未知需求分布下提前期可控的整合库存模型研究

1、未知需求分布下提前期可控的整合库存模型研究第16卷第2期2011年4月工业工程与管理industrialengineeringandmanagementvo1.16no.2apr.2011文章编号:10075429(2011)02006507未知需求分布下提前期可控的整合库存模型研究夏海洋,黄培清(1.华东理工大学商学院,上海200237;2.上海交通大学安泰经济与管理学院,上海200052)摘要:考虑了单供应商单采购商的生产一库存联合优化问题,采购商面临未知分布的随机需求,供应商的提前期可以控制.采用minimax方法建立了供应商和采购商联合期望总成本最小化模型,模型中允许采购商缺货,并且部

2、分缺货延期交付,部分缺货发生销售损失,同时也考虑了运输成本,并且假设运输成本依赖于订货量和提前期.给出了求解联合最优生产批量,联合最优提前期,联合最优再订货点和订货量的算法,并通过数值算例作了说明.关键词:生产一库存联合优化模型;可控提前期;部分延期交货;未知需求分布;minimax方法中图分类号:f253.4文献标识码:aresearchonintegratedinventorymodelwithcontrollableleadtimewhendemanddistributionisunknownxiahaiyang.huangpeiqing.(1.schoolofbusiness,east

3、universityofscienceandtechnology,shanghai200237,china;2.antaicollegeofeconomics&management,shanghaijiaotonguniversity,shanghai200052,china)abstract:inthisarticle,weconsiderthesinglevendorandsinglebuyersintegratedproductioninventoryproblem.werelaxtheassumptionofdeterministicdemandandthedistributi

4、onofthedemandisunknown,alsoweassumethatthelcadtimeiscontrollable.withtheseassumptions,weapplytheminimaxdistributionfreeproceduretoconstructthevendorandthebuyerstotalexpectedcostmode1.shortageispermittedinourmodel,andpartialbackorderedpartialsaleslost.inourmodelwealsoconsidertransportationcostandassu

5、methetransportationcostdependonorderquantityandleadtime.asolutionprocedureissuggestedforsolvingtheproposedmodelandnumericalexamplespresented.keywords:integratedproduction-inventorymodel;controllableleadtime;partialbackordered;unknowndemanddistribution;minimaxdistributionfreeprocedure引言随着巾j全球化及竞争压力的增

6、加,越来越多的企业之间建立供应链伙伴关系,以更好地应对日益严苛的顾客需求.传统的库存模型仅仅考虑单个企业成本或利润的优化,这已不再适应时代的需要.事实上,从上个世纪7o年代以来,学术界已经开始研究联合经济批量问题,即考虑供应链上下游企业生产批量与订货批量的协调,以实现供应链系统成本的最小化e引.ben-daya和ertogral对联合经济收稿日期:2010102o;修回日期:20101220基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金资助;国家自然科学基金项目(70372056);华东理工大学优秀青年教师科研基金(yn0157121)作者简介:夏海洋(1978一),男,江苏南京人,博士,讲师,主要

7、研究方向为运作与供应链管理.一65第16卷夏海洋,等:未知需求分布下提前期可控的整合库存模型研究批量问题作了研究综述e7.联合经济批量问题假设需求是确定性的,因此在这些模型中一般不考虑提前期.如果考虑随机需求的情形,提前期则成为库存模型中的一个重要因素_8.然而过去的库存模型大多将提前期视为已知的不可改变的常量或随机变量,事实上提前期并非厂商不可控制的常量,例如厂商可以通过工人加班,利用更快捷的运输方式等因素来缩短提前期,当然这要增加赶工成本或运输成本,但可以降低库存成本,因此厂商需要作出权衡,以使总成本降到最低.从上个世纪9o年代开始,一些学者开始研究可变提前期库存模型.liao和shyu首

