第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1、知识点空间几何体的结构及三视图和直观图空间几何体的表面积与体积空间点、直线、平面之间的位置关系空间中的平行关系空间中的垂直关系考纲下载认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式会画某些建筑物的视图与直观图 (在不影响图形特征的基础上， 尺寸、线条等不做严格要求 )了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.理解空间直线、

2、平面位置关系的定义了解可以作为推理依据的公理和定理能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 .以立体几何的定义、 公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 .以立体几何的定义、 公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 .第 1 讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图1 空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边棱柱都互相平行棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

3、(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线或对边中点连线所在直线圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线球半圆或圆直径所在的直线2. 三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线3 直观图(1)画法： 常用斜二测画法(2)规则： 原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直， 直观图中， x轴，

4、y轴的夹角为45(或135 )， z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于直观图中仍平行于坐标轴 平行于 x 轴和 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半z 轴的线段判断正误 (正确的打“”，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱()(6)菱形的直观图仍是菱形()答案：

5、 (1) (2) (3) (4)(5) (6) 下列说法正确的是()A 相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案： D关于棱柱的下列说法错误的是()A 棱柱的侧棱都相等B棱柱的侧棱都平行C棱柱的两底面是全等的多边形D棱柱的侧面是全等的平行四边形解析： 选 D . 根据棱柱的结构特征可知选D .如图，长方体ABCD -A B CD 中被截去一部分，其中EH AD ，则剩下的几何体是()A 棱台B.四棱柱C五棱柱D简单组合体答案： C某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A 圆柱B.圆锥C

6、四面体D三棱柱解析： 选A .由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看 ) 都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A .(教材习题改编)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析： 选B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.空间几何体的结构特征学生用书P120 典例引领 (1) 给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下

7、底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是 ()A 0B.1C2D 3(2)给出以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0B.1C2D 3【解析 】(1) 不一定 ，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、 下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等(2) 由圆台的定义可知 错误 ， 正确 ，对于命题 ， 只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台 ， 不正确 【答案】(1)B(2)B空间几何体概

8、念辨析题的常用方法(1) 关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可(2) 圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上 ，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系 (3)既然棱 (圆 )台是由棱 (圆 )锥定义的 ，所以在解决棱 (圆 )台问题时 ，要注意 “ 还台为锥 ” 的解题策略 通关练习 1下列说法正确的是()A 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

9、解析： 选 D. 如图知 ， A 不正确 ，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体 ，则 B 不正确 侧棱长与底面多边形的边长相等的棱椎一定不是六棱锥，故 C 错误 ，由定义知 ，D 正确 2给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是_解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故 都不正确 ，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确 ，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确 答案：

10、 空间几何体的三视图(高频考点 )学生用书P121空间几何体的三视图是每年高考的热点，可以单独考查，也常与表面积、体积综合考查主要命题角度有：(1)已知几何体，识别三视图；(2)已知三视图，判断几何体；(3)已知几何体的某些视图，判断其他视图 典例引领角度一已知几何体 ，识别三视图如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点起辅助作用 )，则四面体ABCD 的三视图是 (用代表图形(长方体是虚拟图形，)()A B.CD【解析】 正视图应该是相邻两边长为3 和 4 的矩形 ，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是 ；侧视图应该是相邻两边长为5 和 4 的矩形 ，其对角

11、线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是 ；俯视图应该是相邻两边长为3 和 5的矩形 ，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是， 故选 B .【答案】B角度二已知三视图 ，判断几何体(1) 如图，网格纸的各小格都是正方形， 粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ()A 三棱锥C四棱锥(2)(2017 高考北京卷B.三棱柱D四棱柱)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A 32B.2 3C22D 2【解析】(1) 由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱 ，故选 B .(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 P-ABCD ) 如图所示

12、，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中 由图可知该四棱锥的最长棱为PD， PD 22 22 2223. 故选 B.【答案】(1)B(2)B角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图(1) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()【解析】(1) 由几何体的直观图(如图 )知选 B.(2)由题图可知 ，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD 平面BCD ，故选D.【答案】(1)B(2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1) 由几何体的直观图求三视图注意正视图、

13、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线 ，不能看到的部分用虚线表示(2) 由几何体的部分视图画出剩余的视图先根据已知的一部分视图 ，还原、推测直观图的可能形式 ，然后再找其剩下部分视图的可能形式 当然作为选择题 ，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视 图是否符合 (3) 由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理 ，结合空间想象将三视图还原为实物图 通关练习 1正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， E 为棱 BB1 的中点 (如图 )，用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析： 选 C. 过点

14、A， E，C1 的截面为 AEC1F ，如图 ，则剩余几何体的侧视图为选项 C 中的图形 ，故选 C.2已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A 圆柱C球B.三棱柱D四棱柱解析： 选B .由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B .3如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为()解析： 选 B . 由三视图的画法规则：长对正、高平齐、宽相等可知，选项 B 正确空间几何体的直观图学生用书P122 典例引领 (1) 已知正三角形ABC 的边长为a，那么 ABC 的平面直观图ABC的面积为()A .32B. 324 a8a6262C.8 aD 16 a(2)如图，矩形

