北师大版七年级下册数学培优压轴题

1、北师大版七年级下册数学培优压轴题一解答题（共8小题）1已知四边形abcd中，ab=bc，abc=120，mbn=60，mbn绕b点旋转，它的两边分别交ad，dc（或它们的延长线）于e，f当mbn绕b点旋转到ae=cf时（如图1），易证ae+cf=ef；当mbn绕b点旋转到aecf时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段ae，cf，ef又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2（1）如图，在四边形abcd中，ab=ad，b=d=90，e、f分别是边bc、cd上的点，且eaf=bad求证：ef=be+fd；（2）如图，在四边形abcd中，ab=ad，b

2、+d=180，e、f分别是边bc、cd上的点，且eaf=bad，（1）中的结论是否仍然成立？1（3）如图，在四边形abcd中，ab=ad，b+adc=180，e、f分别是边bc、cd延长线上的点，且eaf=bad，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明3如图1，将两个完全相同的三角形纸片abc和dec重合放置，其中c=90，b=e=30（1）操作发现：如图2，固定abc，使dec绕点c旋转，当点d恰好落在ab边上时，填空：线段de与ac的位置关系是；设bdc的面积为s，aec的面积为s，则s与s的数量关系是212（2）猜想论证：当dec绕点c旋转

3、到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中s与s的数量关系12e仍然成立，并尝试分别作出了bdc和aec中bc、ce边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究：已知abc=60，点d是角平分线上一点，bd=cd=4，deab交bc于点（如图4）若在射线ba上存在点f，使sdcf=sbde，请直接写出相应的bf的长24如图1，已知线段ab的长为2a，点p是ab上的动点（p不与a，b重合），分别以ap、pb为边向线段ab的同一侧作正apc和正pbd（1）当apc与pbd的面积之和取最小值时，ap=；（直接写结果）（2）连接ad、bc，相交于点q，设aqc=，那么的大小是否会随点p的移动而变化？请说明理

4、由；（3）如图2，若点p固定，将pbd绕点p按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5如图1，abc中ab=ac，点d、e是线段ac上两动点，且ad=ec，am垂直bd，垂足为m，am的延长线交bc于点n，直线bd与直线ne相交于点试判断def的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明、画出将bad沿ba方向平移ba长，然后顺时针旋转90后图形；2、点k在线段bd上

5、，且四边形aknc为等腰梯形（ackn，如图2）附加题：如图3，若点d、e是直线ac上两动点，其他条件不变，试判断def的形状，并说明理由36如图，已知等边三角形abc中，点d，e，f分别为边ab，ac，bc的中点，m为直线bc上一动点，dmn为等边三角形（点m的位置改变时，dmn也随之整体移动）（1）如图1，当点m在点b左侧时，请你判断en与mf有怎样的数量关系？点f是否在直线ne上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点m在bc上时，其它条件不变，1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点m在点c右侧时，请你在图

6、3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由7已知：等边三角形abc；（1）如图1，p为等边abc外一点，且bpc=120试猜想线段bp、pc、ap之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，p为等边abc内一点，且apd=120求证：pa+pd+pcbd48认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b）n展开式的各项

7、系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：，上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为s，（结果用含字母n的代数式表示）5北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】abad，bccd，ab=bc，ae=cf，在abe和cbf中，abecbf（sas）；abe=cbf，be=bf；abc=120，mbn=6

8、0，abe=cbf=30，ae=be，cf=bf；mbn=60，be=bf，bef为等边三角形；ae+cf=be+bf=be=ef；图2成立，图3不成立证明图2延长dc至点k，使ck=ae，连接，在bae和bck中，则baebck，be=bk，abe=kbc，fbe=60，abc=120，fbc+abe=60，fbc+kbc=60，kbf=fbe=60，在kbf和ebf中，kbfebf，kf=ef，kc+cf=ef，即ae+cf=ef图3不成立，ae、cf、ef的关系是aecf=ef2【解答】（1）延长eb到g，使bg=df，连接agabg=abc=d=90，ab=ad，abgadfag=af

9、，1=21+3=2+3=eaf=badgae=eaf又ae=ae，aegaefeg=efeg=be+bgef=be+fd；（1）中的结论ef=be+fd仍然成立（3）结论ef=be+fd不成立，应当是ef=befd证明：在be上截取bg，使bg=df，连接ag6b+adc=180，adf+adc=180，b=adfab=ad，abgadfbag=daf，ag=afbag+ead=daf+ead=eaf=badgae=eafae=ae，aegaefeg=efeg=bebg；ef=befd3【解答】（）dec绕点c旋转点d恰好落在ab边上，ac=cd，bac=90b=9030=60，acd是等边三

