小学奥数7-4-3 排列的综合应用.教师版

1、7-4-3.排列的综合应用根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：有m个因数相乘表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数这种n个排列全部取出的排列，叫做n教学目标1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题

2、在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做pmn步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有

3、n种方法；步骤2：从剩下的(n-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n-1)种方法；-=步骤m：从剩下的n-(m-1)个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n（m-1）n-m+1(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n（n-1）（n-2）（n-m+1），即n（.pm=（n-1）n-2）（n-m+1），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共n二、排列数一般地，对于m=n的情况，排列数公式变为pn=n（n-1）（n-2）321n个不同元素的全排列式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n!，读做n的阶乘，则pn

4、还可以写为：pn=n!，其中n!=n（n-1）（n-2）321nn例题精讲【例1】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答7-4-3排列的综合应用.题库教师版page1of9【答案】144【答案】576【答案】144如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400所以总站法种数为72024002400672012240（种）【解析】先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从

5、左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：3p2p4144（种）24【巩固】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、5种位置选取方法，所以站法总数有：(3+4+5)p2p4576（种）24【例2】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【

6、题型】解答【解析】先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：432p3144（种）3【例3】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：6p5720（种）5剩下的五个人进行全排列，站

7、法总数有：45p52400（种）5种站法如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有44214（种）方法丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：144p56720（种）5【答案】12240【例4】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端；男、女生分别排在一起；男女相间【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随理，共有640320241920(种)排法意排，也就是8个元素

8、全排列的问题，有p888765432140320(种)选择由乘法原女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有甲、乙先排，有p2212(种)排法；剩下的7个人随意排，有2p776543215040(种)排法由乘法原理，共有2504010080(种)排法7分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有p2212(种)不同排列方法，再分别对男生、27-4-3排列的综合应用.题库教师版page2of9由乘法原理，共有224120=5760(种)排法【答案】2880p4=4321=24(种)和p5=54321=120(种)排法45先排4名男生，有p4=4321=24(种)排法，再把5名女生

9、排到5个空档中，有4p5=54321=120(种)排法由乘法原理，一共有24120=2880(种)排法5【例5】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】（1）p7=5040（种）7（2）只需排其余6个人站剩下的6

10、个位置p6=720（种）.6（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置2p6=1440(种)6（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置2p5=240(种)5.（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，p2p5=2400（种）55（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列p7=5040（种）.7（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可43p52=28

11、80(种)排队问题，一般5先考虑特殊情况再去全排列【答案】（1）p7=5040（种）（2）p6=720（种）.（3）2p6=1440(种)（4）2p5=240(种)7665（5）p2p5=2400（种）.（6）p7=5040（种）.（7）43p52=2880(种)5575【例6】一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列。现在他们要变成排的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列。同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有_种不同排法。【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第13题【解析】将这8人按身高从低到高依次

12、编号为1，2，3，4，5，6，7，8.，现在相当于要求将这8个数填入下面的42的方格中，每个方格中填一个数，使得每一行的方格中的数依次增大，而每一列中下面的方格中的数比上面的方格中的数要大。18首先可以确定1和8只能分别在左上角和右下角的方格内，2只能在第一行第二列或第二行第一列的方格内，7只能在第一行第四列或第二行第三列的方格内。2和7的填法共有22=4种可能，对这4种情况分别进行讨论：若2和7的位置如图，则第一行第三列的方格不可以填6，但可以填3，4，5，这个方格填好后，第二行的三个空格只有唯一的填法。所以此时有3种填法；127128787-4-3排列的综合应用.题库教师版page3of9

13、456若2和7的位置如图，现在需要从3，四个数中选取2个填入第一行的两个空格，有c2=64种选法。所选出的2个数只有一种填法，且这两个数选出后，剩下的两个数填在第二行的两个空格，也只有一种填法，所以这种情况下有6种填法；若2和7的位置如图，则第二行第二列的方格内不能填3，可以填4，5，6，每一种填法就对应整个42方格的一种填法，所以此时有3种填法；12781728【答案】54排法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法由乘法原理，一共有5720=3600(种)【答案】600若2和7的位

