第2讲系统评价理论与方法1

1、管理系统工程,主讲人：张成科,博士,广东工业大学经贸学院,第二讲,系统评价理论与方法,什么是系统评价,?,系统评价的主要内容,?,系统评价的主要理论与方法,?,3,系统评价实例,例,1,某航空公司欲在国际市场上购买飞机，,通常要考虑,6,个评价指标对不同型号的飞,机进行综合评价。这,6,个指标是，最大速,度（,f1,）、最大范围（,f2,）、最大负载,（,f3,）、价格（,f4,）、可靠性（,f5,）、灵,敏度（,f6,）。现有,4,种型号的飞机，具体,指标如表,3-1,。,4,该航空公司应如何评价这四种飞机,?,表,1,指标,f,j,机型,a,i,最大速度,（马赫）,最大范围,（公里）,最大

2、负载,（公斤）,价格,(,百万美元,),可靠性,灵敏度,a,1,2.0,1500,20000,5.5,一般,很高,a,2,2.5,2700,18000,6.5,低,一般,a,3,1.8,2000,21000,4.5,高,高,a,4,2.2,1800,20000,5.0,一般,一般,系统评价实例,5,例,2,国际投资环境评价问题,按照国际投资环境影响因素分析评价的思路，,通常选取,5,个评价指标进行综合评价。这,5,个指标是,:,人均工资水平（,f1,）,所得税率（,f2,）,GDP,值（,f3,）,GDP,值年均增长率（,f4,）,新批准专利数（,f5,）。,系统评价实例,6,现在对六个国家进

3、行统计数据采集如下：,指标,f,j,国家,a,i,人均工资水,平（,f,1,）,（美元,/,月）,所得税率,（,f,2,）,（,%,）,GDP,值（,f,3,）,（亿美元）,GDP,值年均,增长率,（,f,4,）,(%),新批准专利,数（,f,5,）,（,%,）,美国,a,1,1451,46,51632,7.25,161660,中国,a,2,52,15,4223,15.50,9659,泰国,a,3,65,30,697,18.39,1424,韩国,a,4,145,40,2093,27.75,26656,菲律宾,a,5,102,25,430,12.13,1843,印度,a,6,45,28,2296

4、,7.35,3648,应如何对这六个国家进行综合评价？,系统评价实例,系统评价是根据预定的系统目标，,采用系统分析方法，对新开发的或改,建的系统的,各种设计方案,，从所,涉及,和影响的各方面,（技术、经济、社会、,生态、政治、军事等）进行,评审和比,较,，全面权衡利弊得失，以评定方案,优劣，为决策选择最优方案提供科学,的依据。,什么是系统评价,评价对象,多个指标,进行综合,数据要统,一标准,系统评价的主要内容,?,1,系统评价概述,系统评价的基本要素,系统评价的流程,系统评价的复杂性,系统评价与系统决策的区别,系统评价应遵循的原则,系统评价的步骤,?,2,系统评价指标体系的建立,评价指标体系的

5、组成,评价指标的标准化,评价指标权重的确定方法,?,3,系统综合评价的方法,加权平均法,模糊综合评价方法,其它方法,1,系统评价概述,一、系统评价的基本要素,1,评价目标,就是评价的目的、意向、预期的目标。,2,评价对象,可以是事物、方案、工作过程和个人等。,3,评价指标体系,4,评价的数学模型,5,评价的组织者与专家群体,1,系统评价概述,二、系统评价的流程,确定目标,提出方案,构建指标体系,选择模型,抉择实施方案,社会评价满意否,经济评价满意否,技术评价满意否,综合评价满意否,否,否,否,否,是,是,是,是,反,馈,评价目标要根据系统的要,素、功能、条件、结构、,状态等确定。目标具有层,次

