极值点偏移第2招-含参数的极值点偏移问题(20200126205747

1、含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1 , x2 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例 1. 已知函数f ( x) x aexx1, x2，求证：x2.有两个不同的零点12x不妨设 x1x2 ，记 tx1 x2 ，则 tt0, e 1 ，tet12t2(et1)因此只要证明：t1t0 ，ee1再次换元令tx1,t2( x1)(1, )eln x ，即证 ln x0, xx1构造新函数F (x)ln x2( x1)， F(1) 0x114( x21)0 ，得 F (x ) 在

2、(1,) 上递增，求导 F ( x )x( x2x( x21)1)所以 F (x )0 ，因此原不等式x1x22 获证 .例 2. 已知函数f ( x) ln x ax ， a 为常数，若函数f ( x) 有两个零点12 ，证明：x , xxx22e .1法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数：不妨设x1x2 ， ln x1ax10,ln x2ax 20 ， ln x1ln x2a ( x1x2 ),ln x1ln x2a ( x1x2 ) ，ln x1ln x2，欲证明2ax1x2e ，即证1ln x22.x1x2ln x ln x1ln x2 a( x1x2 ) ，即证a2x1，x2

3、原命题等价于证明ln x1lnx22，即证：lnx12( x1x2 ) ，令 tx1 ,( t 1) ，x1x2x1x2x2x1x2x2构造 g (t)ln t2(t1)1 ，此问题等价转化成为例1 中思路2 的解答，下略 .t,t1法三：直接换元构造新函数：ln x1ln x2ln x2x2x2 , tx2ax2ln x1, 设 x1,( t 1) ，x1x1x1ln tx1ln tln x1t ，则 x2 tx 1,tln x1lnx1ln x1ln t,ln x2ln tx1ln tln x1ln tt ln t反解出：t 1ln t，t 1t 1故 x1 x22ln x1ln x2t1

4、，转化成法二，下同，略.e2ln t 2t1例 3. 已知 x1, x2 是函数 f (x) exax 的两个零点，且 x1 x2 .（ 1）求证：x1x 22 ；（ 2）求证：x1x21 .xxxx(2) 要证： x1 x2e 1e 2x1x2e2e 121 ，即证：a21 ，等价于ee(x1)，x2ex1ex21，等价于ex 2 x11，令tx2x10也即x2ex1 ) 2( x2x1 ) 2(ex2 x11)2( x2x1 ) 2(ett1e 21te(t0) ，也等价于0) ，等价于即证：2t等价于t22t1( tt ee 1 0(e1)tetttttt令 h( t )t e2et1(t0) ，则 h (t )e21 t e 2ete 2 (1te 2 ) ，22tt1tt又令(t ) 1e 2 ( t 0) ，得( t)e 20 ，(t ) 在 (0,)