8、先提出一个以提前期作为决策变量的库存模型,在事先给定订货量的情况下,求得最优提前期,安全库存水平以及再订货点l9.ben-daya和roauf在不允许缺货的情况下,同时将提前期和订货量作为决策变量,从而推广了i.iao和shyu的模型1.ouyang等放松了不允许缺货的约束,建立了一个允许缺货,并且缺货数量部分延期交货,部分销售损失的新模型1.ouyang和wu考虑需求分布未知的情况,他们利用minimax方法推导了模型的最优解.moon和choi,hariga和bendaya则进一步将再订货点作为模型的决策变量,讨论了含提前期,订货量以及再订货点等三个决策变量的库存模型ds-14.但上述这些

9、研究可变提前期的库存模型考虑的是单一厂商的成本优化问题,而没有考虑供应链系统的利益.最近一些学者研究了随机性需求下的生产库存联合优化模型,并且将可变提前期考虑进来.pan和yang考虑了需求不确定并且提前期可控下的生产库存联合决策,但在他们的模型中忽略了采购商的再订货点决策并且不允许缺货1引.ben-daya和hariga也研究了随机需求与可变提前期下单供应商和单采购商的联合生产库存决策问题,在他们建立的模型中考虑了再订货点决策,但假设提前期与订货量成线性关系并且运输成本为定值引.ouyang等推广了pan和yang的工作,在他们的模型中将再订货点也作为决策变量并且允许采购商发生缺货,但假设所

10、有缺货均延期交付,另外他们的模型中没有考虑运输成本l1.在本文中,我们将研究提前期可控的生产库存联合优化模型,需求是随机的,且需求分布函数未知,仅知道均值和方差.而且,在我们建立的模型中允许采购商发生缺货,但和ouyang等l1假设所有缺货全部延期交付不同,我们假设缺货数量部分延期交付,部分销售损失,我们认为这更符合实际情一66况.此外,我们也考虑了运输成本,并且和ben-daya和harigaf.中假设运输成本为定值不同,我们假设运输成本依赖于订货量和提前期,我们认为这一假设更为合理.另外,在pan和yangl-1引,ben-daya和harigal8以及ouyang等_16=j的研究中,他

11、们采用了分段线性函数来反映提前期变化所产生的赶工成本,在本文中我们将提前期改变所导致的成本变化反映在运输成本中,显然采用更快捷的运输方式将缩短提前期,同时也将导致更高的运输成本.2模型假设与符号说明考虑一个供应商和一个采购商构成的供应链系统,采购商面临随机性需求,采用连续盘点(r,q)策略管理库存,每当其库存水平下降至再订货点r时,即向生产商发出订货量为q订单.生产商接收到采购商的订单后组织生产,设其生产批量为采购商订货量的整数倍,并且一旦产量达到采购商的订货量即向采购商供货,供应商的提前期根据其选择的运输方式而变化,而不同的运输方式导致不同的运输成本,本模型中运输成本由采购商承担.2.1基本

12、假设(1)供应商的生产率大于采购商的平均需求率;(2)提前期内需求的分布函数为f(?),概率密度为厂(?),其均值为l,标准差为;(3)再订货点r一提前期内的期望需求量+安全库存量(ss),安全库存量(ss)一安全库存系数(是)提前期内需求的标准差,即r=ffl+ka;(4)供应商的生产批量为采购商订货量的整数倍,并且允许供应商在其生产过程中向采购商运送产品,即在本模型中,我们不要求供应商一批产品全部生产完毕后才向采购商交货;(5)采购商的库存系统采用连续盘点的方法,每当库存水平降低到,一时,即向供应商发出订单,订货量为q;(6)采购商的库存系统允许缺货,部分缺货延期交货,部分缺货销售损失;(

