完整版)有关中值定理的证明题

1、中值定理证明题集锦1、已知函数f(x)具有二阶导数，且& Xf叫H X0 , f (1)0,试证：在区间(0,1)内至少存在一点，使得f ( )0.证：由lim -0，可得lim f(x) 0，由连续性得f (0)0，由此又得x 0 xx 0f (0) lim 他 迴 1计卫凶 0，由f(0)f(1)0及题设条件知f(x)在0,1x 0 x 0 x 0 x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 c (0,1)，使得f (c)0，又因为f (0) f (c) 0，并由题设条件知f(x)在0,c上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间 (0,1)内至少存在一点 ，使得f ( )

2、 0.2、设f(x)在0, a上连续，在(0,a)内可导，且 f(a) 0,证明：存在一点(0,a)，使得 f( ) f ( )0.证：分析：要证结论即为：xf (x)|x0.令F(x) xf (x)，贝U F(x)在0, a上连续，在(0,a)内可导，且 F (0) F(a) 0，因此F(x) xf (x)在0,a上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,a)，使得F() 0 ,即 f ( ) f ( )0.注1:此题可改为：设f (x)在0,a上连续，在(0,a)内可导，且f (a) 0,证明：存在一点(0, a)，使得nf()f ( )0.分析：要证结论nf( ) f ( )0等价于n

3、n 1f ( ) nf ( )0 (给nf()f ( )0 两端同乘以n 1),而 n n 1f ( ) nf ( )0 即为xnf (x)x0.故令F (x) xn f (x)，则F (x)在0, a上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：设f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0)0 , x (0,1)，有f (x)0,证：分析：要证结论可变形为nf()f(1)f()f(1)0 ,它等价于nfn1()f()f(1) fn( )f (1)0 (给 nf ( )f(1) f( )f (1)0 两端同乘以 fn 1()，而n fn 1( )f (

4、)f (1)f n( )f (1)0即为f n(x)f (1 x)x 0，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.13、已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1) 0，f(?) 1，证明：1(1 )存在一点(一,1)，使 f ( )2(2) 存在一点(0,)，使 f ( ) 1.(3) 存在一点 X0 (0,)，使 f(X0)1(f(x) X0).证：(1 )分析：要证结论即为：f( )0.1令F (x) f (x) x，则只需证明F(x)在(一，1)内有零点即可。211111显然 F(x)在,1上连续，且 F()f()0，F(1) f(1) 11 0，222 2 21

5、1因此F(x)在,1上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在(-,1)，使F( ) 0 ,22即 f ().(2)又因为F(0)f(0)00,由 知F( )0,因此F(x)在0,上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)，使F ( ) 0，即f ( ) 1 0，即f ( ) 1.(3)分析：结论 f(X。)1(f(x。)沧)即就是 F(X。)F(x。)或 F(X。)F(x。)0，F(x。)F(x。)0 e X0F (X0)F(x。) 0，即心乍匚沧 0.故令G(x) e XF(x)，则由题设条件知，G(x)在0,上连续，在(0,)内可导，且G(0) e0F(0) 0，G( ) e F( ) 0

6、,则G(x)在0,上满足罗尔中值定理条件，命题得证4、设f (X)在0, X上可导，且f(0)0，试证：至少存在一点 (0,x)，使得f(x) (1)ln(1 x) f ().证：分析：要证结论即为： f(x) f(0)(1)l n(1x) In 1f(),也就是丄凶I!0! Hl，因此只需对函数f(t)和ln(1 t)在区间0,x上应用柯西中值定理 ln(1 x) In1即可.5、设 f (x)、g(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，f(a) f (b) 0,且 g (x) 0，证明：至少存在一点(a,b)，使得f ( )g( ) f( )g ().证：分析：要证结论即为：f (

7、)g( ) f (即就是丄凶0，因此只需验证函数g(x)J|即可.6、设f (x)在为必上可导，且 0为)g(),等价于 f()g(g)2(f( )g()0，F(x)埸在区间ab上应用罗尔中值定理xJ(X2) X2f(Xjx, x2f ( ) f().f(X2)f (Xi)证：分析：要证结论即为:f()(叫X I因此只需对函X2X1f (x)1数 和一在区间Xj X2上应用柯西中值定理即可 X X此题亦可改为：设f (x)在a,b上连续，(a, b)内可导，若0 a b，试证：至少存在一点(a,b)，使得 af(b) bf(a) f( ) f ( )(a b).7、设f(x)在a,b上连续，在

8、(a,b)内可导，且f (a) f (b)0，试证:(1) (a,b)，使得 f( ) f ( ) 0 ；(2) (a,b)，使得 f ( ) f ( ) 0.证：(1 )令F(x) xf (x)，利用罗尔中值定理即证结论X2，试证：至少存在一点(Xi,X2)，使得(2)分析： f ( ) f ( )02e f()f ()x20eTf(x),0，因此令F(x) ef (x)，利用罗尔中值定理即证结论&设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b) 1，试证:(a,b),使得 e f( ) f ( )1.证：分析：要证结论即为e f ()一mi即就是exf(x)x(ex1.令F

9、(x) exf (x)，令G(x) ex，则F(x)和G(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：(a, b)，使得 F ( ) 乂仙 ef(a)，即就是 e f ( ) f ()-.b ab aeb eaeb ea(a, b)，使得F ()，即就是e.b ab a因此，有 e f( )LO 1，即就是 e f( ) f ( ) 1.e9、设f (x)、g(x)在a, b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a) g(a)， f (b) g(b)，试证：(a,b)，使得 f ( ) g ().证：分析：要证结论即为 f(x) g(x)|x0.令 F

10、(x) f(x) g(x)，(1 )若f(x)、g(x)在(a,b)内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则F(a)F(c) F(b) 0 (a c b)，则F(x)分别在a,c、c,b上满足罗尔中值定理条件，故 1 (a,c)，2 (c,b)使得F ( J 0，F ( 2) 0.由题设又知，F (x)在1, 2上满足洛尔定理条件，故存在 (1, 2)，使得F ( )0,即就是f ( ) g ().(2)若f(x)、g(x)在(a,b)内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设f (x)在p点处、 g(x)在q点处取得最大值，且p q ，则F(p) f(p) g(p) 0F(q

11、) f(q) g(q) 0，由零点定理知，c (p,q) (0,1)，使得F(c) 0，由此得F(a) F(c) F(b) 0 (a c b)，后面证明与(1)10、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (x)相同0，若极限lim f(2x a)存在,x a x ab222试证：(1)存在一点(a,b)，使得 一a(2)在(a,b)内存在异于 的点 ，使得f()(b2 2.a )bf(x)dx.；af (x)dx f() aX2证：(1 )令F(x) f(t)dt，G(x) x2，则F(x)、G(x)在a,b上满足柯西中值定理条件，故存在一点(a,b)，b222使得Fb冷2 成立(t)dt (t)dt f()即就是.2 2b aba f (x)dx成立, f()即就是2b22f (x)dx (b a ) f ()成立f (x)dx.，b(2)由(1)知，2 a f(x)dx