第2讲平面向量基本定理及坐标表示

1、第 2 讲平面向量基本定理及坐标表示1 平面向量基本定理如果e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数， ，使12a e e 1122其中，不共线的向量e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， y，2 y2a (x1 1)|a|11x(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1， y1)， B( x2， y2)，则

2、AB (x2 x1， y2 y1)，(x2 x1)2 (y2 y1)2 |AB|3 平面向量共线的坐标表示设 a (x1， y1)， b (x2， y2)， a b? x1y2 x2y10判断正误 (正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2) ， 若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1212.()(3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 ()(4)若 a (x1， y1) ，b (x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成x1 y1.()x2 y2答案： (1) (2) (3) (4)

3、( 教材习题改编 ) 下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()1 (2， 4)， e2 (1， 2)A eBe1 (4 ，3)， e2 ( 3， 8)Ce1 (2 ，3)， e2 ( 2， 3)D e1 (3， 0)， e2 (4， 0)解析： 选 B对于 A ， e 2e2，对于 C， e ，对于 D， e 32，对于 B，不存11e214e在 R，使 e1 e2，故选 B已知点 A(0， 1)， B(3， 2)，向量 AC ( 4， 3)，则向量 BC()A(7， 4)B (7， 4)C( 1， 4)D (1， 4)解析： 选 A 法一： 设 C(x， y)，则 AC (x， y 1)(

4、 4， 3)，x 4，所以y 2，从而 BC ( 4， 2) (3， 2) ( 7， 4)故选 A 法二： AB (3， 2) (0， 1) (3， 1)，BC AC AB ( 4， 3) (3， 1) ( 7， 4)故选 A( 教材习题改编 ) 向量 a， b 满足 a b ( 1， 5)， ab (5， 3)，则 b _解析： 由 a b ( 1，5)，a b (5， 3)，得 2b (1， 5)(5 ， 3) (6， 8)，所以 b 12( 6，8) ( 3， 4)答案： ( 3， 4)( 教材习题改编 ) 已知 A( 2， 3)， B(2，1)， C(1， 4)，D ( 7， t)，若

5、 AB 与 CD 共线，则 t_解析： AB (2， 1) ( 2， 3)(4，4)，CD ( 7， t) (1， 4) ( 8， t4) 因为 AB与 CD 共线，所以 4(t 4) 4( 8) 0.即 4t 160，所以 t 4.答案： 4( 教材习题改编 ) 已知 ?ABCD 的顶点 A( 1， 2)，B(3， 1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为 _ 4 5x，x 1，解析： 设 D (x，y)，则由 AB，得 (4，1) (5 x，6 y)，即解得 DC1 6y，y 5.答案： (1，5)平面向量基本定理及其应用 典例引领 1 1 如图，以向量 OAa， OB b 为邻边作 ?O

6、ADB ， BM BC ，CN CD ，用 a， b33表示 OM，ON，MN .【解】 因为 BAOB a b， OA1 1115BM6BA6a 6b，所以 OM OB BM 6a 6b.因为 OD a b，111222所以 ON OC 3CD 2OD6OD3OD 3a3b，所以 MNON OM2 2 1 51 13a3b 6a6b 2a6b.15 2211综上 ，OM 6a 6b， ON3a 3b， MN 2a6b.平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2) 用向量基本定理解决问题的一般思路

7、是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决注意 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理 通关练习 1在 ABC 中， P，Q 分别是 AB， BC 的三等分点，且11AP AB，BQ BC，若 AB33)a， AC b，则 PQ(1111A 3a3bB3a3b1111C3a 3bD 3a 3b2121111 解析： 选 A 由题意知 PQ PB BQ 3AB 3BC 3AB 3(AC AB)3AB3AC 3a1 3b，故选 A 2已知点 A，B 为单位圆O 上的两点， 点 P 为单位圆 O 所在平面内的

8、一点，且 OA与 OB不共线(1)在 OAB 中，点 P 在 AB 上，且 AP 2PB，若 AP rOB sOA，求 r s 的值；(2)已知点 P 满足 OP mOA OB(m 为常数 )，若四边形 OABP 为平行四边形， 求 m 的值2 解： (1)因为 AP 2PB，所以 AP3AB，2 2 2 所以 AP3(OBOA ) 3OB3OA，又因为 AP rOB sOA，2 2所以 r 3， s 3，所以 r s0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形，所以 OB OP OA， 又因为 OP mOA OB，所以 OB OB (m 1)OA，依题意 OA， OB是非零向量且不共线所以 m

