二次根式和一元二次方程家教辅导资料

1、二次根式知识结构:应知、基本概念 二次根式：一般形如Ja （aX）的代数式叫做二次根式。a是一个非负数（aXO）。【注意】va表示a的算术平方根。a可以是数，也可以是式。形式上含有二次根号。a0,Ta X）（双重非负性）。既可表示开方运算,也可表示运算的结果。最简二次根式：被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幕的指数都小于2, 这样的二次根式叫最简二次根式。【注意】被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 式子的分母中不含分式。同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这 几个二次根式就叫做同类二次根式。、基本法则1. 二次根式的性质:a0 ; T

2、a X）（双重非负性）。（7a）2=a （aX）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式 ）。【注意】aX）时，J a2 =a； a0时， a.（Ta）2与JO2的区别:（1）从运算顺序来看，（石）2先开方，后平方；肩先平方，后开方。（2）从取值 范围来看，（TO）2 aX）； to2 a取任何实数。（3）从运算结果来看：（TO）2 =a, （aX 0）；护a a0)【注意】最后结果用（需）2 = a （a0）进行化简。 7ab = 7a b (a0, bX) 当a与b同时为负值时，可化为正值形式。如:不一定能化成Ta当aX）时,Ja2 = Ja ;当 av 0 时,45?5 詬？75 V

3、52 ；同理，102Q0 .3723 42 42 J3除法：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数。即:书=香(aR b0)【注意】&书（g b0）二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根 式。加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并.（二次根式的加减类似于合并同类项的运二次根式加减运算的步骤：（1）将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；（2）将相同的最简二次根式（即同类二次根式）进行合并.【注意】 进行二次根式加减运算时，关键是准确的化

4、成最简二次根式。 不是同类二次根式的二次根式（如72与J3）不能合并。提醒：二次根式仍然满足整式的运算规律。（4）二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）应会1. 判断二次根式。2. 化简二次根式。课外知识（2007年华东师大版教材未编入）1. 互为有理化因式：？互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b） =a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如X+1- 2x与X+1+J 2X就是互为有理化因式；VX与丄也是互为有理化Vx因式.2.分母有理化是指把分母中的根号化去，通常

5、在分子、？分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.分母有理化有时还可以通过约分来进 行。例题41.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：72、逅、-、丘（x0）、x血、近、-血、Jx y (xX), y?X0).x y2. 当x是多少时，73Z7在实数范围内有意义?J 13. 当X是多少时，（1）j2x 3+ 在实数范围内有意义?X 1.,?并根据这一4. 填空：当aX）时，JO2 =;当a&，则a可以是什么数?5.已知J96扌互吕，且x为偶数，求（1+x） J26.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(9x +yM_3 )-(的值.17. 已知 Ta 7b = -

6、，a+b=1，贝U a-b=8.若最简根式3a疽刁b与根式J2ab2 b3 6b2是同类二次根式，求a、b的值.（？同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）9.如图所示的Rt小BC中，/B=90,炸 从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）1.参考答案观察与分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“J”第二,被开方数是正数或0.解：二次根式有：42、丘（xo）、V0、-72、y（x 0,yo）；不是次根式的有：證、丄、逅xx y

7、2.观察与分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以3x-10, ?J3x 1才能有意义.解：由 3x-1 0，得：x-3当x-时，如1在实数范围内有意义.3观察与分析：要使J2X 3+丄在实数范围内有意义，必须同时满足x 1厂中的0和*中的x+1p3.2x 30解：依题意，得X 103由得：X X-2由得：XM-1314.当X辽且g时，E+在实数范围内有意义.观察与分析：肩=a （aX）, 要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“ （）2”中的数是正数，因为，当 a0时, ja = J( a)2，那么-aXO.（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空

8、的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知77= la丨，而la I要大于a，只有什么时候才能保证呢？ aa，即使aa所以a不存在；当aa，即使-aa，a0综上，a0时才能成立.因此得到9-XX）且x-60,即卩6x9，又因为X为偶数，所以x=8.9x0 X 9解：由题意得X 6 0，即X 662X为偶数x=8原式=（1+x）JOH =（ 1+x）F=（ 1+x）当x=8时，原式的值=6.6.观察与分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1） 2+（ y-3） 2=0，即x=1，y=3 .其次，根据二次根式的加减运算，先把解：/ 4x2+y2-4x-6y+10=04