6、性，分为总体目标、分,层目标和具体目标。,确定目标是为了更好地选,优，即从众多目标的方案,选择一个最好方案？还是,为了更好地控制、管理一,个给定的系统？,1,系统评价概述,三、系统评价的复杂性,1.,有的指标难以数量化；,2.,不同指标可能存在矛盾，方案之间各有所长而难取舍；,3.,评价指标和结果易受评价主体的主观因素影响。,解决上述困难的方法：,1.,指标数量化；,2.,指标无量纲化；,3.,指标归一化。,复杂系统常常需要实现多个目标，而且需要给出定量,依据，存在如下,困难：,四、与系统决策的区别与联系,1.,系统评价是技术工作，由技术人员完成；系统决策是领导工作，由领导,者最终完成，更多是

7、一种艺术。,2.,系统评价可给出方案优劣性的评定结果，是决策的主要依据；但系统决,策还受某些隐蔽、难以描述或不宜公开的因素影响。,系统评价与系统开发、系统决策之间的关系,系,统,开,发,指标数量化,量纲,一元化,指标,归一化,系统决策,其它因素,系统评价,F1,F2,Fn,Fn-1,A1,A2,An,A*,实施,指标,方案,1.,要保证评价的客观性,资料全面可靠，人员有代表性和全面性，,人员能自由发表意见且无倾向性，等等。,2.,要保证方案的可比性,3.,评价指标要系统化,4.,评价指标要符合国家方针政策,五、系统评价的原则,1.,简要说明各方案，明确系统方案的目标体系和约束条,件；,2.,确

8、定由所有单项和大类指标组成的,评价指标体系,；,3.,确定各大类及单项评价指标的权重；,4.,进行,单项评价,，查明各项评价指标的实现程度；,5.,进行,综合评价,，综合各大类指标的价值和总价值；,6.,给出,评价结论,，包括对方案的优劣分析、排序，对评,价结论的分析意见等。,六、系统评价的步骤,一、,评价指标体系的组成,?,政策性指标，方针、政策、法令等方面要求；,?,技术性指标，性能、寿命、可靠性、安全性等；,?,经济性指标，成本、利润等；,?,社会性指标，就业、社会福利、污染、环境等；,?,资源性指标，物资、人力、能源、土地条件等；,?,时间性指标，进度、试制周期等；,?,风险性指标，失

9、败的可能；,?,其它指标。,2,评价指标体系的建立,二、,确定评价指标体系应遵循的普遍性原则,?,整体性原则,?,可比性原则,?,科学性原则,?,实用性原则,指标体系应能反映待评价系统的整体,性能和综合情况，指标体系的整体评,价功能大于各分析指标的简单总和。,可比性越强，评价结果的可信,度越大,评价指标涵义要明确，数据要规范，,口径要一致，资料收集要简便。,2,评价指标体系的建立,三、,评价指标的标准化,2,评价指标体系的建立,指标体系中各指标均有不同的量纲，例,如产值的单位为万元，产量的单位为万吨，,投资回收单位为年等。这给综合评价带来许,多困难。为此，需要将不同量纲的评价指标，,通过适当的

10、变换，化为无量纲的标准指标，,称为评价指标的标准化。,下面介绍一些常用的指标标准化方法：,指标标准化方法,设,m,个评价方案,A,i,，有,n,个评价指标,f,j,，,m,个方案在,n,个指标下的,得分（或得分系数）分别为,x,ij,，则可将,x,ij,排列为评价矩阵如下：,指标因素,F,j,f,1,f,2, f,n,权重,j,1,2,n,方,案,A,i,A,1,A,2,A,m,x,11,x,12,x,1n,x,21,x,22,x,2n,x,m1,x,m2,x,mn,评价指标根据评价方向，可以分为效益（正向）型指标、成,本（逆向）型指标。效益型指标值具有越大越好的性质，成,本型则越小越好。,指

11、标标准化方法,设经过标准化处理后的得分（或得分系数）分别为,y,ij,，即：,指标因素,F,j,f,1,f,2, f,n,权重,j,1,2,n,方,案,A,i,A,1,A,2,A,m,y,11,y,12,y,1n,y,21,y,22,y,2n,y,m1,y,m2,y,mn,其中,y,ij,为无量纲的。,问题是：如何确定,y,ij,？,指标标准化方法,n,j,m,i,x,x,m,i,ij,ij,?,?,?,?,?,?,?,1,1,y,1,2,ij,1.,向量归一化方法,令,1,1,2,?,?,?,m,i,ij,y,显然有：,指标标准化方法,n,j,m,i,x,n,j,m,i,x,x,j,ij,i