9、 10，解得 m 1.平面向量的坐标运算(高频考点 )平面向量的坐标运算是每年高考的重点，题型为选择题、 填空题， 涉及向量坐标的线性运算及数量积运算，难度适中主要命题角度有：(1)已知向量的坐标进行坐标运算；(2)解析法 (坐标法 ) 在向量中的应用 典例引领 角度一已知向量的坐标进行坐标运算(1)已知向量 a (5，2)，b( 4，3)，c (x，y)，若 3a 2b c 0，则 c ()A ( 23， 12)B (23， 12)C(7， 0)D ( 7，0)(2)已知向量 a(2 ，1)， b (1， 2) 若 manb (9， 8)(m， n R)，则 m n 的值为_(3)平面直角坐

10、标系xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C( 1，c)( c0) ，且 |OC| 2，若 OCOA OB，则实数 的值为 _【解析】(1)3a 2bc (23 x， 12 y) 0，故 x 23，y 12，故选 A(2)由向量 a(2， 1)， b (1， 2)，得 ma nb (2m n， m 2n)(9， 8)，2m n9，m2，则解得故 m n 3.m 2n 8，n 5， 22 4，因为 c0，所以 c(3)因为 |OC| 2，所以 |OC| 1 c3.因为 OC OAOB，所以 ( 1，3) (1， 0) (0，1) ，所以 1， 3，所以 3 1.【答案】(1)A(2)3(

11、3)31角度二解析法 (坐标法 )在向量中的应用(2017 考全国卷高 )在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP AB AD，则 的最大值为 ()A3B22C5D2【解析】以 A 为坐标原点 ， AB， AD 所在直线分别为x， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 ，则 A(0， 0)， B(1， 0)， C(1， 2)， D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x y2 0，点 C 到直线 BD 的距离为2 2 ，圆 C：( x 1)2 (y 2)24，因为 P在圆 C上，所12 2255以 P(1 25cos ，22555si

12、n )， AB (1， 0)，AD (0， 2)，AP AB AD (， 2)，所251 5cos ， 22 55以5cos 5 sin 2 sin( ) 3， tan 2，选 A 2255sin 2，【答案】A(1)向量坐标运算的策略向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则(2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系( 如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化 ，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解 通关练习 1已知四边形 ABCD 的三个顶

13、点 A(0， 2)，B( 1， 2)， C(3，1)，且 BC2AD，则顶点D的坐标为()A 2，7B 2，122C(3， 2)D (1， 3)4 2x，解析：选 A 设 D (x，y)，AD (x，y 2)，BC (4，3)，又 BC2AD，所以3 2(y 2)，x 2，所以y 7， 故选 A 22向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c a b(，R )，则 _解析： 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1， 1)，B(6，2)，C(5 ， 1)，所以 aAO ( 1，1)，bOB (6，2)，c BC 6 1，(

14、 1， 3)因为 ca b，所以 (1， 3) ( 1，1) (6， 2)，即解 2 3，得 2，1，所以2 4.答案： 43.给定两个长度为2C在以O为1 的平面向量 OA和 OB，它们的夹角为3.如图所示，点圆心的圆弧 AB上运动若 OC xOA yOB，其中 x， y R，求 x y 的最大值x 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，则 A(1，解：以 O 为坐标原点 ，OA所在的直线为0)，B 1，3，222设 AOC 0， 3，则 C(cos ， sin )，1cos x2y，由 OC xOAyOB，得3sin 2 y，323所以 xcos 3sin ， y3sin ，所以 xy cos

15、 3sin 2sin ，62 5又 0， 3 ，所以 6，6 6 ，1所以 sin 6 2， 1 ，故 x y 的最大值为 2.平面向量共线的坐标表示 (高频考点 )平面向量共线的坐标表示也是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题主要命题角度有：(1)利用向量共线求向量或点的坐标；(2)利用向量共线求参数 典例引领 角度一利用向量共线求向量或点的坐标已知点 A(4， 0)，B(4， 4)，C(2， 6)，O 为坐标原点，则AC与 OB 的交点 P的坐标为 _【解析】 法一： 由 O，P，B 三点共线 ，可设 OPOB (4，4)，则APOP OA(44， 4) 3 又 AC O

16、COA (2，6)，由 AP与 AC共线，得 (4 4) 6 4 ( 2) 0，解得 ，43 所以 OP 4OB (3， 3)，所以P 点的坐标为(3， 3)法二： 设点xyP(x，y)，则 OP (x，y)，因为 OB (4，4)，且 OP与 OB共线 ，所以 44，即xy.又 AP (x 4， y)，AC (2， 6)，且AP 与 AC共线，所以 (x 4) 6 y ( 2) 0，解得 x y 3，所以 P 点的坐标为 (3， 3)【答案】(3， 3)角度二利用向量共线求参数已知向量 OA (1， 3)，OB (2， 1)， OC ( k1， k 2)，若 A、 B、C 三点不能构成三角形