15、 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA 6 cm，O C2 cm，则原图形是 ()A 正方形C菱形【解析】B.矩形D一般的平行四边形(1) 如图 所示的实际图形和直观图，1 3由 可知，A B AB a，OC 2OC 4 a，在图 中作 CD AB于 D ，则 CD26116622 OC8 a，所以SAB C2ABCD2a8 a16 a.故选 D.(2)如图 ，在原图形OABC 中，应有 OD 2OD 2 22 42(cm) ，CD CD 2 cm.所以 OC OD 2 CD 2 （4 2）2 226(cm) ，所以 OAOC，故四边形 OABC 是菱形，故选 C.【答案】(1

16、)D(2)C(1)用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与x轴或 y轴平行 ，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S之间的关系 S 24 S，能更快捷地进行相关问题的计算 通关练习 1如图是水平放置的某个三角形的直观图，D 为 ABC中 BC边的中点且 AD y轴， AB， A D， A C三条线段对应原图形中的线段AB， AD， AC，那么 ()

17、A 最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB ，最短的是ADD最长的是AD ，最短的是AC解析： 选 C. 由题中的直观图可知 ，AD y轴 ，B C x轴 ，根据斜二测画法的规则可知 ，在原图形中 AD y 轴， BC x 轴，又因为 D为 BC的中点 ，所以 ABC 为等腰三角形 ，且 AD 为底边 BC 上的高 ，则有 AB ACAD 成立 2.如图正方形OABC 的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 _cm.解析： 由题意知正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB 2 cm，对应原图形平行四边

18、形的高为22 cm，所以原图形中，OA BC1 cm， ABOC（ 22） 2 123 cm，故原图形的周长为2 (1 3) 8 cm.答案： 8画三视图的三个原则(1)画法规则：“长对正，高平齐，宽相等”(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出已知三视图 ，判断几何体的技巧(1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体(2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置(3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体原图与直观图中的“ 三变 ” 与 “两不变

19、”坐标轴的夹角改变(1)“三变”与 y轴平行的线段的长度改变（减半）图形改变平行关系不变(2)“两不变”与 x轴平行的线段长度不变学习本讲应注意的三个问题(1)台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点(2)空间几何体不同放置时其三视图不一定相同(3) 对于简单组合体，若相邻两几何体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法 学生用书P297(单独成册 )1 (2017 阳市教学质量监测沈(一 )“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，

20、好似两个扣合 (牟合 )在一起的方形伞(方盖 ) 其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析： 选 B. 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为 B ，故选 B.2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析： 选 D . 由俯视图是圆环可排除A 、B 、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项 D.3将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析： 选 D . 根据几何体的结构特征进行分析即可4若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可

21、以是()解析： 选 D . A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，故选 D .5如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形 )和侧视图，且该几何体的体积为8，则该几何体的俯视图可以是()3解析： 选C. 由正视图和侧视图及体积易得几何体是四棱锥P-ABCD ，其中ABCD是边长为2 的正方形 ， PA平面ABCD ，且PA 2，此时VP -ABCD13 22 283，则俯视图为Rt PAB，故选 C.6.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1 的等腰梯形，则该平面图形的面积为_1 (1 1 2)22 1S

22、S解析： 直观图的面积 S. 故原平面图形的面积 2222242.答案：227一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图 ，过点 A 作 AC OB，交 OB 于点 C.在 RtABC 中， AC 12 cm， BC 8 3 5(cm) 所以 AB 122 52 13(cm) 答案： 138已知正四棱锥V-ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为_解析： 如图 ，取正方形 ABCD 的中心 O，连接 VO， AO，则 VO 就是正四棱锥 V-ABCD 的高 因为底面面积为 16，所以

23、AO 22.因为一条侧棱长为211，22所以 VOVA - AO 44 86.所以正四棱锥V-ABCD 的高为 6.9某几何体的三视图如图所示(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图解： (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体 (2)直观图如图所示 10如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位： cm)(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积解： (1)如图 (2)所求多面体的体积V V 长方体 V 正三棱锥 4 4 6 1(12 2) 2 2

24、843)3 23(cm1已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为有一条直角边长为2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(2 的正三角形，侧视图是)解析： 选 C. 当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线 ，排除 A ，D ；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA 形成的投影 ，应为虚线，故答案为C.2 (2018 兰州适应性考试 )如图，在正方体ABCD -A1B1 C1D 1 中，点 P 是线段 A1C1 上的动点，则三棱锥 P-BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为()A 1B.2C. 3D 2解析：选 D. 正视图 ，底面 B，C，D 三点，其中 D 与 C 重合，随着点 P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B1C1 上移动 ，由此可知 ，设正方体的棱长为a，则 S 正视图 12 a2；设 A1C1 的中点为O，