12、j,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,x,y,),2,(,1,1,x,y,),1,(,max,x,ij,max,ij,jmax,ij,jmax,令,对逆向指标,令,则对正向指标,先计算最好最差值,2.,线性比例变换法,指标标准化方法,n,j,m,i,x,y,y,y,n,j,m,i,x,y,y,y,x,x,ij,j,j,j,ij,j,j,j,ij,i,ij,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,),x,(,x,x,y,),2,(,1,1,),x,(,x,x,y,),1,(,min,x,max,x,jmin,jmin,jm

13、ax,min,max,max,ij,jmin,jmin,jmax,min,max,min,ij,jmin,jmax,令,对逆向指标,令,则对正向指标,先计算最好最差值,3.,线性插值方法,指标标准化方法,n,j,m,i,x,x,n,j,m,i,x,x,x,x,ij,j,j,ij,ij,i,ij,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,x,x,y,),2,(,1,1,x,x,y,),1,(,min,x,max,x,jmax,jmin,max,ij,jmin,jmax,min,ij,jmin,jmax,令,对逆向指标,令,则对正向指标,值,也是先计算最好、最差,

14、4.,极差变换法,指标标准化方法,n,j,m,i,x,x,n,j,m,i,x,x,x,x,m,x,m,ij,j,j,ij,m,i,j,ij,m,i,ij,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,y,),2,(,1,1,y,),1,(,),(,1,1,x,j,ij,j,ij,1,2,j,1,j,?,?,?,令,对逆向指标,令,则对正向指标,准差,先计算每列的均值、标,5.,均值方差法,25,航空公司应如何评价这四种飞机,?,表,1,指标,f,j,机型,a,i,最大速度,（马赫）,最大范围,（公里）,最大负载,（公斤）,价格,(,百万美元,),可靠性,灵

15、敏度,a,1,2.0,1500,20000,5.5,一般,很高,a,2,2.5,2700,18000,6.5,较,低,一般,a,3,1.8,2000,21000,4.5,较高,较高,a,4,2.2,1800,20000,5.0,一般,一般,指标标准化方法计算示例,表,2,很低,较低,一般,较高,很高,正向指标,1,3,5,7,9,逆向指标,9,7,5,3,1,指标标准化方法计算示例：航空公司问题,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,5,5,5,20000,1800,2,.,2,7,7,5,.,4,21000,2000,8,.,1,5,3,5,.,6,18000,

16、2700,5,.,2,9,5,5,.,5,20000,1500,2,6,4,ij,x,X,原始样本数据为：,指标标准化方法计算示例：航空公司问题,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3727,.,0,4811,.,0,4603,.,0,5056,.,0,4392,.,0,5139,.,0,5217,.,0,6736,.,0,4143,.,0,5308,.,0,4882,.,0,4204,.,0,3727,.,0,2887,.,0,5983,.,0,455,.,0,6591,.,0,5839,.,0,6708,.,0,4811,.,0,5063,.,0,5056,

17、.,0,3662,.,0,4671,.,0,6,4,ij,y,Y,（,1,）向量归一化方法：,指标标准化方法计算示例：航空公司问题,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,56,.,0,71,.,0,90,.,0,95,.,0,67,.,0,88,.,0,78,.,0,00,.,1,00,.,1,00,.,1,74,.,0,72,.,0,56,.,0,43,.,0,69,.,0,86,.,0,00,.,1,00,.,1,00,.,1,71,.,0,82,.,0,95,.,0,56,.,0,80,.,0,6,4,ij,y,Y,（,2,）线性比例变换方法：,指标标准化方

