完整版)复数讲义(绝对经典

1、高中数学复数Page 5 of 16复数、复数的概念1. 虚数单位i:(1) 它的平方等于1，即i21 ；(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.(3) i与一1的关系：i就是1的一个平方根，即方程2 x21的一个根，方程x1的另一个根是-i(4) i的周期性：4n 1ii4n 24n 3,i1 , ii ,4ni1 .实数a(b0)2.数系的扩充:复数a bi虚数abi(b纯虚数bi(a 0)0)非纯虚数a bi(a 0)3.复数的定义:形如a bi(a , b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C表示4.

2、 复数的代数形式：通常用字母z表示，即z a bi(a ,b R)，把复数表示成a bi的形式，叫做复数的代数形式.5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a ,b R)，当且仅当b 0时，复数a bi(a ,b R)是实数a ;当b 0时，复数a b 0时，z就是实数0z a bi叫做虚数；当a 0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当一送是实数迪3旦实数Q负宴数二一纯虚数枕空驚是虚孙6. 复数集与其它数集之间的关系：N荷Z Q荷R C7. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a , a ,b, d ,c, d

3、 R，那么 a bi c di a c , b d、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数z a bi(a ,b R)与有序实数对 a ,b是一一对应关系.建立一一对应的关系. 点Z的横坐 标是a，纵坐标是b，复数z a bi(a ,b R)可用点Z a ,b表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是z 0 0i 0表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z a bi一一对应 复平面内的点Z(a ,b)这就是复数的一

4、种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1.复数Z1与Z2的和的定义：ZZ2a bic diac b d i2.复数Z1与Z2的差的定义：Zz2a bic diac b d i3.复数的加法运算满足交换律:乙Z2Z2 乙4.复数的加法运算满足结合律:(Z1Z2)Z3Z(Z2Z3)5. 乘法运算规则：设乙a bi , Z2 c di (a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 ziz2a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

5、6. 乘法运算律：(1 ) zi Z2Z3Z1Z2 z3(2) (乙 Z2) Z3 乙(Z2 Z3)(3) Z Z2 Z3ZZ2 ZZ37. 复数除法定义：满足c di x yi a bi的复数x yi (x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：(a bi) c di 或者-_学c di& 除法运算规则:设复数abi (a、b R )，除以 cdi(c,d R ),其商为 x yi (x、y R),即（abi)c dix yi x yicdicx dydx cy i cxdydxcy i abi由复数相等定义可知cxdx:y a，解这个方程组，得xxac bd_2 T2c dbc

6、 ad，c d于是有：（abi)diac bdc2 dbc ad i2 2 ic d利用cdidid2于是将的分母有理化得:c di原式bi(abi)(c di)ac bi ( di) (bc ad)ic di(c di)(c di)c2 d2(acbd) (bc ad)iac bd bc ad .c2d2(abi) c di 咋学玛c d c d点评:是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di与复数c di，相当于我们初中学习的32的对偶式,3 .2，它们之积为1是有理数，而c di c di c2 d2是正实数所以可以分母实数化.把这种方法

7、叫做分 母实数化法.9.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.佢例题精讲1.复数的概念【例1】已知a1 ii2 bi （i为虚数单位），那么实数a, b的值分别为（）A.2, 5B. -3,1C. -1 . 1D . 2,-2【答案】D【例2】计算:i0!+ i1! + i2!+L +.100!i（i表示虚数单位）【答案】952i【解析】 4-i1 ,而4|k! ( k4),故 i0!1! 2! .+ i +i +L+ i100! i i ( 1) ( 1) 1 9795 2i【例3】设z(2t25t3) (t2

8、2t 2)i ,t R，则下列命题中一定正确的是（）A.z的对应点Z在第象限B .z的对应点Z在第四象限C.z不是纯虚数D .z是虚数【答案】D【解析】t22t 2(t1)2 10 .【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（) 两个复数不能比较大小； 若（X2 1） （x2 3x 2）i是纯虚数，则实数 x 1 ; z是虚数的一个充要条件是z z R ； 若a ,b是两个相等的实数，则（a b） （a b）i是纯虚数； z R的一个充要条件是z z . z 1的充要条件是z 1 .zA . 1B. 2C. 3D . 4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，错；x 1时，（x2 1） （

9、x2 3x 2）i 0,错；z为实数时,也有z z R ,错；a b 0时，（a b） （a b）i 0,错；正确.2. 复数的几何意义【例5】复数zm 2i1 2i（m R, i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】由已知zm 2i1 2i(m 2i)(1 2i)(12i)(12i)1-(m4)2(m 1)i5在复平面对应点如杲在第m 4 0，而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限m 103 5【例6】 若 一 n, n ,复数（cos sin ） （sin cos ）i在复平面内所对应的点在（）4 4A