10、角形，acd=60，又cde=bac=60，acd=cde，deac；b=30，c=90，cd=ac=ab，bd=ad=ac，根据等边三角形的性质，acd的边ac、ad上的高相等，bdc的面积和aec的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即s=s；故答案为：deac；s=s；1212（2）如图，dec是由abc绕点c旋转得到，bc=ce，ac=cd，acn+bcn=90，dcm+bcn=18090=90，acn=dcm，在acn和dcm中，acndcm（aas），an=dm，bdc的面积和aec的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即s=s；12（3）如图，过点d作dfbe，易求四边形

11、bedf是菱形，所以be=df，111且be、df上的高相等，此时1dcf1bde；过点d作dfbd，abc=60，fdbe，21ffd=abc=60，bf=df，fbd=abc=30，fdb=90，fdf=abc=60，21111212dff是等边三角形，df=df，bd=cd，abc=60，点d是角平分线上一点，1212dbc=dcb=60=30，cdf=180bcd=18030=150，1cdf=36015060=150，cdf=cdf，在cdf和cdf中，2112，cdfcdf（sas），点f也是所求的点，22abc=60，点d是角平分线上一点，deab，dbc=bde=abd=60=

12、30，又bd=4，be=4cos30=2=，bf=，bf=bf+ff=+=，12112故bf的长为或7（4【解答】1）设ap的长是x，则bp=2ax，apcpbd=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，当x=a时apc与pbd的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）的大小不会随点p的移动而变化，理由：apc是等边三角形，pa=pc，apc=60，bdp是等边三角形，pb=pd，bpd=60，apc=bpd，apd=cpb，apdcpb，pad=pcb，qap+qac+acp=120，qcp+qac+acp=120，aqc=180120=60；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于理由：a

13、pc是等边三角形，pa=pc，apc=60，bdp是等边三角形，pb=pd，bpd=60，apc=bpd，apd=cpb，apdcpb，pad=pcb，qap+qac+acp=120，qcp+qac+acp=120，aqc=180120=605【解答】def是等腰三角形；证明：如图，过点c作cpac，交an延长线于点prtabc中ab=ac；bac=90，acb=45pcn=acb，bad=acp；ambd；abd+bam=bam+cap=90；abd=cap；badacp；ad=cp，adb=p；ad=ce；ce=cp；cn=cn；cpncen；p=cen；cen=adb；fde=fed；d

14、ef是等腰三角形附加题：def为等腰三角形；证明：过点c作cpac，交am的延长线于点prtabc中ab=ac；bac=90，acb=45；pcn=acb=ecn；ambd；abd+bam=bam+cap=90；abd=cap；badacp；ad=cp，d=p；ad=ec，ce=cp；又cn=cn；cpncen；p=e；d=；def为等腰三角形86【解答】（1）判断：en与mf相等（或en=mf），点f在直线ne上，（2）成立连接df，证明dbm和dfn全等（aas），abc是等边三角形，ab=ac=bc又d，e，f是三边的中点，ef=df=bfbdm+mdf=60，fdn+mdf=60，bd

15、m=fdn，在dbm和dfn中，dbmdfn，bm=fn，dfn=fdb=60，nfbd，e，f分别为边ac，bc的中点，ef是abc的中位线，efbd，f在直线ne上，bf=ef，mf=en（3）如图，mf与en相等的结论仍然成立（或mf=ne成立）连接df、de，由（2）知de=df，nde=fdm，dn=dm，在dne和dmf中，dnedmf，mf=ne；7【解答】ap=bp+pc，（1）证明：延长bp至e，使pe=pc，连接ce，bpc=120，cpe=60，又pe=pc，cpe为等边三角形，cp=pe=ce，pce=60，abc为等边三角形，ac=bc，bca=60，acb=pce，

16、acb+bcp=pce+bcp，即：acp=bce，acpbce（sas），ap=be，be=bp+pe，ap=bp+pc（2）证明：在ad外侧作等边abd，则点p在三角形adb外，连接pb，bc，9apd=120由（1）得pb=ap+pd，在pbc中，有pb+pccb，pa+pd+pc，ab、abc是等边三角形，ac=ab，ab=ad，bac=dab=60，bac+cad=dab+cad，即：bad=cab，abadb，cb=bd，pa+pd+pcbd8【解答】解：（1）当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的