完整版)20122013北邮概率论研究生试题答案定稿

1、北京邮电大学20122013学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答 题纸上写上你的 班号和选课单上的学号，班内序号!一.单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1. 设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是 .A（A） 若 A A, B A,则 A B A；（B） 若 A A, B A,则 B A;（C）若 A A, n 1,2,则A A;（D） 若 A A,n 12,且 A A2 A3 川，则A A.2. 设，F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c(A) 若

2、A F, B F,则 P(A B) P(A) P(B)；(B) 若 A F, n 眾，,且 A A2 A3 卅，则 P(f|A)imP(An)；(C) 若 A F, B FC F,，贝U P(aUbC) P(A) P(Ab) P(A BC)；(D) 若 A F, n 1,2,且 AAj , i j，P(An)P(An).n 13. 设f为从概率空间，F,P到Borel可测空间R,B上的实可测函数,100表达式为f ( ) kl A，其中AAk 0若已知P（Ak）100! 1100k!(100k)! 2，则f2dP100kP(AJ,25 5022525k 04. 设二维随机变量(X,Y)的概率密

3、度f(x, y)2,0,1,0 y x,其他，则 EEX |Y =.2/35.设随机过程X(t) X cost,，其中随机变量X服从参数为1的指数分布,(0, /2)为常数，则(1)X(1)的概率密度f (x;1)xe cos , x 0,.f (x;1) cosE(0, 其他，6.设W(t),t 0是参数为2(10)的维纳过程，令X(t) W()，则相关函数 RX(1,2)27.设齐次马氏链的状态空间为E 1,2,3，一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5则(1)nim PT)；(2)p33 . 1/2,2n 0二.概率题(共30分)1. (10分)设(X,Y)的概率密

4、度为f (x, y)2e令U X Y ,V Y,( 1)求(U ,V)的概率密度g(u,v) ；(2)求U的边缘概率密度gu(u).2解解( 1)解方程u X2y ,得得y,y v,v ,|v| u,所以雅可比行列式Jg(u,v) f (x, y)| J |(2)对 u 0 ,gu(u)uu故 gu (u)2 2 e0,u2、u2v20v2,u21v2u2u2v2|v| u,0,g(u,v)dvu 0,其他.2. (10分)设(U,V)的概率密度g(u,v)0,(1)求 E(lv i|U 10)，其中IVi(解U的边缘概率密度为ugu(u)0 g(u,v)dvue udv,0所以条件概率密度2

5、e=dv2 v1,0,0,其他,=dv2v10分v 0,v其他,0,V其他,ue0,，(2)D(V|U).u 0,其他,0,gvu(V|310 v u,Ju0,其他g(u,v) gu (U)(1)E(lvi|U 10) P(V 1|U10)101 gvu (v|u 10)dv10 1dv1 10(2)因为 D(V |Uu)12，所以D(V |U )u2123. ( 10分)设X1,X2,|,Xn独立同分布，均服从两点分布，即PX10 p,PX11=1-p,(0 p 1)，令 Y X1 X2 III Xn, (1)特征函数；(2) 求 E(Y3).解：(1)因为丫服从二项分布B(n,q)，所以丫

6、的特征函数(t) (p qeY(2) E(Y3) E(X1 X2 川 Xn)nnnnEXi3E(X：Xj)E(XiXjXQi 1i,j 1,j ii ,j,k 1,互不相等nq n(n 1)q2 n(n 1)(n 2)q34分27分10分求Y的5分10分三.随机过程题（共40分）1. （10分）设X1（t）（t 0）是参数为（0）的泊松过程，即满足:(1) X1(0)0;（2） XMt）为独立增量过程;(t)ke t 对 s,t 0,有 PX(s t) X(s) k ( L) ek! ,k O1卅X2(t)(t0)也是参数为(0)的泊松过程，且与Xi(t)独立，令Y(t) Xi(t)X2(t)

7、 , (1) 求 Y(t)和RY(s,t) ; (2) 求 PY(1) 1.解：因为Y(t)Xi(t) X2(t)是参数为2的泊松过程，所以2Y(t)2，& (s,t)2 mins, t 4 st10分(2) PY(1) 12 e 22. (10分)设X(t), t是平稳过程，f()是其谱密度函数，(1)证明：对于任意的h 0，Y(t) X(t h) X(t)是平稳过程；(2)求Y(t)的谱密度.0,解(1)EY(t) EX(t h) X(t)EY(t )Y(t) EX(t h) X(t ) X (t h) X(t)2Rx( ) Rx(h ) Rx(h)与t无关，则Y(t) X(t h) X(

8、t)是平稳过程。1 i(2) f ( ) ei 2Rx( ) Rx(h) Rx ( h)d2f( ) eih f( ) eihf()10分3. (10分)设齐次马氏链Xn,n0的状态空间为E 0,1,2，一步转移2f ( )(1 cosh ).概率矩阵为初始分布为PX。0 PX。11 PX02,求1/21/41/41/201/2 ，1/21/20P PXi 1,X2 1,X4 2和 PXi 1,X2 1,X4 2|Xo=O;X2的分布律.1/ 21/ 41/ 4解(1)P21/ 23/81/81/ 21/ 83/8PX11,X21,X4 2(1)(1)PXoi pi1 pni謂0PX11,X2

9、1,X42|Xo=OP01 P11 P12 (2)01/ 21/ 41/42 1 1 1(2) P(2) P(0)P3,3,31/ 23/81/ 81/ 21/ 83/81112，4，46分10分4. （10分）齐次马氏链Xn,n0的状态空间为1,2,3,川, 一步转移概率矩阵为120120000000III012012000000III120120000000IIIIII000100000001414141400000III000001323000III000000132300III000000013230III010100I0I010i041323III1P确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布解( 1)链可分，1 ,43是不可分闭集，状态空间E 1,4 32,567,川2分(2) 周期d(i) 1,i1,2,.4 分(3) 设平稳分布为 (1,