10、.第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当一 n, - n时，cos sin 0, sin cos 0 .44【例7】 如果复数z满足z i z i 2，那么z i 1的最小值是（）A. 1B.2C. 2D. 5【答案】A【解析】设复数z在复平面的对应点为 Z，因为z i| |z i 2 ,所以点Z的集合是y轴上以乙（0,1）、乙（0,1）为端点的线段.z i 1表示线段Z1Z2上的点到点（1, 1）的距离.此距离的最小值为点Z2（0, 1）到点（1, 1）的距离，其距离为1 .高中数学复数【例8】3z 一的复数2z的集合是（1111i

11、, - i2 2 2 2C.22 i，21 3.1i :2 2 2.3.i2【解析】 复数z表示的点在单位圆与直线z 2表示z到点【答案】D1 31,0与点-,0的距离2 2相等，故轨迹为直线x 3.13.i ,i 2 2 2 ）-故选D.2【例9】 已知复数（x 2） yi（x - y R）的模为4一，则1的最大值为 x【答案】.3【解析】/ x 2 yi 3,(x 2)2 y2 3，故(x, y)在以C(2,0)为圆心，3为半径的圆上，丄表示圆上的点(x, y)与x原点连线的斜率.如图，由平面几何知识，易知丄的最大值为.、3 .x【例10】复数z满足条件：2z 1 z i ,那么z对应的点

12、的轨迹是()A 圆B.椭圆C.双曲线D .抛物线【答案】A【解析】A ;设zx yi,则有(2x1) 2yi|x (y 1)i，(2x 1)2(2y)2 x2 (y 1)2 ,化简得：2x 21y -25,故为圆.339【点评】z zo的几何意义为点z到点Zo的距离；z zo r(r 0)中z所对应的点为以复数 z。所对应的点为圆心，半径为 r的圆上的点.【例11】复数Z1 , Z2满足Z1Z20 ,Z1Z2|zi Z2，证明:2Z12Z2【解析】设复数z, , Z2在复平面上对应的点为Z1, Z2,由乙Z2UlUUZ2 知,以 OZ1 ,UUUU 人OZ2为邻边的平行四边形为矩形,UULU

13、UULU,乙OZ! OZ2 ,故可设 - ki(k R , kZ20),2所以工kZ22i2k20 .也可设z1a bi,Z2c di ,则由向量(a , b)与向量(c, d)垂直知ac bd0,Z1a bi(acZ2c dibd) (be ad)ic2 d2bead i 2 i c d20,故务Z22Z2【例12】已知复数Z1 , Z2满足z1 , Z21 ,且Z1 Z2 4 ,求兰与Z1 Z2的值.Z2【答案】Ji ； 4.3【解析】设复数, Z2在复平面上对应的点为 Z1, Z2 ,由于(7 1)2 c、7 1)2 42, 故乙| 忆| I乙 z/ ,UUUUULUUUUUU UUUU

14、乙7147故以0乙,OZ2为邻边的平行四边形是矩形，从而oz1 OZ2,则 Z1ii ;Z27 13Z1Z2Z24 .【例13】已知 Zi ,Z2C ,引|Z21 , ZZ2. 3，求 ZiZ2一uuur uuur 人【解析】设复数z, , Z2,ZiZ2在复平面上对应的点为乙，Z2, Z3 ,由列|Z21知，以0Z!, 0Z2为邻边的平行四边形是菱形，记0所对应的顶点为P，由乙Z23知，PZi0 120 （可由余弦定理得到），故 Z1OZ2 60,从而Z1 Z21 【例14】已知复数z满足(2、.3i)z (273i)4 ,求 dZ的最大值与最小值.【答案】dmax迈d .in3【解析】设Z

15、x yi ,则(x , y)满足方程(x22 y2) 1 .4d, x2y2 x241 (x3x 83283又1 x 5或a 0 且2()2()244 4k (2 2)2，解得k1.若，为虚数，则44k 0且，共轭，2()2()2 44 4k(2三)2，解得k 3 .综上，k 1 或 k 3 .【例23】用数学归纳法证明：(cos isin )n cos(n ) isin( n ) ,n N【解析】并证明(cos isin ) 1 cosisin ，从而(cosis in ) n cos (n ) isi n(n 1时，结论显然成立;若对n k时，有结论成立，即(cos isin )kcos(