13、7)运输成本c的大小依赖于运输量q的多少和提前期l的长短,具体地,本模型假设它们之间满足如下关系:ct(q,l)=c+a(l一l)+6q其中,c,a,b均为大于零的常数.2.2符号说明d:采购商单位时间面临的平均需求;工业工程与管理第2期p:供应商的生产率;a:采购商每次订货的订单成本;k:供应商每生产批量的生产设置成本;q:采购商的订货量,决策变量;mq:供应商的生产批量,其中rn为正整数,也是本模型的决策变量;r:采购商的再订货点,决策变量;:采购商每单位时问持有每单位库存所需成本;hv:供应商每单位时间持有每单位库存所需成本;l:采购商的订货提前期,决策变量;x:提前期内的随机需求;:缺

14、货期间允许延期交货的比例,相应地,1一则为销售损失的比例,01;丌:每单位商品延期交货发生的利润损失;丌.:每单位商品的边际利润;c(q,l):当提前期为l时,将数量为q的产品从供应商处运送至采购商处所发生的运输成本;etcb:采购商单位时间期望总成本;eocb:采购商单位时间期望订单成本;ehc.:采购商单位时间期望库存持有成本;esc.:采购商单位时间期望缺货成本;ecr:采购商单位时间期望运输成本;etcv:供应商单位时间期望总成本;escv:供应商单位时问期望生产设置成本;ehcv:供应商单位时间期望库存持有成本;jetc:供应商和采购商单位时间联合期望总成本.3模型的建立在本文中,我

15、们将从供应商和采购商系统整体的角度出发,探讨如何确定最优生产批量,最优库存策略以及最优提前期以实现系统期望总成本的最小化.首先,我们来分析采购商单位时间的期望总成本.在本模型中,我们考虑的采购商的期望总成本由订单成本,库存持有成本,缺货成本以及运输成本构成,即etcb=日dcb+ehcb+escb+foet(1)采购商单位时间的期望订单成本可表示为胱.=a采购商单位时间的期望缺货成本可表示为escb=:=那+7to(1-p)jsxr+(3)米购两单位时f.q期望厍存持有成本为ehc一.导+一十(1一p)ex1(4)采购商单位时间期望运输成本为ecr一言+以(lmax-l)+(5)综上,我们得到

16、采购商单位时in期望总成本函数为etcb(q,r,l)一da+c+口(lx-l)+邢+丌o(1-)sexr+矗.-+一+(1一p)ex一+(6)下面来分析供应商单位时间期望总成本.本模型中,供应商的期望总成本由生产设置成本和库存持有成本两部分构成,即etcvescv+ehcv(7)供应商单位时fd期望生产设置成本为esc一旦k(8)7供应商的平均库存水平可通过下式来计算:棚(+m-1)一2p卜髻c+2+.+(m-1/()一(一)一+因此,供应商单位时间的期望库存持有成本为ehc一()一+于是,我们可以写出供应商单位时间期望总成本函数为etc一+(一)一+(10)根据(6)式和(1o)式,我们可

17、以得到供应商和采购商单位时间联合期望总成本函数为etc(q)一+l)+邢+丌0(1一p)eexr+詈一d)一+r止+(1-)sex-r(11)为了简化上述表达式,我们令:第16卷夏海洋,等:未知需求分布下提前期可控的整合库存模型研究,m()一+(12g(m)一a+e-t-c(13)从而,供应商和采购商的联合期望总成本函数可写成:jetc(q,是,l,)一dg()+口(l一l)+那+7r.(1一p)3zexr+)+h()+hbr一止+(1一p)zexr(14)图1供应商和采购商库存变化示意图4模型的求解在前面一部分,我们已经建立了供应商和采购商的联合期望总成本函数,现在的问题是如何找到最优的订货