17、，则实数k 应满足的条件是 ()1A k 2B k 2Ck 1D k 1【解析】 若点 A、B、C 不能构成三角形 ，则向量 AB ，AC共线 ，因为 ABOB OA (2， 1) (1， 3) (1，2)，ACOC OA (k 1，k 2) (1， 3) (k，k 1)，所以 1 (k 1) 2k 0，解得 k 1.【 答案】 C平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时 ，可设所求向量为 a( R)，然后结合其他条件列出关于的方程 ，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(2) 利用两向量共线求参数如果已

18、知两向量共线，求某些参数的取值时 ，利用 “ 若 a( x1， y1)， b (x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2 x2y1” 解题比较方便 通关练习 1 已知梯形 ABCD ，其中 AB CD ，且 DC 2AB，三个顶点 A(1 ，2)， B(2， 1)， C(4，2)，则点 D 的坐标为 _解析： 因为在梯形ABCD 中， ABCD ， DC 2AB，所以 DC 2AB.设点 D 的坐标为 (x，y)，则 DC (4， 2) (x， y) (4 x， 2 y)， AB (2， 1) (1， 2) (1， 1)，所以 (4 x， 24 x2，x 2，y)2(1， 1)，即 (

19、4 x，2 y) (2， 2)，所以解得故点 D 的坐标2 y 2，y 4，为(2， 4)答案： (2，4)为坐标原点，若 A，2设 OA ( 2，4)， OB ( a， 2)， OC (b， 0)， a0， b0， OB， C 三点共线，则1 1的最小值为 _ab解析： 由已知得 AB (a 2， 2)，AC (b 2， 4)， AC，所以 (a 2， 2) (b 2， 4)，又 AB a 2 (b 2)，即整理得2a b 2， 2 4，1 1 1(2a b)1112a b13 22a b 3 2.所以3ba2a b 2ab2b a2答案： 322对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定

20、理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a e e 的形式1122向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为 x1y2 x2 y1 0.向量坐标运算应注意的两个易误点(1)注意运用两个向量a， b 共线坐标表示的充要条件应为x1y2 x2y1 0.(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息1.如图，在平行四边形AB

21、CD 中，E 为 DC 边的中点， 且 AB a，AD b，则 BE等于 ()11A b 2aB b2a11Ca2bD a2b11解析： 选 A BE BA AD DE a b2a.2ab12在平面直角坐标系中，已知向量a (1，2)，a 2b(3 ，1)，c(x，3)，若(2a b) c，则 x ()A 2B 4C 3D 111解析：选 D.因为 a b (3，1)，所以 a (3，1) b，则 b ( 4，2)所以 2ab (222， 6)又 (2a b) c，所以 6 6x， x 1.故选 D. 1 的正方形网格中的位置如图所示，若3.已知向量 AC， AD 和 AB在边长为AC AB

22、)AD ，则 等于 (A 2B 2C3D 3解析： 选 A 如图所示 ，建立平面直角坐标系，则 AD (1， 0)，AC(2， 2)， AB (1， 2)，所以 (2， 2) (1， 2) (1，0) ( ， 2)，因为 AC AB AD2 ， 1，所以解得所以 2.故选 A 2 2， 3，4在平面直角坐标系xOy 中，已知 A(1， 0)， B(0，1) ，C 为坐标平面内第一象限内一点且 AOC ， |OC| 2，若 OC OA OB ，则 ()4A2 2B 2C2D4 22，2，解析：选 A 因为 |OC|2，AOC，所以 C(2)，又 OC OA OB，所以 (42) (1， 0)(0

23、 ，1) (， )，所以 2， 22.5已知平面直角坐标系内的两个向量a (m， 3m4)， b (1， 2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成c a b(， 为实数 )，则 m 的取值范围是 ()A (， 4)B (4， )C( ， 4) (4， )D (， )解析： 选 C平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c a b，由平面向量基本定理可知 ，向量 a，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量 a，b 是不共线向量又因为a (m，3m4) ，b (1，2)，则 m 2 (3m4) 1 0，即 m 4，所以 m 的取值范围为(， 4) (4， ) 6设向量a (x， 1)，