18、法计算示例：航空公司问题,4,6,0.28,0,0.67,0.50,0.50,1.00,1.00,1.00,0,0,0,0,0,0.42,1.00,1.00,1.00,0.5,0.57,0.52,0.67,0.25,0.50,0,ij,Y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,（,3,）极差变换方法：,四、,评价指标权重的确定,2,评价指标体系的建立,在指标体系中，每个指标对现实系统目标和功能,的重要程度各不相同。,权重,表示各指标的相对重要程度，或者表示一种效,益替换另一种效益的比例系数。合理确定和适当调,整指标权重，体现了系统评价中各因素轻重有度、

19、,主次有别，更能增加评价指标的可比性。,下面介绍一些常用的指标权重确定方法：,四、,评价指标权重的确定方法,是一种主观赋权法。将所有的评价指标,分别按行和列，构成一个正方形的表。再根,据三级比例标度，指标两两比较进行评分，,并记入表中相应位置。,再将各指标评分值按行求和，得到各指,标评分总和。最后，进行归一化处理，求得,各指标的权重系数。,1.,相对比较法,指标因素,f,j,f,1,f,2, f,n,f,1,f,2,f,n,a,11,a,12,a,1n,a,21,a,22,a,2n,a,m1,a,m2,a,mn,表,3,进行相对比较的指标方形表,1,、相对比较打分法,-,两两比较分值确定,将方

20、案两两比较打分，然后对每一方案得分求和，并进行百分,化等处理。,令,方案,i,的最后得分即方阵第,i,行元素的和,。,=1,n,ij,j,a,?,1,ij,ji,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,同等重要时,与,当,时,劣于,当,时,优于,当,j,i,j,i,j,i,ij,f,f,f,f,f,f,a,5,.,0,0,1,1.,相对比较打分法,-,两两比较分值确定,再对所得分值进行归一化处理，即令,?,?,?,?,?,?,n,i,n,j,ij,n,j,ij,i,a,a,1,1,1,?,所得到的值即为指标的权重值。,1.,相对比较打分法,-,计算示例,航空公司问题,35,航空公司应如何评价这

21、四种飞机,?,表,1,指标,f,j,机型,a,i,最大速度,（马赫）,最大范围,（公里）,最大负载,（公斤）,价格,(,百万美元,),可靠性,灵敏度,a,1,2.0,1500,20000,5.5,一般,很高,a,2,2.5,2700,18000,6.5,低,一般,a,3,1.8,2000,21000,4.5,高,高,a,4,2.2,1800,20000,5.0,一般,一般,指标权重确定方法计算示例,表,2,很低,较低,一般,较高,很高,正向指标,1,3,5,7,9,逆向指标,9,7,5,3,1,36,表,3,航空公司问题两两比较分值,指标,f,j,最大速度,（马赫）,f,1,最大范围（公,里）

22、,f,2,最大负载,（公斤）,f,3,价格,(,百万美,元,) f,4,可靠性,f,5,灵敏,度,f,6,评分,总值,权重,f,1,0.5,1,1,1,0.5,0,4,0.22,f,2,0,0.5,0.5,0.5,0,0,1.5,0.08,f,3,0,0.5,0.5,0.5,0,0,1.5,0.08,f,4,0,0.5,0.5,0.5,0,0,1.5,0.08,f,5,0.5,1,1,1,0.5,0,4,0.22,f,6,1,1,1,1,1,0.5,5.5,0.31,指标权重确定方法计算示例,也是一种主观赋权法。这种方法以任意顺序排列指,标，按此顺序从前到后，相邻两指标相对比较重,要性，依次赋

23、以比率值。并赋以最后一个指标得,分值为。,步骤如下：,将,n,个指标以任意顺序排列，设为,f,1,f,n,由上到下根据上下方案比率填写暂定分数列；,由下到上根据暂定分数填写修正分数列；,将修正分数归一化得到各方案得分系数。,连环比率法,从上往下,，依次将相邻两指标两两比较相对重要程度，并根据,相对重要程度比较结果，依据下面的标度公式确定每个指标的比率,值。,令,1,:,),1,(,1,),(,),2,/,1,(,2,),(,),3,/,1,(,3,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,i,i,i,i,i,i,i,r,n,i,f,f,f,f,f,f,r,并且规定,同样重要时