18、量q,再订货点r(也即安全库存系数尼),提前期l以及供应商的生产批量倍数m,以使jetc降到最低,即(p1)minjetc(q,r,l,)o>o,>o,lffl,lma但由于我们不知道提前期内需求的确切分布,因此我们无法精确得到ex一,.+的值,对于此问题我们采用minimax方法来处理.minimax方法的思想是求出在采购商面临最不利的需求情况下的一68一系统的最佳订货量,再订货点,提前期以及生产批量.具体而言,首先在所有满足均值为l,标准差为/的概率分布中找到使供应链系统具有最大单位时问期望总成本的分布,然后在此分布下,求出使系统单位时间期望总成本达到最小值的订货量,再订货点,

19、提前期和生产批量.利用minimax方法,我们可将问题(p1)转化为下列问题(p2):mlnmax./e7c(q,r,l,)q.-0.r>o,mf:-z+fenlelm,l这里n为所有满足均值为l,标准差为,/e的分布函数构成的集合.为了求解问题(p2),我们需要下面的定理.定理1(gallego和moon)对于任意的fn,eex-r+二f_一(r-d-)-1(15)并且总可以找到一个分布函数,使(15)式的等号成立.由(14)式可知,jetc关于exr+递增,所以供应链系统所面临的最为不利的情况是x一,-j+=(r-iil),我们称使zx-,g十一一(r一l)成立的需求分布函数为最坏分

20、布函数.从而,我们可以将问题(p2)写为minjetc(q,r,l,l)(16)ll,l其中,jetc(q,r,l,mlfw)一g()+n(l一l)q-bqq-qh()+b(r一)+qep+7r.(1一)+hb(1一)?生!二:二二(17)z将r一l+b代入得jetc(q一g(优(l)+6q+h(m)+.b+工业工程与管理第2期+一p)-i+1)?一是2(18)性质1在最坏分布函数f,对于给足的mz+和ll,l,jetc(q,k,l,ml)是关于(q,尼)的凸函数.证明对jetc(q,是,l,fw)分别作关于订货量q和安全库存系数志的二阶偏微分,可得je丁c一2dg(m)4-n(lx-l)+d

21、那+(1一,/,一ko>0(19)jetc碰一qebp+,to(1一)+e(1一?二(20)zjetc一jetc一一d那+(1一?忌(1+k.)一一1o,/l-(21)ljetcjetcid(14-足)3/2ljetcjetc怂l2gl1=一2g(m)-t-l一l)?罢,印+7rb(1一+qk=hb(1-+邢+7ro(1-p)?丽盯?h(i-+邢+:fro(1一.2,/1+是.一是(1+是)/一(1+k.)-i/.1(22)令以(志)一2/1+志.一是(14-k)3/2一足(1+k)-1/21,则有下列两式成立:lima(k)一0(23)一14-<.(忌)/即a(k)是关于是的递减

22、函数,且极限为零,因此对于任何k>o,a(愚)>0成立.从而我们得到行列式:ljetccetcjetcjetc:>.l肫l由(19)式和(25)式可知,jetc(q,k,l,mif)关于(q,k)的hessian矩阵为正定矩阵,从而在给定和l的情况下,我们可以判定jetc(q,k,l,mlf)是关于(q,)的凸函数.根据性质1,我们可以利用一阶条件求出给定m和l的情况下的联合最优订货量和安全库存系数,结果如下.d2eg(m)4-a(l-l)4-那+7r.(1一)(,/,rf一k)ah()可以看到在(28)式和(29)式中,q和走互为函数关系,所以无法将它们各自明确求出.通过下

23、列迭代算法,我们可以找到给定m和l下的联合最优订货量和联合最优安全库存系数:(i)设定起始值k一0,代人(26)式,计算q;(ii)将求得的q代入(27)式,计算k;(iii)将求得的k再代入(26)式,计算q;(iv)重复步骤(i)(iii),直到q和愚收敛为止,该收敛值即为给定m和l下的联合最优订货量和联合最优安全库存系数.性质2在最坏分布函数f下,对于给定的(,q,志),jetc(q,k,l,mif)是关于l的凹函数.证明对jetc(q,k,l,m1f)作关于l的两阶偏微分,得:3zjetc:=一_1b忌一3/2一一一.患一d那+丌.(1一+e(1一)?/亚1+k2:-kala/2<

