”的原则,要优先考虑函数的定义域. 如：函数在0，+)上单调递增。“整体”与“局部”之分，函数的单调性是函数在某个区间是的性质，是局部性质，而“奇偶性”、“周期性等是函数的整体性质.如：函数在(，0）和 (0，+）上分别单调递减,但不能说“在定义域上单调递减”x的“任意”性，必须是这一局部（区间）内任意的两个值，不能用具体的两个值来代替，否则就会产生错误。比如函数，若取,，因为，由此推出f(x)是增函数,就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性。如果一个函数在其定义域内有多个单调增（减）区间，那么这些区间应用逗号隔开(即“局部），而不能

5、用并集符号连接，（并完之后就成了“整体”），如：函数的单调减区间可以写成（，0），(0,+)（或者写成（,0)和（0，+)，但不能写成（,0）(0，+）.因为函数的单调性是反映函数图象变化趋势的，所以在某一点处没法讨论函数的单调性，比如函数x2的单调增区间可以写成开区间(0,+)，也可以写成0,+).但是若定义域中不包含这个端点，则必须使用开区间表示.二、 什么叫做函数具有单调性？请说出一次函数、反比例函数、二次函数的单调性？请例举几个具有单调性（增、减）和不具有单调性的函数? 如果函数y=f(x）在区间d上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x）在这一区间具有单调性，区间d叫做y=f(x)

6、的单调区间。 画图可知：一次函数，当k0时，在(-，+）上单调递增，当k0时，在(-，0)和（0,+)上单调递减，当k0时，在（，0）和(0,+）上单调递增；二次函数,当时，在(，)上单调递减，在（，+)上单调递增;当时，在(，)上单调递增，在（-，+）上单调递减。举例：函数y=-2x+1在（-，+)上是减函数；函数y=x2+1在（，+)上不单调；函数y=x+1,xz。的定义域不是区间，所以不能说它在定义域上具有单调性。三、例1. 下图是定义在区间5,5上的函数yf(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数?解:函数yf（x)的单调区间有5,2)，2，

7、1)，1，3)，3，5其中yf(x)在区间5,2），1，3）上是减函数，在区间2，1),3，5上是增函数。练习:1。 根据如图的图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性解:函数图象上升的区间为增区间，下降的区间为减区间,结合图象可知:函数在区间（-，0。7上为增函数，在（0.7，0上为减函数，在（0,1。1上为增函数，在（1.1，2上为减函数（2，+）上为增函数。练习：2.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性(1) （2）例2证明函数(k为正常数)在区间(0,+）上是减函数。分析:这是一个重要题型证明函数的单调性（即证明f（x）在某区间

8、上增或减），证明的依据是什么？证明步骤为（重点)？ 证明的依据是定义;证明：(定义法）设0x1x2 （下面用作差法比较f(x1）与f（x2）的大小） 则f（x1）-f(x2）= 因为00，x1x20,又因为k0,所以f（x1)f（x2）0，所以f（x1）f(x2)所以函数（k为正常数）在区间(0,+)上是减函数。总结步骤：1。设x1、x2属于要证的区间，且x1x2. 2。求f(x1）-f(x2)，并整理，该步的结果必须化成几个因式的积或商，便于与0比较. 3。讨论上式的正负，从而得到f（x1)与f（x2)的大小关系；4.回答问题。(依据增(减)函数定义,得函数在所给区间上为增（减）函数)练习:

9、1。请证明反比例函数，在（,0)上为减函数。2.证明函数f(x)=2x+1在上是减函数.四、尝试归纳以下结论，对于直接判断函数单调性有好处:函数f（x)与f（x）+c(c为常数)的单调性相同.函数f(x）与，当时，单调性相同,当时，单调性相反.特别地:函数y = f（x)与函数y = f(x)的单调性相_.如：函数y=-x与y=x当f(x)0，则y=与y=f(x） 的单调性相_。如：函数y=与y=x; 请判断函数f（x）= 1的单调性.在公共区间内,对于函数f(x）g(x)可以总结为:增 + 增= 增, 增 - 减= 增, 减 + 减= 减，减 增= 减。如：函数y=x-是_函数。当f(x）,g(x）都是增（减）函数时,若两者都恒大于0，则f(x)g(x）也是增(减)函数;若两者都恒小于0，则f(x）g（x)是减（增）函数. 如：y=xx （x0） 是_函数.