解析几何-历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案

1、1 2 02m n2016 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编9、解析几何部分2018a 4、在平面直角坐标系xoy中，椭圆c :x 2 y 2+ =1（a 2 b 2a b 0）的左右焦点分别是f , f1 2，椭圆c的弦st与uv分别平行于x轴和 y轴，且相交于点p，已知线段pu , ps , pv , pt的长分别为1,2,3,6，则dpf f1 2的面积为答案：15解析：由对称性，不妨设点p (x, y00)在第一象限，则x =0pt - ps2=2，y =0pv - pu2=1即p (2,1)。 进 而 可 得u (2,2)，s(4,1)， 代 入 椭 圆 方 程 解 得

2、 ：a 2 =20，b 2 =5， 从 而sdpf f1 21 1= f f y = 2 15 1 = 15 2 2。2018b 6、设抛物线c : y2=2 x的准线与x轴交于点a，过点b ( -1,0)作一直线l与抛物线c相切于点 k ,过点 a 作 l 的平行线，与抛物线 c 交于点 m , n ，则 dkmn 的面积为为答案：12解析:设直线l与mn的斜率为k，l : x =1ky -1，1 1 mn : x = y -k 2分别联立抛物线方程得到：y 2 -2 2y +2 =0 （ *），和y - y +1 =0 k k（*）对（ *）由 d =0 得 k =22；对（ *）得y -

3、ymn=4k 2-4 =2所以sdkmn=sdbmn=sdbam-sdkban=1 1 ab y -y =2 22017a 3、在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的方程为x 2 y 2+ =19 10，f是c的焦点，a为c的右顶点， p 是 c 上位于第一象限内的动点，则四边形 oapf 的面积最大值为3cosq, 10 sin( )2 1234 4 4答案：3 112解析：由题意得a(3,0)，f(0,1)，设 p 点的坐标为( ) q ，其中q0,p2，则soapf=sdoap+sdofp=1 1 3 11310 sin q+ 3cosq= sin q+j 2 2 2， 可 得 面 积 最

4、大 值 为3 112。2017b 7、设 a 为非零实数，在平面直角坐标系 xoy 中，二次曲线x2+ay2+a2=0 的焦距为 4 ，则实数a的值为 答案：1 - 171解析：二次曲线方程可写成-x 2 y 2-a 2 a=1，显然必须-a 0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为y 2 x 2- =1 ，则 c ( -a) 2 ( -a)2=( -a)2+( -a)2=a2-a，注意到焦距 2 c =4 ，可知 a 2 -a =4 ，又a 8 =2 y y12，所以这样的y , y12是存在的，对应的 a, b 也是存在的。所以pf =y 2 (y+y )2 y 2 +y 2 -4 208 -

5、43 +1 = 1 2 +1 = 1 2 = = 13 -1 4 4 42018b 11、（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中， a, b 与 c , d 分别是椭圆x 2 y 2g: + =1 （ a b 0 a 2 b 2）的左、右顶点与上、下顶点设p, q是椭圆上且位于第一象限的两点，满足oq / ap，m是线段ap的中点，射线om与椭圆交于点r.证明：线段oq , or , bc能构成一个直角三角形。0 0)m2x +ax -a0000证明:设点 p 的坐标为 (x, y )，由于oq / ap ，则 ap =op -oa ，1 ( )又 or / om ， 所

6、 以 om = op +oa ， 故 存 在 实 数2( ) ( )oq =lop -oa , or =mop +oa ，此时点 q, r 的坐标可以分别表示为l,m ， 使 得(l(x+a),ly)，0 0(m(x-a),0my0。由于点 q , r 在椭圆上，所以 l2 x 2 y0 +a 2 b( )20a 2( )20a 220 =12y 2+ 0b 2y 2+ 0b 2=1=1，化简整理得 l22+因此，2 x0aoq 2 x a a=m22- 0 =1，则 l2 = ， m2 = （ *） a 2(a +x ) 2( a -x )0 02 +or 2 =l2(x+a)2+y2 )+

7、m2(x-a)2+y2)，0 0 0 0=a (x+a)2+y2 )+ a (x-a)2+y2 ) 2(a +x ) 2(a -x )0 0a (x+a ) ay 2 a(a-x ) ay 2 = 0 + 0 + 0 + 02 2(a +x ) 2 2(a -x )0 0=a 2 +ay 2021 1+a +x a -x 0 0=a2+ay 2022a a 2 -x 20=a 2 +b 2= bc2线段oq , or , bc能构成一个直角三角形。2017b 11 、（ 本 题 满 分 20 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 曲 线c : y12=4 x， 曲 线c : (

8、x -4) 2 +y 2 =8 2经过c1上一点p作一条倾斜角为450的直线l，与c2交于两个不同的点q , r，求pq pr的取值范围。 解 析 ： 设p(t2,2 t )， 则 直 线l的 方 程 为y = x +2 t -2t， 代 入 曲 线c2的 方 程 得 ，( x - 4 2) + x( + t2 -2t 2 ) =，8化简可得：2 x 2 -2(t 2 -2t +4) x +(t 2 -2t ) 2 +8 =0，由于l与c2交于两个不同的点，故关于x的方程的判别式d为正，计算得，d4=(t 2 -2t +4) 2 -2(t 2 -2t ) 2 +8) =(t 2 -2t ) 2

