浙教版初中数学九年级《相似》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

1、精品文档用心整理相似全章复习与巩固-知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网

2、络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=

3、c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错

4、误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角

5、相等，对应边的比相等（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

6、相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.要点四、黄金分割资料来源于网络仅供免费交流使用大段的长度与全长之比，即pb精品文档用心整理1.定义：如图，将一条线段ab分割成大小两条线段ap、pb，若小段与大段的长度之比等于ap=（此时线段ap叫作线段pb、ab的比例中项），则papab点就是线段ab的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割2.黄金三角形：顶角为36的等腰三角形，它的底角为72，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割要点五、射影定理在rtabc中，acb=90，cdab于d，abcacdcbd（“角角”）cd2=adbd

7、；ac2=adab；bc2=bdab（射影定理）；acbc=abcd（等积）【典型例题】类型一、相似三角形【:相似专题复习：394502例1-2】1.已知：如图，abc=cdb=90，ac=a，bc=b，当bd与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】ac=a，bc=b，ab=a2-b2，当abcbdc时，bdbc=,abac资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理ba2-b2即bd=.a当abccdb时，bdbc=cbac，b2即bd=.a【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.举一反三【变式】如图，在矩形abcd中，ab=6，bc=8,沿直

8、线mn对折，使a、c重合，直线mn交ac于o.（）求证：comcba；（2）求线段om的长度.【答案】（1）证明：a与c关于直线mn对称，acmn，com=90，在矩形abcd中，b=90，com=b，又acb=acb，comcba，（2）在cba中，ab=6，bc=8，ac=10，oc=5，comcba，oc=ombcab，om=154.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理2.如图，在abc中，c90，将abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，已知mnab，mc6，nc23，则四边形mabn的面积是（）a63b123c183d243cmnadb【答案】c；【解析】由

9、mc6，nc23，c90得scmn=63，再由翻折前后cmndmn得对应高相等；由mnab得cmncab且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得scmn：s四边形mabn=1:3，故选c.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.类型二、相似三角形的综合应用3.（2015上海）已知，如图，平行四边形abcd的对角线相交于点o，点e在边bc的延长线上，且oe=ob，连接de（1）求证：debe；（2）如果oecd，求证：bdc

10、e=cdde【答案与解析】证明：（1）四边形abcd是平行四边形，bo=bd，oe=ob，oe=bd，bed=90debe；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（2）oecd，ceo+dce=cde+dce=90ceo=cde，ob=oe，dbe=cde，bed=bed，bdedce，bdce=cdde【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键4.（2016杭州）如图，在abc中，点d，e分别在边ab，ac上，aed=b，射线ag分别交线段de，bc于点f，g，且（）求证：adfacg；（2）若，求的值（【思路点拨】）

11、欲证明adfacg，由可知，只要证明adf=c即可（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明【答案与解析】（1）证明：aed=b，dae=dae，adf=c，=，adfacg（）解：adfacg，又=，=，=，=1资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型举一反三：【变式】（2015湘潭）如图，在abc中，c=90acd沿ad折叠，使得点c落在斜边ab上的点e处（1）求证：bdebac；（2）已知ac=6，bc=8，求线段ad的长度【答案与解析】证明：（1

12、）c=90acd沿ad折叠，c=aed=90，deb=c=90，b=b，bdebac；（2）由勾股定理得，ab=10由折叠的性质知，ae=ac=6，de=cd，aed=c=90be=abae=106=4，在bde中，由勾股定理得，de2+be2=bd2，即cd2+42=（8cd）2，解得：cd=3，在acd中，由勾股定理得ac2+cd2=ad2，即32+62=ad2，解得：ad=【:相似专题复习：394502例7】5.如图，已知在梯形abcd中，ad/bc，ad=2，bc=4，点m是ad的中点，mbc是等边三角形（1）求证：梯形abcd是等腰梯形（2）动点p、q分别在线段bc和mc上运动，且m

13、pq=60保持不变设pc=x，mq=y，求y与x的函数关系式资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理pc【答案与解析】（1）mbc是等边三角形mb=mc，mbc=mcb=60m是ad中点，am=md，adbc，amb=mbc=60，dmc=mcb=60，ambdmc，ab=dc，梯形abcd是等腰梯形（2）在等边mbc中，mb=mc=bc=4，mbc=mcb=60，又mpq=60，bmp+bpm=bpm+qpc=120，bmp=qpc，bmpcqp，cq=，bmbppc=x，mq=ybp=4-x，qc=4-y，x4-y=，44-x1y=x2-x+4.4【总结升华】利用相似三角形得到的比例

14、式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图所示，在abc中，a=90，ab=8，ac=6若动点d从点b出发，沿线段ba运动到点a为止，运动速度为每秒2个单位长度过点d作debc交ac于点e，设动点d运动的时间为x秒，ae的长为y(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理(2)当x为何值时，bde的面积s有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为de，所以adeabc，所以.又因为ab=8，ac=6，所以，即，自变量x的取值范围为.(2)所以当.时，s有最大值，且最大值为6.类型三、黄金分割6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片abcd，先折出bc的中点e，再折出线段ae，然后通过折叠使eb落到线段ea上，折出点b的新位置b，因而eb=eb类似地，在ab上折出点b使ab=ab这是b就是ab的黄金分割点请你证明这个结论【答案与解析】设正方形abcd的边长为2，e为bc的中点，be=1ae=ab2+be2=5，又be=be=1，ab=ae-be=5-1，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理ab=ab=5-1ab：ab=(5-1):2点b是线段ab的黄金分割点【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并