24、,与,当,或者相反,较为重要时,比,当,或者,或者相反,重要时,比,当,或者,?,连环比率法,从下往上，,依次依据下面的修正公式对每个指标的比率值进行,修正，得到修正值。,令,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,i,i,i,i,n,n,i,i,i,k,k,k,k,k,k,n,n,i,k,r,k,1,2,1,1,:,1,:,1,2,1,?,即,理,再将它们进行单位化处,这样可以得到,并且规定,?,?,连环比率法,航空公司例子中六个指标权重的确定。,参见,胡久清教材系统工程第页,连环比率法计算示例,评价指标,r,i,k,i,j,f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,3 1/2,0

25、.2,1 1/6,0.7,1 1/6 0.7,1/3 1/6,0.2,1/2 1/2 0.2,1 1 0.4,是一种客观赋值法。通过各个指标所含信息量的大小确定指标,权重。,熵值法,设有,m,个方案，,n,个指标，指标值为,x,ij,。,则具体步骤为：,（见,胡久清教材系统工程第页）,熵权法所需要的已知数据,设,m,个方案在,n,个指标的得分（或得分系数）分别为,x,ij,，即：,指标因素,F,j,f,1,f,2, f,n,权重,j,1,2,n,方,案,A,i,A,1,A,2,A,m,x,11,x,12,x,1n,x,21,x,22,x,2n,x,m1,x,m2,x,mn,问题是：如何确定,j

26、,？,熵值法的具体步骤：,（,1,）将,x,ij,按列作概率比重化处理，即计算第,j,个指标在各,个方案下数值所占的比重：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,j,j,j,j,j,j,m,i,ij,ij,j,m,i,ij,ij,ij,g,g,n,j,e,g,j,k,n,j,p,p,k,e,j,n,j,m,i,x,x,p,1,1,1,),4,(,1,1,),3,(,.,0,1,ln,),2,(,1,1,?,确定指标权重,个指标的差异系数,计算第,为预先确定的常数,其中,个指标的熵值,计算第,熵值法是一种客观赋值法。通过各个指标所含信息量的大小确

27、,定指标权重。,4,其它方法简介,其它客观赋值法还有：,主成分分析法、因子分析法,等。,其它定性与定量相结合的方法有：,Delphi,法等,具体内容：,（见,胡久清教材系统工程第,2,3,页）,3,系统综合评价的理论与方法,一、加权平均法,是一种最常用的多指标综合评价方法，这种,方法根据实际情况，先确定各评价指标的权重，,再对评价矩阵进行标准化处理，求出各个方案,的加权指标平均值，并以此作为各个方案排序,的判据。,一、加权平均法,设方案,A,i,的指标因素,F,j,的得分（或得分系数）为,a,ij,，则可将,a,ij,排列为评价矩阵如下：,指标因素,F,j,F,1,F,2, F,n,综合评价值

28、,权重,j,1,2,n,方,案,A,i,A,1,A,2,A,m,a,11,a,12,a,1n,a,21,a,22,a,2n,a,m1,a,m2,a,mn,?,?,?,n,j,ij,j,i,a,w,1,?,一、加权平均法,1.,加法规则,一般思路,1.,加法规则,=1,1,2,.,n,i,j,ij,j,a,i,m,?,?,?,?,?,1,0,1,1,n,j,j,j,?,?,?,?,?,?,?,一、加权平均法,一、加权平均法,例,8-6,：有,3,个方案，,5,项指标，数据如下。试计算各方案综,合评价值。,2.,乘法规则,1,1,2,.,j,n,i,ij,j,a,i,m,?,?,?,?,?,?,一

29、、加权平均法,乘法规则应用场合是要求各项指标尽可能取得较好,的水平，才能使总的评价值较高。不容许哪一项指标处,于最低水平上。只要有一项指标的得分为,0,，则总的评价,值为,0,，方案将被淘汰。,加法规则各项指标可以线性地互相补偿。,例,8-7,：森林火警探测系统有四个可行方案，对它们从技术上,按照下表所示的标准进行评分。,一、加权平均法,评分结果和功能满足系数如下表所示。,3,系统综合评价的理论与方法,二、模糊综合评价法,是指运用模糊集合理论对某被评价对,象系统进行综合评价的一种方法。,因此，下面先简要介绍有关模糊数学的一,些基本知识。,什么是事物的模糊性？,指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦

