完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

1、个性化教案全等三角形复习课适用学科数学适用年级初中二年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点全等三角形的性质和判定方法教学目标熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用教学重点学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法教学难点通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力字K敦目xuedacom教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。、延长中线构造全等三角形例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC2AD。证明：延长AD至E,使AD= DE,连接CE如图2。 AD是厶ABC的中线，

2、二 BD= CD。又/ 1 = Z 2，AD= DE, ABDA ECD( SAS。AB= CE在 ACE中，CE+ ACAE, AB+ AC 2AD。字K敦目xuedacom、沿角平分线翻折构造全等三角形例 2.如图 3,在厶 ABC中，/ 1 = / 2,Z ABC= 2/C。求证：AB+ BD= AC。图4证明：将厶ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE= AB,连接EDb如图4ov/ 1 = / 2, AD=AD, AB= AE, ABDA AED ( SAS。 BD= ED,/ ABC=/ AED= 2/C。而/AED=/ C+/ EDC/ C=/ EDC 所

3、以 EC= ED= BD0v AC= AE+ EC,二 AB+ BD= AG三、作平行线构造全等三角形例3.如图5,A ABC中，AB= AG E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC至U D, 使 CD= BE,连接 DE交 BC于 F。求证：EF= FD。D证明：过E作EM / AC交BC于M，如图6。则/ EMB=/ ACB / MEF=/ CDF0v AB= AC,：/ B=/ ACB/ B=/ EMB。故 EM = B吕v BE= CD,二 EM= CB又/ EFM=/ DFC / MEF=/ CDF, EFMA DFC( AAS。EF= FD。四、作垂线构造全等三角形例4.如图7,

4、在厶ABC中，/ BAO90, AB= AC。M是AC边的中点。AD丄BM交BC于D,交BM于E。求证：/ AMB=Z DMC。vZ BAO90, AD丄BM,/ FAC=Z ABM= 90Z BAEv AB= AC, Z BAM=Z ACM 90, ABMA CAF( ASA。Z F=Z AMB, AM = CFv AM = CM,. CF= CMovZ MCD=Z FCD= 45, CD= CD, MCDA FCD(SASo 所以Z F=Z DMC。 Z AMB=Z F=Z DMCo五、沿高线翻折构造全等三角形例5.如图9,在厶ABC中，AD丄BC于D,Z BADZ CAB 求证：ABAC

5、。证明：把厶ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE= DC,连接AEo如图10。 ADCAADE (SAS。AC= AE,Z C=Z AEDvZ AEDZ B,aZ CZ B。从而 ABAC六、绕点旋转构造全等三角形例6.如图11,正方形ABCD中，Z 1 = Z 2, Q在DC上, P在BC上。求证:PA= PB+ DQ。DM图II图12证明：将厶ADQ绕点A按顺时针方向旋转90,使AD与AB重合，得到 ABM,即：延长 CB到M，使BM= DQ,连接AM。如图12。 ABMAADQ (SAS。Z 4=Z 2=Z 1,Z M = Z AQD0v AB/ CD,

6、 / AQD=Z BAQ=Z 1 + Z 3=Z 4+Z 3 = Z MAP。 Z M = Z MAPo PA= PM = PB+ BM = PB+ DQ (因 BM = DQ)。【课堂练习】1、如图，已知 AD=AE,AB=A(求证：BF=FC2、如图，在 ABC中，AB=AC延长AB到D,使BD=AB取AB的中点E,连 接CD和CE.F为CD中点 求证：CD=2CE3、如图， ABC中，/ C= 2/B,Z 1 = Z 2。求证：AB=AC+ CD.4、已知：AB=CD / A=Z D,求证：/ B=Z C个性化教案5、已知：如图，CD丄AB于点D, BEAC于点E, BE、CD交于点0,

7、且AO平 分/ BAC 求证：OB= OC.6如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证： CEF是等边三角形。E金字穴教Ixuedacom7、如图所示，已知 ALL AB, AF丄 AC AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2)EC丄 BFBC8、如图10，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N.求证：AE CG ;9、如图，在等腰 RtAABC中，/ C= 90，D是斜边上 AB上任一点，AELCD 于E，BFL CD交CD的延长线于F，CH丄AB于H

8、点，交AE于G.求证：BD- CG.10、已知：如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, BC=DC CF平分Z BCD DF/AB, BF的延长线交 DC于点 E。求证：(1) BFCA DFC (2) AD=DE11、已知：BC=DE / B=Z E,Z C=Z D, F 是 CD 中点，求证：/ 仁/212、已知：AC 平分/ BAD, CEL AB,/ B+Z D=180。，求证：AE=AD+BE13、如图， ABC中, E、F分别在AB AC上, DEIDF, D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小.D补充：常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三

9、线合一”的性质解题，思维模式是全等 变换中的“对折”.2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三 角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某 条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答.1、如图，AC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证；AB = AC+BD2、如图， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEL AB 于 E, DF 丄