24、b (4， x)，若 a， b 方向相反，则实数x 的值为 _解析： 由题意得x2 1 4 0，解得 x 2.当 x2 时， a (2， 1)， b (4， 2)，此时 a，b 方向相同 ，不符合题意 ，舍去；当 x 2 时，a ( 2，1)，b(4 ，2)，此时 a， b 方向相反 ，符合题意答案： 27已知点 A(2，3)，B(4， 5)， C(7，10)，若 AP AB AC( R )，且点 P 在直线 x 2y 0 上，则 的值为 _解析： 设 P(x， y)，则由 AP AB AC，得 (x 2， y 3) (2，2) (5， 7) (2 5， 27)，所以 x5 4，y 75.又点

25、 P 在直线 x 2y 0 上，故 54 2(7 5) 0，解得2 3.2答案： 8在梯形ABCD 中，已知 AB CD，AB 2CD ， M、N 分别为 CD 、BC 的中点若 ABAM AN ，则 _1 解析： 由 AB AM AN，得AB 2(AD1 AC) ( AC AB )，则 221 AB 2AD 11 3 1AD2 2AC 0，得2AB 2AD 2 22AB 0，得44 1AB 2AD 0.又 AB与 AD不共线 ，13 1 0，8445，所以解得42 0，54所以 5.答案：459已知 A(2， 4)，B(3， 1)，C( 3， 4)设 AB a，BC b， CA c，且 CM

26、 3c，CN 2b.(1)求 3a b3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m， n；(3)求 M、 N 的坐标及向量 MN 的坐标解： 由已知得a (5， 5)， b (6， 3)， c(1， 8)(1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1， 8) (15 63， 15 3 24) (6， 42)(2)因为 mb nc ( 6m n， 3m 8n)， 6m n 5，m 1，所以解得3m8n 5，n 1.(3)设 O 为坐标原点 ，因为 CM OM OC 3c，所以 OM 3cOC (3， 24) ( 3， 4) (0， 20)所以 M(0， 20)又因为CNON OC 2

27、b，所以 ON 2bOC (12， 6) ( 3， 4) (9， 2)，所以 N(9， 2)所以 MN (9， 18)10如图， AB 是圆 O 的直径， C， D 是圆 O 上的点， CBA 60， ABD 45， CDxOA yBC，求 x y 的值解： 不妨设 O 的半径为 1，则 A( 1， 0)，B(1， 0)， D(0， 1)， C 1， 3221， 131， 3所以 CD ，BC 2222 .又 CD xOAyBC，所以1， 1 3 x( 1， 0) y1， 32222 . 1 x1y3 3x3所以22，解之得，333 231 22 yy3333 233所以 xy333 .1若

28、， 是一组基底，向量 x y(x， y R)，则称 (x， y)为向量 在基底， 下的坐标，现已知向量a 在基底 p (1， 1)， q (2， 1)下的坐标为 ( 2， 2)，则 a 在另一组基底 m ( 1， 1)，n (1， 2)下的坐标为 ()A(2， 0)B (0， 2)C( 2， 0)D (0， 2)解析： 选 D. 因为 a 在基底 p， q 下的坐标为 ( 2， 2)，即 a 2p 2q (2， 4)，令 axm yn ( x y，x 2y)， x y 2，x 0，所以即x2y 4，y 2.所以 a 在基底 m， n 下的坐标为 (0， 2)2.如图， A，B，C 是圆 O 上

29、的三点， CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D，若 OC mOA nOB，则 m n 的取值范围是 ()A(0， 1)B (1， )C( ， 1)D ( 1，0)解析： 选 D.由点 D 是圆 O 外一点 ，可设 BD BA (1) ，则 OD OBBA OA (11 )OB.又 C，O，D 三点共线 ，令OD OC( 1)，则 OC OAOB( 1， 1)，所以 m，n1 1 1( 1， 0)，则 m n 13设 P 是 ABC 内一点，且 AP BP CP 0， BDBC，则 AD AP _3解析：因为 BP APAB，CP AP AC，AP BP CP 0，所以3APAB AC，即AP1 1 3AB3AC.11212因为 AD AB BD AB 3BC AB 3( AC AB ) 3AB 3AC，所以 AD AP AB 3AC.2 答案： AB 3AC4.如图， O 点在 ABC 的内部， E 是 BC 边的中点，且有 OA 2OB 3OC 0，则 AEC 的面积与 AOC 的面积的比为 _解析： 取 AC 的中点 D ，连接 OE，OD.因为 D ，E 分别是 AC，BC 边的中点 ，所以 OAOC 2OD， OBOC 2OE，因为 OA 2OB