第35课-等比数列

1、第 35 课等比数列基础知识：1. 等比数列的通项公式和前n 项和(1)等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为 a ，公比为q ( q0)，则其通项公式为ana qn 1 .11(2)等比数列的前 n 项和公式等比数列 an 的公比为 q ( q0) ，其前 n 项和为 Sn ，当 q1时，Snnan ；当 q1a1 (1 qn ) a1an q时，Sn1.1 qq2. 等比数列的性质(1)通项公式的推广：anam qn m (n，mN* ).(2)若 an为等比数列，且kl m n(k，l ， m， nN * )，则 akalam an .(3)若 an， bn(项数相同 ) 是等比数

2、列，则an (0)，1，2，an仍是等比数列 .an ， anbnbnan(4)公比不为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn ，则 Sn , S2 nSn , S3 nS2 n 仍成等比数列，其公比为qn .一、典型例题1.已知等差数列a的公差为2，若 a , a, a4成等比数列，则aa的值为（） .n1323A.6B.8C.10D.12答案： C解析： a1 ,a3 ,a4 成等比数列，a2a a，即2，解得 a18 ，a14a1 a1 631 4 a2a32a610.故选 C.12. 已知 an 为无穷等比数列，且公比q1，记 Sn 为 an 的前 n 项和，则下面结论正确的是（）

3、.A.a3a2B.a1 +a20C. an2 是递增数列D.Sn 存在最小值答案： C解析：根据题意可知， an 为无穷等比数列，且公比q1，但无法知道数列的首项是大于零还是小于零，故A 错， a1a2a1 (1q ) 因无法确定首项的符号，因此2恒大于零，故a 2n 1q2122B 错，而 an2a n 1a n 所a n以 an2 是递增数列 C 正确，同理首项符号无法确定，因此Sn 不一定存在最小值 .3.若等比数列an的前 n 项和为 S ,nN*，且 a11,S63S3 ，则 a7 的值为 _.n答案：4解析：设等比数列a的公比为 q ，nN* ，且 a1,S3S，n163q 1 时

4、，不满足 S6 3S3 ；q 1 ，可得 q61 3q31 ，化为： q31 3，即 q32 ， a7 q64 .q1q 1二、课堂练习1.等比数列an中， a2,a55,则数列lg an 的前 8 项和等于（）.4A.6B. 5C. 4D. 3答案： C解 析 ： 由 题 意 知 a1a8a2 a7a3 a6a4 a510，所以数列的前8项和等于lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8 )lg10 44 ，故选 C.2. 等比数列an中， a5 ， a7 是函数 fx24x3的两个零点，则a3a9 等于（） .xA.4B.3C.4D.3答案： D解析：a5, a7 是函数 f xx2

5、4x 3的两个零点，a5a73，由等比数列的性质知，a3a9a5a73.故选D.3.设 an是等比数列，则下列结论中正确的是（） .A. 若 a11,a54 ，则 a32B. 若 a1a30 ，则 a2a40C. 若 a2a1 ，则 a3a2D. 若 a2a10 ，则 a1a32a2答案： D解析：a2a0，a qa0 ， a0， q0, q1，则 aa3a 1q22a q2a2，故选 D.1111111三、课后作业1.在等比数列an中， a22 ， a516 ，则 a6().A.28B. 32C. 64D. 14答案： B解析： a5a2 q32q316,q2,a6a5 q32 ，故选 B.

6、2.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）盏 .A.1B. 3C. 5D. 9答案： B解析：设这个塔顶层有a 盏灯，塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2 倍，从塔的顶层依次向下每层灯数是以2 为公比， a 为首项的等比数列， 又总共有381 盏灯， 有 381a (127 )127a ，解得 a3 ，12故选 B.3.设Sn是等比数列an的前 n 项和，若 a52a0，则S20 的值为（） .10S101B.3C.

7、57A.44D.44答案： Ca1 1q 20解析： a52a100q5a101S201q110115 ，故选 C.a5，所以S10a1 1 q 10q24 41q4. 等差数列an的首项为1，公差不为0，若 a2 , a3 , a6 成等比数列，则数列an 的前 6 项的和为（） .A. 24B.3C. 3D. 8答案： A解析：设等差数列的公差为d (d0) ，因为 a2 , a3 , a6 成等比数列， 所以 a32a2 a6，即 (a12d )2(a1 d )(a1 5d) ，化简得 d22a1d ，因为 d 0 ，所以 d2；则 S66a16(61) d6a115d24 ，故选 A.

8、25. 设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，若S43S6_.S2，则S4答案： 73解析：设 S2k, S43k ，由数列an 为等比数列（易知数列an 的公比 q1），得 S2, S4S2 ,S6S4 为等比数列，又 S2k ,S4S22k ,S6S44k ,S67k,S67k7.S43k36. 已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且 n, an , Sn 成等差数列，bn2log2 1an1.（ 1）求数列an的通项公式；（ 2）若数列bn中去掉数列an的项后余下的项按原顺序组成数列cn，求 c1c2c100 的值 .答案： (1) an2n1 ；(2)11202.解 析 ： ( ) 因 为 n,an , Sn 成 等 差 数 列 ， 所 以 Snn 2an ， 所 以 Sn 1n 1 2an 1 n 2 ， - 得ananan1，所以an12an 11n2 ，又当n 1时，S11 2a1，所以a11，所以a11 2，故1 22数列an1是首项为22的等比数列，所以an1 2 2n12n ，即an2n1.，公比为（ 2）据（ 1）求解知， bn2log 2 1n1 12n1 ， b1 1 ，所以 bn1bn 2，所以数列bn 是以 1 为首2项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 ， 又 因 为 a