9、 -8(t 2 -2t ) +16 -2( t 2 -2t ) 2 -16=-(t2 -2t ) 2 +8(t 2 -2t ) =-(t 2 -2t )(t 2 -2t -8) =-t(t -2)(t +2)(t -4)，因此有t ( -2,0) (2,4)，设q, r的横坐标分别为x , x1 2，由知，x +x =t 2 -2t +4 1 2，x x =1 212(t 2 -2t ) 2 +8)，因此，结合 l 的倾斜角为 45 可知，| pq | | pr |= 2( x -t12) 2( x -t22) =2 x x -2t 1 22( x +x ) +2t 1 24=(t2-2t )

10、2+8 -2t2(t2-2t +4) +2t4=t4-4t3+4t2+8 -2t4+4t3-8t2+2t4=t 4 -4t 2 +8 =(t 2 -2) 2 +4，由可知，t 2 -2 ( -2,2)(2,14)，故(t 2 -2) 2 0,4) (4,196)，从而由得：| pq | | pr |=(t2-2)2+4 4,8) (8,200)2111 212注 1：利用c2的圆心到l的距离小于c2的半径，列出不等式|4 +2t -t 22|0)，点 q 的坐标为( -a,0)( a 0)，并设c , c12的圆心分别为o ( x , y ), o ( x , y ) 1 1 1 2 2 2设

11、直线 pq 的方程为x =my -a ( m 0)，将其与 c 的方程联立，消去 x 可知 y2-2 pmy +2 pa =0因为 pq 与 c 相切于点 p，所以上述方程的判别式为d=4 p 2 m 2 -4 2 pa =0，解得m =2ap进而可知，点 p 的坐标为( x , y ) =( a, 2 pa ) p p于是| pq |= 1 +m2| y -0 |= 1 + p2ap 2 pa = 2 a ( p +2 a )由pq=2 可得 4 a 2 +2 pa =45 分注意到 op 与圆c , c12相切于点 p，所以op o o12设圆c , c12与x轴分别相切于点 m，n，则o

12、o , oo12分别是pom , pon的平分线，故o oo12=90从而由射影定理知y y =o m o n =o p o p =op 1 2 1 2 1 22=x2p+y2p=a2+2 pa结合，就有y y =a1 22 +2 pa =4 -3a 210 分由o , p , o 12共线，可得y - 2 pa12 pa -y2y -y o p o m y = 1 p = 1 = 1 = 1y -y po o n y p 2 2 2 2122 pa2 2 化简得y +y =1 222 pay y1215 分令t =y 2 +y 2 1 2，则圆c , c12的面积之和为pt根据题意，仅需考虑

13、 t 取到最小值的情况根据、可知，t =( y +y ) 1 224-2 y y = y 2 y 2 -2 y y1 2 1 2=44 -4 a2(4 -3a 2 ) 2 -2(4 -3a 2 ) =(4 -3a 2 )(2 -a 1 -a 22)作代换t =1 -a2，由于4t =4 -4 a2=2 pa 0 ，所以 t 0 于是t =(3t +1)(t +1) 1 1=3t + +4 2 3t +4 =2 3 +4 t t t上式等号成立当且仅当t =33，此时a = 1 -t = 1 -13，因此结合得，p 1 -a 2 = =2 at1 -13=3t3 - 3=13 - 3从而 f 的

14、坐标为p 1( ,0) =(3 - 3,0)20 分2016b 6 、 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 圆c : x 2 +y 2 -a =0 1关 于 直 线l对 称 的 圆 为c : x 2 +y 2 +2 x -2 ay +3 =0 2,则直线l的方程为答案： 2 x -4 y +5 =0.解析： c , c 的标准方程分别为 c : x 2 +y 2 =1, c : (x+1)2+(y-a)2=a2-2. 1 2 1 2由于两圆关于直线 l 对称，所以它们的半径相等因此 a =a2-2 0, 解得 a =2. 故 c , c 的圆心1 2分别是 o1(0,0),o2(-1,

15、2).直线l 就是线段 1 o o 的垂直平分线，它通过 o o 的中点 m - ,1 ，由此可 1 2 1 2得直线 l 的方程是 2 x -4 y +5 =0.( ) ( )122016b 11、（本题满分 20 分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线c的方程为x2-y2=1求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点(a,0)任意作两条互相垂直的直线l1与l2，若l1与双曲线c交于p, q 两点， l 与 c 交于 r , s 两点，则总有 pq = rs 成立2解析：过点 (a,0)作两条互相垂直的直线 l : x =a1与 l : y =0. 2易 知 ， l1与 c 交 于 点 p a,

16、 a 2 -1 , q a , - a 2 -1 （ 注 意 这 里 a 1 ）， l0 02与 c 交 于 点r (1,0),s(-1,0),由条件知2 a 0 02-1 = pq = r s =2 ，解得 a = 2. 0 0 0 0这意味着符合条件的 a 只可能为 2. 下面验证 a = 2 符合条件事实上，当 l , l12中有某条直线斜率不存在时，则可设 l : x =a , l : y =01 2，就是前面所讨论的 l , l12的情况，这时有 pq = rs . 若 l , l12的斜率都存在，不妨设l : y =k (x-2 ),l: y =-1 (x-2 )(k0),k注意这里 k 1（否则 l 将与 c 的渐近线平行，从而 l1 1联立 l 与 c 的方程知， x 2 -k 2 (x-2 )2-1=0,