14、置如图，则此时3和6只能分别填在中间22方格的左上角和右下角，4和5填在剩下的2个方格，有2种填法。根据加法原理，共有3+6+3+2=14种不同的填法。所以原题中二列纵队有14种不同的排法。【答案】14种【例7】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而

15、且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有p3=321=6(种)排法由乘法原理，一共有336=54(种)不同的排法3【例8】书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排如果同类的书不分开，一共有多少种排法？如果同类的书可以分开，一共有多种排法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】可以分三步来排：先排故事书，有p3=321=6(种)排法；再排作文选，有p2=21=2(种)32先后顺序有p3=321=6(种)故由乘法原理，一共有6216=

16、72种排法3可以看成3+2+1=6(本)书随意排，一共有p6=654321=720(种)排法6【答案】720【例9】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位【考点】排列之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排，是一个全排列问题，有p6=654321=720(种)排法6先安排第一盏和第四盏灯第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩下的5盏灯中随意

17、选出2盏排列，有p2=54=20(种)选择由乘法原理，有6520=600(种)5【例10】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？【考点】排列之综合运用【难度】2星【题型】解答7-4-3排列的综合应用.题库教师版page4of9播放节目方案若乙跑第四棒，也对应60种不同的选择，但是，从360种中减去两个60种的时候，重复减了一综上所述，一共有360-602+12=252(种)不同的参赛方案根据乘法原理，一共有504024=120960(种)方法根据乘法原理，一共有720840

18、=604800(种)方法独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，理，一共有2463=432(种)不同的编排方法【解析】某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择剩下的5个节目随意安排顺序，有p5=54321=120(种)选择由乘法原理，一共有434120=5760(种)不同的5【答案】5760【例11】从6名运动员中选出4人参加4100接力赛试求满足下列

19、条件的参赛方案各有多少种：甲不能跑第一棒和第四棒；甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】先确定第一棒和第四棒第一棒是甲以外的任何一个人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下的4个人中随意选择2个人跑第二棒和第三棒，有p2=43=12种选择由乘法原理，一共有45412=240(种)参赛方案先不考虑甲、乙的特殊要求，从6名运动员中随意选择4人参赛，有p4=6543=360种选6择考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应p3=543=60种不同的选择，考虑5次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的4人选择2

20、人参赛的p2=43=12(种)方案，应加上4【答案】240252【例12】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目求：当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有(040p7=7!=7654321=5种)方法第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节7目全排列的问题，有p4=4!=4321=24(种)方法4首先将6个演唱节目排成一列如下图中的“”)，是6个元素全排列的问题，一

21、共有p6=6!=654321=720(种)方法第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从7个“”中选4个来排，一共有p4=7654=840(种)方法7【答案】120960604800【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有p4=4321=24种排法；其次在4有p2=32=6(种)排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目

22、，有3种排法由乘法原3【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数7-4-3排列的综合应用.题库教师版page5of9【答案】4444=44（个）p4=24（个）2p2=12（个）p4=12（个）p3=6（个）42（2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有个（5）因为210345除首位数字2以外，其余5个数字顺次递增排列，所以，210345是首位数是2的相乘，得出最后的答案【答案】432【例13】用2，3，4，5排成四位数：（1

23、）共有多少个四位数？（2）无重复数字的四位数有多少个？（3）无重复数字的四位偶数有多少个？（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答325【解析】条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如2234，355，444，555等依分步计数乘法原理共有4444=44（个）p4=24（个）4个位上只能是2或4，有2p2=12（个）2所有四位数中，2在3的左边或2在3的右边的数各占一半，共有1p4=12（个）24452在千位上，只有1种方法，此

24、后3、只能在另外的3个位置上排列，有p3=6（个）3法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位上或百位上，有2p3=12（个）3法二：从p5中减去不合要求的（5在十位上、个位上），有p4-2p3=2p2=12（个）54321423法一：2p3=12（个）法二：p4-2p3=2p2=12（个）34321【巩固】用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数能组成多少个五位数？能组成多少个正整数？能组成多少个六位奇数？能组成我少个能被25整除的四位数？能组成多少个比201345大的数？求三位数的和【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间