9、x2-4x+1+y2-6y+9=0 (2x-1) 2+ (y-3) 2=01x=2，y=3原式= |x79x+y2jy-x2+5x=2x Tx /xy-/x +xy=x 仮 +xy1 |Tn=_+_6？322 V2=丄血3后7.4观察与分析：将已知等式两边分别平方，可求得27ab，进而求得922ab 32，再通过a b求得a b的值。解：已知需-应2 a+b=1,则 y/a Tb ab x 2x=35,， 2jab -， 2ab 4432227a b a b 4ab 8.16观察与分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；？事实上，根式J2ab b所以后秒后仲BQ的面

10、积为35平方厘米. 6b2不是最简二次根式，因此把J2ab b3 6bPQ=JPB2 BQ2 Jx2 4x2 5/57 J5 35 =57 答：735秒后APBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米.化简成|b| 2a b 6，才由同类二次根式的定义得 3a-?b=?2,2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式J2ab26b2化为最简二次根式:J2ab2 b3 6b2 =Jb2(2a 1 6) =|b| 2a b 6由题意得4a 3b 2a b 63a b 22a 4b 63a b 23=1，b=19.观察与分析：将已知等式两边分别平方，可求得两弓，进而求得2ab 32，再通过a b2求

11、得a b的值。解：设x后APBQ的面积为35平方厘米，则有PB=x，BQ=2x, 依题意,得:x2=356:二早元二次方程知识结构:元次方程I分析数量关系IviS开平方法一元二次方程的解法一元二次方程的解应知、基本概念元二次方程：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式:2ax+bx+c=O （a却）。元二次方程的根：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.【注意】由实际问题列出方程并解得的根， 并不一定是实际问题的解，还要检验 这些根是否符合题意，符合题意的才真正是实际问题的解.、基本法则1. 解一元二次方程的

12、方法直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(X a)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，当b 0时，x aTb，x aTb，当b0时，方程有两个不相等的实数根 ，当=0时，方程有两个相等的实数根 ，当vO时，方程没有实数根。 列一元二次方程解应用题的一般步骤：可概括为审、设、列、解、答。审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量， 找出反映已知量与未知量等量关系的句子。设：用x表示未知数，把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来。列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程。答：写出答案。3. 常用术

13、语含意:翻一番：即为原净收入的2倍。平均年增长率：指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同 样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的。应会1. 会把一元二次方程化成为一般形式。2. 会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3. 能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。例题1.求证：关于x的方程(m2-8m+17)2X +2mx+1=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.2.用配方法解方程(6X+7) 2 (3X+4)(X+1) =63.如图(a)、(b)所示，在 ABC中 /B=90,AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点A?开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运

14、动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.(a)(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟,2使PBQ=8cm .(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P(2)如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完?D，则：竺CQ)AB AC4.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年到B后又继续在BC边上前进，Q到C?后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使 PCQ的面积等于 12.6cm2.(友情提示：过点Q?作DQ丄CB,垂足为人均住房面积增长率.(m-2) x-1=0提出了下列问25.某数学兴趣小组对关于x的方程m 1 xm题.(1

15、) 若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.(2) 若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出.你能解决这个问题吗?6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行， 若存款的利率不变, 到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.7. 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出 200张，每张盈利 0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元

16、，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺 年卡的售价每降价0.25元，？那么商场平均每天可多售出34?张.？如果商场要想 每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大.8. 某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2, ?上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?9. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，？紧急刹车后 汽车又滑行25m后停车.(1)从刹车到停车用了多少时间？(2) ?从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(3) 刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s) ?1

17、0.如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B, ?在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：？小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从 D出发,(1)小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，？那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)1.参考答案观察与分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明证明：m2-8m+17= (m-4) 2+1(

18、m-4) 2为(m-4) 2+10，即(m-4) 2+1 却 不论m取何值，该方程都是一元二次方程12.观察与分析：因为如果展开(6X+7) 2,那么方程就变得很复杂，如果把2 2 1 11 (6x+7)看为一个数 y，那么(6x+7) =y，其它的 3x+4= (6x+7) +，x+1=2 2 6(6x+7)-，因此，方程就转化为y?的方程，像这样的转化，我们把它称为6解：设 6x+7=y依题意，得:, 11,11贝0 3x+4=-y+-，x+1 = y- 22 6 6/ 11、/ 11、 c(-y )(二 y-; ) =62 2 6 6去分母，得:(y+1)( y-1) =72y2 (y2

