9数列与数学文化

1、1.(2019山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列共有()a.98项b.97项c.96项d.95项解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an21n20，由1an2018得1n97，又nn

2、*，故此数列共有97项.答案b2.(数学文化)著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足a1a21，an2an1an，nn*，那么1a3a5a7a9a2数列的第_项.017是斐波那契解析1a3a5a7a9a2017a2a3a5a7a9a2017a4a5a7a9a2017a6a7a9a2017a8a9a2017a2016a2017a2018，即为第2018项.答案20188a117996，解之得a165.3.(2019北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按

3、照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()a.174斤b.184斤c.191斤d.201斤解析用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，872a865717184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案b4.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于的频率为()1

4、22.若第一个单音的频率为f，则第八个单音a.2fb.22fc.1225fd.331227f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为122的等比数列，27f，即第八个单音的频率为27f.设此数列为an，则a8答案d12125.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()a1（127）12381，解得a13.a.1盏b.3盏c.5盏d.9盏解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为s7，公比为q，则依题意

5、s7381，公比q2.答案b第三种方案an(3)0.42n1，sn(3)0.4(2n1).6.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？解设该学生工作n天，每天领工资an元，共领工资sn元，则第一种方案an(1)38，sn(1)38n；第二种方案an(2)4n，sn(2)4(123n)2n22n；0.4（12n）12令sn(1)sn(2)，即38n2n22n，解得n18，即小于或等于18天时

6、，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令sn(1)sn(3)，即38n0.4(2n1)，利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，所以少于10天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案，s10(2)220，s10(3)409.2，s10(3)s10(2)，sn(3)sn(2).所以等于或多于10天时，选择第三种方案.7.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润与总投资n的大小关系是()a.nc.nb.nd.不确定解析投入资金逐月值构成等比数列bn，利润逐月

7、值构成等差数列an，等比数列bn可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列an可以看成关于n的一次式函数.由于a1b1，a12b12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润a1a2a12比总投资nb1b2b12大，故选a.答案a8(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()a1盏c5盏b3盏d9盏解析：选b每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和s

8、7381，公比q2，依题意，得s7a12712381，解得a13.9数学建模一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1kb，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64mb(1mb210kb)解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，2n64210216，n16，即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟)答案：4810.(1)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则此人第4天和第5天共走了()a60里c36里b48里d24里(2)(2019北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款解析(1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列an，和利息全部取出，则可取回_元12a11设等比数列的首项为a1，则126112378，解得a1