24、;08(26)(27)由<0可知,jetc(q,k,l,i)是关于dll的凹函数.根据性质2,我们可以得到下面的推论.推论1对于任意(,q,愚)组合,供应商和采购商的联合期望总成本的最小值必发生在区间l一,l的端点处,即采购商要么选择最短的订一69第16卷夏海洋,等:未知需求分布下提前期可控的整合库存模型研究货提前期l.,要么选择最长的订货提前期l.从而,我们可以建立下列算法来求出供应商和采购商的联合最优订货量,联合最优库存安全系数,联合最优提前期以及联合最优生产批量.步骤1设定m一1;步骤2分别对l=l和l=ln执行上述步骤(i)(iv);步骤3计算jetc(q(l.,),k(l,),

25、l.,mlr)和jetc(q(l,m),走(l,m),l,mlr),将两者比较,较小的作为jetc(q,;,是,ml,),这样(q,是,)即为给定下的最优解;步骤4设定一+1,重复步骤2和步骤3,得到jetc(q,;,走,l,mlf);步骤5若jetc(q,走,l,fnlfw)jetc(q,;1,愚一1,l一1,1fw),贝0返回步骤4,否则执行步骤6;步骤6设定jetc(q,走,l,mi)一,etc(ql,志1,l一1,一1lfw),即q一q1,是一是一1,l一l1,m一,z一1,则(q,矗,l,)为本模型的最优解.5数值算例在这一部分,我们将通过具体的数值算例来说明上面的求解算法.假定本模

26、型中的参数取值如下:d一600件/年,p一2000件/年,a一$200/每次订购,k一$1500/批次,h=$2o/件/年,h一g15/件/年,一7件/周,l.一3周,lhm=8周,tco一$15o/件,tcb一$50/件,cr,一,一,200gaglo/周,6一go.5/件.运用上述求解算法,我们分别讨论延期交货比例取0,0.5,0.8,1时,供应商和采购商如何选择最优生产批量,最优订货量,最优再订货点以及最优提前期,求解过程如表1所示,最优解用方框标出.从最优解的结果来看,随着允许延期交货比例的上升,联合最优生产批量和联合最优订货量有所下降,但下降的幅度很小,这说明q和m对参数的敏感性较低

27、.而随着上升,采购商应该降低其再订货点,此时供应商和采购商的联合期望总成本也将降低,这容易理解,因为更多的客户愿意等待,厂商可以通过降低再订货点来减少库存成本,从而也降低了系统总成本.一70一表1不同取值下本算例最优解的求解过程一o?/l(周)q133288336图图圆822533172817855126回13464140ml(周)q133258331图图囡8221331708174508597.71188957.6园圆1258721.5588524.613o8982.1ml(周)qr133230.98494783280.9729112图图圆圆回82181.3188118331681.5622

28、5481711.5486l23口一1ml(周)q133218325圉圈囡82153316781681-0.6965430.6870106圃囹1.o1651121.23575o1.22791176结语传统的库存模型仅仅站在单个企业的立场上,考虑的是单个企业利益的最大化,这通常会损害整个供应链系统的效率,一个更好的方式是不同的供应链成员联合决策,以实现供应链整体利益的最佳化.近来一些学者提出了随机性需求下的生产一库存联合优化模型,并且假设提前期是可以控制的,这些研究拓展了传统的库存模型,具有重要意义.在本文中,我们考虑了一个由单供应商和单采购商组成的两级供应链系统,采购商面临的需求是不确定性的,且