25、接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位置和特殊元素（1）因为万位上的数字不能是0，所以万位上的数字的排法有p2种，其余四位上的排法有p4种，25所以，共可组成p1p4=600个五位数55pp1，p1p1，p1p2，p1p3，p1p4，1p5，55555555555所以，可组成p1+p1p1+p1p2+p1p3+p1p4+p1p5=1630个正整数55555555555，5（3）首位与个位的位置是特殊位置，013，是特殊元素，先选个位数字，有p1种不同的选法；再考3虑首位，有p1种不同的选法；其余四个位置的排法有p4种44所以，能组成p1p1p4=288个六位奇数344（4）能被255整除的四

26、位数的特殊是末两位数是25或50，这两种形式的四位数依次是p1p1和p2354所以，能组成p1p1+p2=21个能被25整除的四位数3347-4-3排列的综合应用.题库教师版page6of9所以，这100个三位数的和为【答案】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位所以，5607是第86个数所以，6075为所求的数没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为2的没有重复数字的最小六位数比它小，2345的六位数是首位数为1的六位数，共有p5个，而由01，组成的六位数有p6-p5个565所以，大于210345的没有重复数字的六位数共有（p6-p5

27、）-p5-1=479（个）655，2345（6）由01，组成无重复数字的三位数共有p1p2=100（个）.55个位数字是1的三位数有p1p1=16（个），同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16个，所以，44个位数字的和是p1p1(1+2+3+4+5)；同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有p1p1个，4444这些数字的和为p1p1(1+2+3+4+5)10；百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有p2个，445这些数字的和为p2(1+2+3+4+5)1005p2(1+2+3+4)100+p1p1(1+2+3+4+5)10+p1p1(1+2+3+4+5)=(1+2+3+

28、4+5)3444410+p(p2100+p1p11p1)=3264054444置和特殊元素（1）p1p4=600（2）p1+p1p1+p1p2+p1p3+p1p4+p1p5=16303）p1p1p4=2885555555555555344（4）p1p1+p2=21（5）（p6-p5）-p5-1=479（个）6）32640334655【例14】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数四位数有多少个？四位数奇数有多少个？四位数偶数有多少个？整数有多少个？是5的倍数的三位数有多少个？是25的倍数的四位数有多少个？大于5860的四位数有多少个？小于5860的四位数有多少个？由小到大排列的四位数中，5

29、607是第几个数？由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】p1p3=300（个）（或p4-p3=300（个）5565个位上只能是5或7，0不能作千位数字，有2p1p2=96（个）44个位上只能是0或2，6，8，个位上是0的有a3个，个位上的是2，6，8的有3(p1p2)个，所以544共有3(p1p2)+p3=204（个）445包括一位数，二位数，六位数，共有p1+p1p1+p1p2+p1p3+p1p4+p1p5=1631（个）655555555555的倍数只能是个位上的0或5的数，共有p2+p1p1=36（个）544末两位数只能是25，

30、50，75，共有p2+2p1p1=30（个）433共有3p3+2p1-1=186-1=185（个）53共有p3+4p2+2p1=114（个），或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数543300-185-1=114（个）小于5607的四位数，即形如2，50，52，5602的数，共有p3+2p2+1=85（个）54由小到大排列的四位数形如2，5，各有a3=60个，共120个；需再向后数8个，602，5605，各有p1个，然后是6072，6075，这样，6075是第120+6+2=128（个）数3【答案】p1p3=3002p1p2=963(p1p2)+p3=2041631p2+p1p1=

31、36p2+2p1p1=3055444455444337-4-3排列的综合应用.题库教师版page7of93位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一3p3+2p1-1=186-1=185114第86个数第120+6+2=128（个）53【例15】从1，2，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？8

32、种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有p3种83种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有p3种8种号码即对应一种坐法，有p3种83个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有p3种83列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有p3种8土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有p3种8【答案】有p3种有p3种有p3种有p3种有p3种有p3种888888【例16】现有男同学3人，

33、女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答3243【解析】（1）从3个男同学中选出2人，有=3种选法从4个女同学中选出2人，有=6种选22法在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4321=24种选法3624=432，所以共有432种选法（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2321=12种选法3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时