16、k ) isin( k ),则对 n k 1， (cos isin )k1 (cos isin)(cos isin)k由归纳假设知，上式（cos isin)cos(kisin( k )(cos cosksin sin k ) icossin(k )sin cos k cos(k 1)isin(k 1),从而知对n k命题成立.综上知，对任意N，有(cosnisin )cos(n ) isin( n),n N .(cos isin )(cosisin)(cos( ) isin()(cos i故有(cos isin ) 1 cosisin .(cos isin ) n (cosisin ) (co

17、s( ) isin( )ncos( n ) isin( n ) cos(n ) isin( n ).若cos isin 是方程xnn 1n 2a1xa2xLan 1x an求证：a1 sina2 sin 2LanSin n0 .将解代入原方程得：(cosisi n )na1 (cosn 1isin )Lan0 ,将此式两边冋除以（cosisin ）n，则有：1 a1 (cosisin) 1 a2(cosisin ) 2 Lan(cos即 1 a1 (cosis in)a2 (cos2is in 2 ) Lan(cosn(1 a1 cosa2 cos2Lan cos n ) gsina2 sin

18、 2由复数相等的定义得a1sina2s in 2L ansin n0易直接推导知:isin【例24】0【解析】isin n )0 ，Lan sin n )0 ，(a1 ,氏丄,anisin ) n 0，)cos0 isinOR）的解,【例25】设x、y为实数，且旦，则x y=1 i 1 2i 1 3i【解析】由xy5知，x-(1yi) (152i)-(1 3i),1 i12i1 3i2510即（5x2y5)(5x4y15)i0 ,5x2y50解得x1丄故，故xy 4.5x4y150y5【答案】4【例26】已知仝是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹. z 1【答案】以 1,0为圆心，1为半径的圆

19、，并去掉点(0,0)和点(1,0).2 2【解析】法一：设 z x yi ( x, y R ),则丄 x yi x(x -牛是纯虚数，z 1 x 1 yi (x 1) y故 x2 y2 x 0( y 0),即z的对应点的轨迹是以-,0为圆心，-为半径的圆，并去掉点(0 , 0)和点(1, 0).2 2是纯虚数,z 120 , z(z 1) z(z 1)0 ,得到 2 z22设 z x yi ( x, y R )，则 x y x ( y 0 )1z的对应点的轨迹以-,0为圆心，丄为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1, 0).2 2【例27】设复数z满足z 2，求z2 z 4的最值.【解析】由题

20、意，z z 4，贝U z2 z 4 z2 z zz z(z 1 z)设 z a bi( 2 w a 2 ,2 b 2 2、(a 1)1当a 1，即a 0时，w u2取得最小值1.a 1【例32】对任意一个非零复数z，定义集合M z w | w z2n 1 , n N.(1 )设是方程x1 _丄.2的一个根，试用列举法表示集合x(2)设复数Mz，求证：M M【答案】(1)Mi)i)，# (1 i)；(2)略【解析】是方程x2的根,i)23(1i)时，(12)ni)1_i?1 1#(1寻1 i),时,i)，i)，22(1i) i)i)，i)，i)冷(1i)使得2m 1 z于是对任意n2n 1(2

21、m 1)(2 n 1)z由于(2m1)(2n 1)是正奇数,2n 1【例33】已知复数zo 1 mi(m 0) , z x yi和w x y i，其中x , y, x , y均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数 z ,有w z0 z , w 2 z .(1) 试求m的值，并分别写出x和y用x, y表示的关系式；(2) 将(x , y)作为点P的坐标，(x , y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q .当点P在直线y x 1上移动高中数学复数Page 24 of 16时，试求点P经该变换后得到的点 Q的轨迹方程;?若存在，试求(3)

22、是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上出所有这些直线；若不存在，则说明理由.【答案】(1) x x_ 3y ；( 2) y (2yV3x y3)x 2 32(3) 这样的直线存在，其方程为【解析】(1)由题设,zo zZ0|z2z ,于是由14，且m因此由xyi(13i)(x yi)3y(.3x y)i，得关系式 xyx . 3y3x y(2)设点P(x , y)在直线yx 1上,则其经变换后的点 Q(x , y)满足xy(1. 3)x3(3 1)x 1消去 x，得 y (23)x2 32，故点Q的轨迹方程为y (2. 3)x(3)假设存在这样的直线,y kx b(k 0).3y, 3x y)仍在该直线上,/平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为该直线上的任一点 P(x , y)，其经变换后得到的点Q(x 3x y k(x 3y) b，即(3k 1)y (k3)x b ,当b 0时，方程组 ( 1) 1无解，故这样的