29、分布未知,仅知道其均值和方差,而供应商可以通过改变运输成本来控制提前期的长短.在这些设定下我们采用minimax方法建立了供应商和采购商联合期望总成本最小化模型,和过去的文献不同,在我们建立的模型中明确考虑了运输成本,并2o一4一o32昭鼹一一盯盯一一蛐盯吣一一一钳一n一一一112222踮一一鲫盯一一11一l一o95一o39鼹一一明一阻一雅g3%898953蛆甜一一盯鹊踮一一工业工程与管理第2期且运输成本依赖于运输数量和提前期长短,此外,我们的模型中允许采购商发生缺货,缺货数量部分延期交货,部分发生销售损失.我们讨论了供应商和采购商如何制定联合最优生产批量,提前期,再订货点以及订货量,给出了求

30、解算法,并通过数值算例作了说明.参考文献1goyalsk.anintegratedinventorymodelforasinglesupplier-singlecustomerproblemj.internationaljournalofproductionresearcb,l976,l5(1):lo7一l.2banerjeea.ajointeconomic-lotsizemodelforpurchaserandvendorj.decisionsciences,17(3):292311.3goyalsk.ajointeconomic-lotsizemodelforpurchaserandven

31、dor:acommemtj.decisionsciences,19(1):236241.4lulaonevendormultibuyerintegratedinventorymodelj.europeanjournalofoperationalresearch,1995,81(2):3l2323.5goyalsk.aone-vendormultibuyerintegratedinventorymodel:acommentj.europeanjournalofoperationalresearch,1995,82(2):209210.6hillrm.theoptimalproductionand

32、shipmentpolicyforthesingle-vendorsinglebuyerintegratedproductioninventorymodelj.internationaljournalofproductionresearch,1999,37(10):24632475.72bendayam,darwishm,ertogralk.thejointeconomiclotsizingproblem:reviewandextensionsj.europeanjournalofoperationalresearch,2008,185(2):726742.8bendayam,harigam.

33、integratedsinglevendorsinglebuyermodelwithstochasticdemandandvariableleadtimej.internationa1journalofproductioneconomics,2004,92(1)7580.9liaoc,shyucananalyticaldeterminationofleadtimewithnormaldemandj.internationaljournalofoperations&productionmanagement,1991,11(8):727810bendayam,raoufa.inventor

34、ymodelsinvolvingleadtimeasdecisionvariablesj.thejournaloftheoperationalresearchsociety,1994,45(5):579582.11ouyangl,yehn,wuk.mixtureinventorymodelwithbackordersandlostsalesforvariableleadtimej.thejournaloftheoperationalresearchsociety,1996,47(6):829832.12ouyangi,wuk.aminimaxdistributionfreeproceduref

35、ormixedinventorymodelwithvariableleadtimej.internationaljournalofproductioneconomics,1998,5657:51卜516.r13mooni,choisanoteonlcadtimeanddistributionassumptionsincontinuousreviewinventorymodelsj.computerandoperationsresearch,1998,25(10):10071012.14harigam,bendayam.somestochasticinventorymodelswithdeter

36、ministicvariableleadtimej.europeanjournalofoperationalresearch,1999,113:4251.15panjc,yangjsastudyofanintegratedinventorywithcontrollableleadtimej.internationaljournalofproductionresearch,2002,40(5):12631273.16ouyangly,wuks,hoch.integratedvendor-buyercooperativemodelswithstochasticdemandincontrollabl

37、eleadtimej.internationaljournalofproductioneconomics,2004,92(3):255266.17gallegog,mooni.thedistributionfreenewsboyproblem:reviewandextensionsj.thejournaloftheoperationalresearchsociety,1993,44:825834.(上接第64页)5wangx,edwinchengtc.heuristicsfortwomachineflowshopschedulingwithsetuptimesandanavailabilityconstraintj.computers&operationsresearch,2007,34(1):152一l62.6batuns,azizolum.singlemachineschedulingwithpreventivemaintenances.internationaljournalofproductionresearch,2009,47(7):1753一l771.7qix,chent,tuf.schedulingt