30、此亦彼性”。,(1),清晰的事物,每个概念的内涵（内在涵义或本质属性）,和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个,概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。,(2),模糊性事物,由于人未认识，或有所认识但信息不够丰富，,使其模糊性不可忽略。它是一种没有绝对明确的外延的事物。,如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、,深浅等的认识就是模糊的。,模糊综合评价方法,“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一,个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。,“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有,意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对,人进行模糊综合评价。郑

31、板桥讲“难得糊涂”，实际,上包含了难得模糊的哲理。,模糊综合评价方法,模糊综合评价方法,很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只,能用模糊语言描述。如显示器的舒适性，人员的政治立,场坚定，某建设方案的社会影响等。,评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断,对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”；,“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”,等程度性的模糊评价。,多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素,很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。,如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很困,难。而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理,论依据，从而找到了一种

32、简便而有效的评价与决策方,法。,可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量,的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。,模糊综合评价方法,一、模糊综合评价的数学模型,（一）、模糊数学的产生,至今，数学的发展已经历三代：,（,1,）第一代数学：经典数学，研究和处理精确的必然现象；,（,2,）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性,(,随机性,),；,（,3,）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物的模糊性。,它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展。,Fuzzy Maths,，专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数,学方法。,1965,年美国加州大学查德,(L.A.Zadeh),教授

33、发表,Fuzzy,Sets,一文，标志其诞生。,（二）、模糊数学的任务,（,1,）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文,学科等提供新的语言和工具；,（,2,）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和,判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明”。,一、模糊综合评价的数学模型,3,模糊数学的基本知识,1,普通集合,康托创立的集合论是现代数学的基础。,具有某种特定属性的对象的全体称为集合。它具有明确,的内涵和外延，也就是说，它是以排中律所规定的非,此即彼性质为基础的。一个元素，要么属于某个集合，,要么不属于该集合，没有“中间地带”。,在讨论集合的对象时，往往先给定一个讨论的范围（即,讨论的对象全体），称

34、为论域或全域，记为,U,。,则对,1,(,),0,(,),1,(,),1,A,A,x,U,x,A,x,A,x,A,x,x,A,A,x,V,x,x,V,x,x,A,x,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,要么,，要么,，两者必居其一。,集合A的表示：A=x,x满足条件P(x),当,也可用特征函数V,来表示，,当,即,若,使,则,否则,2,模糊集合,在普通集合论中，没有摸棱两可的情况。然而在现实生活中，却充满了模,糊事物和概念。,例如：年龄,年轻人集合,老年人集合,胖人集合,高个子人集合,这种没有明确外延的概念称为模糊概念，在这样的集合中，一个元素是否,属于某集合，

35、不能简单地用“是”或“不是”来回答。,例如一个,55,岁的人和“老年人”集合之间就不能简单地用非此即彼的性质,来描述，而应该体现是在多大程度上属于该集合。普通集合难以描述这,种模糊概念，模糊集合正是在这种情况下产生的。,问题是：怎样表示这种模糊集合？,(,),:,0,1,(,),(,),A,A,A,U,x,U,x,x,?,?,?,?,?,?,g,%,%,A,将普通集合的特征函数V,的取值范围从集合0，1扩大到0，1,区间连续取值，借助经典数学来定量描述模糊集合。,设U为论域，A为其上的模糊集合，则定义,即,称,为A的隶属函数。,(,),(,),(,),1,;,(,),0,0,(,),1,(,)