19、-1) =72,y4-y2=72(y2 1 ) 2= 289(y-2)=y2-1 = y2 2y2=9 或 y2=-8 (舍)y= 33.当 y=3 时，6x+7=3当 y=-3 时，6x+7=-3所以，原方程的根为2 x=-3c .c56x=-10x=-32 5 X1二-一，X2=-一3 36x=-4观察与分析:(1)设经过 x 秒钟，使PBQ=8cm2，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型.(2)设经过y秒钟，这里的y6使CQ的面积等于12.6cm2.因为AB=6，解：(1)设x秒，点P在AB 上,点Q在BC 上,且使APBQ的面积为8cm2.

20、1则：(6-x )2x=82整理，得：x2-6x+8=0解得：xi=2, x2=4经过2秒，点P到离A点1 X2=2cm处，点Q离B点2X2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1 X4=4cm处，点Q离B点2 X4=8cm处，所以它们都符合要求.(2)设y秒后点P移到BC上，且有CP= (14-y) cm，点Q在CA上DQ CQ 移动，且使CQ= (2y-8) cm，过点Q作DQ丄CB，垂足为D，则有 AB ACAB=6，BC=8由勾股定理，得：AC=j62 82 =1O，DQ= 6(2y 8)6105则：x1=，X2=- (14-y) 6(y 4)=12.625整理，得：y2-18y+77=0

21、 解得：yi=7，y2=11 即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处(CP=14-y=7)，点Q在CA上距 C 点 6cm 处(CQ=?2y-8=6)，使APCD 的面积为 12.6cm2.经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm10, 点Q已超过CA的范围，即此解不存在.本小题只有一解y1=7.观察与分析：设每年人均住房面积增长率为x. ?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10 (1+x);二年后人均住房面积就应该是 10 (1+x) +10 (1+x)解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10 (1+x) 2=14.44.(1+x) 1 因此，该方程是一

22、元二次方程时，m=1，两根X1=1，(2)存在.根据题意，得： m2+1=1，m2=0，m=0因为当 m=0 时，(m+1) + (m-2) =2m-1=-1 0=1.44直接开平方，得1+x= 1.2即 1+x=1.2, 1+x=-1.2所以，方程的两根是xi=0.2=20%, x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，X2=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为 20%.5.观察与分析：能.2(1)要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2,同时还要满足(m+1)(2)要使它为次方程，必须满足：解：(1)存在.根据题意，得：m2+1=2m2=1 m= 1当 m=

23、1 时，m+1=1+1=2 却 当m=-1时，m+1=-1+1=0 (不合题意，舍去) 当m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2， b=-1， c=-1 b2-4ac= (-1) 2-4X2X(-1) =1+8=9(1)79 1 3x= 1X2二-一.2 24所以m=0满足题意.当m2+1=0，m不存在.当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3却所以m=-1也满足题意.当m=0时,元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时,元一次方程是-3x-1=06.7.1解得x=-3因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1 ;1当m=-?i时

24、，其一元一次方程的根为x=-3.观察与分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x 80% ;第二次存，本金就变为解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x80%+ (1000+2000x8%) x 8 0%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即 8x2+15x-2=01解得：x1=-2 （不符，舍去），X2=-=0.125=12.5%8答：所求的年利率是12. 5%.观察与分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元;牛! 01詈，从这些数目看，？好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样

25、大, 其实并非如此。解：（1）从题意可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1 元.（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y元,则：(0.75-y) (200+丄 X34) =1200.253即(討)(200+136y) =120整理：得 68y2+49y-15=0 y=2 68y-0.98 （不符题意，应舍去）y0.23 元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大.【注意】从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同8.样的变化规律.观察与分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm,则上口解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4） m,上口宽为（X+2） m1依题意，得：3 (X+2+X+0.4) x=1.6整理，得：5x2+6x-8=04解得：x1 = -=0.8m，x2=-2 (舍)5上口宽为2.8m，渠底为1.2m.(2)于=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道。9.2020=10 (m/s)观察与分析：分析：(1)刚刹车时时速还是20m/s,以后逐渐减少，停车时时速为0. ?因为刹车以后，