36、,(,),A,A,A,A,A,A,A,A,x,U,x,A,x,x,x,A,x,x,A,x,x,x,A,x,A,x,A,A,A,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,%,%,%,%,%,%,%,%,%,%,模糊集合,完全由其隶属函数,所描述，论域,中的元素,与,的关系完全由,所给出。当,时，表示,当,时，表示,；而当,时，表示,在,程度上属于,。即在,和,之间出现中间,过度状态，表示了模糊集范围不明确的变化层次。,例如：以年龄为论域，U=0，100，以,表示“老年人”集合，,的隶属函数为：,2,1,90,1,1,),0,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

37、,?,?,?,当,当50,90,5,（,x-50,当0,x,50,x,0,50,90,其图形为：,(,),A,x,?,%,1,1,2,1,50,(55),0.5,(60),0.8,(70),0.94,(,),0,(,),A,A,A,A,n,i,n,i,A,U,x,A,A,A,A,x,x,x,x,A,A,A,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,%,%,%,%,%,%,%,%,L,%,%,%,%,i,1,2,n,由此看出，超过,岁后，属于“老年人”集合的隶属度逐年上升。,“,半老”，,，,在论域中,的元素全体称为,的台。,当,的台有限时，,可

38、表示为：,=,当,的台无限时，,可表示为：,3,模糊集合的运算,由于模糊集合完全由隶属函数决定，故可通过隶属函数的运算来定义模糊集合的,运算。,(1),(,),(,),(2),(,),(,),A,B,A,B,A,B,x,x,A,B,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,%,%,%,%,相等：,子集：,3,模糊集合的运算（续）,?,?,?,?,?,?,1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,2,3,4,5,3,(,),(,),(,),max,(,),(,),4,(,),(,),(,),min,(,),(,),5,(,),1,(,),0.9,0.7,0.4,0.1,0.2,0.5,0.8

39、,0.3,0.1,C,A,B,A,B,C,A,B,A,B,A,A,C,A,B,x,x,x,x,x,C,A,B,x,x,x,x,x,A,A,x,x,U,x,x,x,x,x,A,x,x,x,x,B,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,%,%,U,%,%,%,I,%,%,%,%,%,%,%,（,）并集：,（,）交集：,（,）补集：,为,的补集,例如：设,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,0.9,0.2,0.7,0.5,0.4,0.8,0.1,0.3,0

40、,0.1,0.9,0.7,0.8,0.3,0.1,0.9,0.7,0.8,0.3,0.1,A,B,A,B,A,A,A,B,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,I,U,%,%,%,%,%,%,U,%,%,求,以及,的补集,。,解：,同理,可以证明,摩根律、分配律、交换律、结合律等运算也成立。,4,模糊集合与普通集合的转化,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,时,当,时,当,征函数为：,是一个普通集合，其特,显然，,截集。,的,称为,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,)

41、,(,0,),(,1,),(,),(,x,x,x,v,A,A,x,x,A,A,A,A,A,通过截集来实现这样的转化。,定义：设,A,是论域,U,上的模糊集合，任取,集合,2,1,2,1,2,1,1,0,),3,(,),),2,(,),1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,B,A,B,A,B,A,B,A,?,?,?,?,?,，则,，且,，,，,若,（,（,）,（,截集的性质：,?,?,?,?,5,模糊关系及其运算,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,的程度。,有关系,对,的隶属函数，表示,称为,其中，,，,，,，即：,的一个模糊关系，记作,到,上的一个模糊子集称

42、为,定义：,一个模糊关系。,上的模糊子集就定义了,的普通子集，而,上的普通关系是,到,从,之间的某种关系。,和,就表示,的构成附加某种条件，,如果给元素,的直积，记为,与,称为,，,为论域，集合,，,设,R,y,x,R,y,x,y,x,Y,X,y,x,y,x,Y,y,X,x,y,x,R,R,Y,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,X,y,x,Y,X,Y,X,Y,y,X,x,y,x,Y,X,R,R,R,),(,1,0,:,),(,1,),(,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,(,),(,),m,n,ij,ij,R,i,j,m,n,ij,ij,m,l,l,n,l,ij,ij,ik,kj,m,n,k,X,Y,X,x,x,x,Y,y,y,y,X,Y,R,m,n,R,r,r,x,y,R,r,S,s,T,R,S,t,t,r,s,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,