解三角形的实际应用

1、解三角形的实际应用一、基础知识测量中的有关几个术语术语名称术语意义在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线仰角与俯角在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方位角方向线之间的夹角叫做方位角方位角 的范围是 0 360正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，方向角通常表达为北 (南 )偏东 (西 )坡面与水平面的夹角叫做坡角()；坡面的垂直坡角与坡度高度 (h)与水平宽度 (l)的比 (i)叫做坡度图形表示例：(1) 北偏东 ：(2)南偏西 ：坡角 坡度 i hl相对于某一正方向的水平角(1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；(

2、2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似考点一测量高度问题典例 如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度， 小王在点A 处测得塔顶D的仰角为30，塔底 C 与 A 的连线同河岸成15角，小王向前走了1 200 m 到达 M处，测得塔底C 与 M 的连线同河岸成60角，则电视塔CD 的高度为 _m.解析 在 ACM 中， MCA 60 15 45， AMC 180 60 120 ，由正弦定理得AMAC，即 1 200AC，解得 AC 600 6(m) sin MCAsin AMC2322在 ACD 中， tan DAC CD 3，AC3 CD600 6 3 6

3、00 2(m)3答案 6002解题技法 测量高度问题的 3 个注意点(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角 )、方向 (位 )角 (它是在水平面上所成的角 )是关键(2)在实际问题中， 可能会遇到空间与平面(地面 )同时研究的问题， 这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题题组训练 1.如图，为测一树的高度，在地面上选取A， B 两点，在 A， B 两点分别测得树顶 P 处的仰角为 30，45，且 A，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度 h 为 ()A (5 5

4、 3)mB (3015 3)mC(15 30 3)mD (153 3)m解析：选 A在 PAB 中，由正弦定理，得10PB，因为 sin(45 30)sin 4530sin 30sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 6 2，所以 PB 5( 62)(m) ，所以该树的高度 h4PBsin 45 (5 53) m.2.如图， 在离地面高 400 m 的热气球上， 观测到山顶 C 处的仰角为 15，山脚 A 处的俯角为 45，已知 BAC 60，则山的高度 BC为()A 700 mB 640 mC600 mD 560 m解析：选C根据题意，可得在Rt AMD 中， MAD 45，

5、 MD 400(m)，所以 AM MD 4002(m) sin 45因为在 MAC 中， AMC 4515 60， MAC 180 4560 75，所以 MCA 180 AMC MAC 45，3由正弦定理，得AMsin AMC4002 23(m)，AC 400sin MCA22在 RtABC 中， BC ACsin BAC400 3 23 600(m)考点二测量距离问题典例 (2018 保定模拟 )如图，某游轮在A处看灯塔 B在 A的北偏东 75方向上，距离为 126海里，灯塔 C 在 A 的北偏西 30方向上，距离为 83 海里，游轮由A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B， B在南

6、偏东 60方向上，则C与D的距离为 ()A20 海里B8 3 海里C23 2 海里D24 海里解析 在 ABD 中，因为灯塔B 在 A 的北偏东 75方向上，距离为12 6 海里，游轮由 A 处向正北方向航行到D 处时，再看灯塔B，B 在南偏东 60方向上，所以 B 180 7560 45，由正弦定理ADABsin Bsin ADB，1262可得 AD ABsin B 2 24(海里 )sinADB32在 ACD 中， AD 24(海里 )， AC 83(海里 )， CAD 30，由余弦定理得CD 2 AD2 AC2 2AD ACcos 30 242 (83) 2 2 24 83 23 192

7、.所以 CD 83(海里 )答案B解题技法 测量距离问题的2 个策略(1) 选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理题组训练 1一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A 15 2 kmB 30 2 kmC45 2 kmD 60 2 km解析： 选 B作出示意图如图所示，依题意有AB 15 4 60(km) ，D

8、AC 60， CBM 15， MAB 30， AMB 45.在 AMB60中，由正弦定理， 得 sin 45BMsin 30，解得BM 302(km) 2.如图，为了测量两座山峰上P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m 且和 P， Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点， 现测得 PAB 90，PAQ PBA PBQ 60，则 P，解析： 由已知，得QAB PAB PAQ 30. PBA PBQ 60， AQB 30， AB BQ.又 PB 为公共边，PAB PQB， PQPA.在 RtPAB 中， PA ABtan 60 900(m)，故 PQ 900(m)，

9、 P， Q 两点间的距离为 900(m)答案： 900考点三测量角度问题典例 游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路 线路1 是从 A 沿直线步行到C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点B 处，然后从 B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的11倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处经测量，AB 1 040 m ， BC9500 m，则sin BAC等于 _解析 依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为119 x m/s，因为 AB 1 040 m， BC 500 m，所以 AC 1 040 500，解得 AC 1 2

10、60 m.x 119 x在 ABC 中，由余弦定理得，22222212，cos BACAB AC BC1 0401 260 5002AB AC2 1 040 1 2601321225所以 sin BAC1 cos BAC11313.5答案 13解题技法 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上， 画出表示实际问题的图形， 并在图形中标出有关的角和距离， 再用正弦定理或余弦定理解三角形， 最后将解得的结果转化为实际问题的解题组训练 1.甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，相距 a 海里的 B处，乙船正向北行驶， 若甲船是乙船速度的3 倍，甲船为了尽快追上乙船，

11、朝北偏东 方向前进，则 ()A15B30C45D60解析：选B设两船在 C 处相遇，则由题意得 ABC 180 60 120，且 AC3，BCACsin 120由正弦定理得BCsin BAC 3，1所以 sin BAC .又因为 0 BAC60，所以 BAC30.所以甲船应沿北偏东30方向前进2.如图，甲船在海面上行驶，当甲船位于A 处时，在其正东方向相距40 海里的B 处，有一艘游艇遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距 20 海里的 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 30的方向沿直线前往B 处营救，则sin 的值为 _解析： 连接 BC(图略 )，根据余弦定理，

12、得BC2 AB2 AC2 2AB ACcos CAB 1 600400 240 20cos(90 30) 2 800.由题可知， ACB 即为角 ，又BCAB，sin CABsin 2233， sin 21BC AB2， sin21sin2 CABsin1 60042 80077 .21答案：7 课时跟踪检测1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点C，若 CAB 75， CBA60，则 A，C两点之间的距离为()A.6 kmB. 2 kmC.3 kmD 2 km解析：选A如图，在 ABC 中，由已知可得ACB 45， AC2， sin 60 sin 45 AC 2 2 23 6(km)

13、 2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为 1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过 1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)()A 8.4 kmB 6.6 kmC6.5 kmD 5.6 km解析： 选 B 因为 AB 1 000 1 50，60 3 (km)所以 BC ABsin 30 50(km) sin 453 2所以航线离山顶的高度h BCsin 75 50 sin 75 50 sin(45 30) 11.4(km) 3232所以山高为 18 11.4 6.6(km) 3.如图，在塔底D 的

14、正西方 A 处测得塔顶的仰角为45，在塔底 D 的南偏东60的 B 处测得塔顶的仰角为30，A，B 的距离是84 m，则塔高 CD为()A 24 mB 12 5 mC12 7 mD 36 m解析： 选 C设塔高 CD x m，则 AD x m， DB 3x m.又由题意得 ADB 90 60 150，在 ABD 中，由余弦定理，得 842 x2 ( 3x)2 2 3x2cos 150 ，解得 x12 7(负值舍去 )，故塔高为 127 m.4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口， 且小区里有一条平行于AO 的小路 CD.已知某人从 O沿 OD 走

15、到 D 用了 2 min ，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min. 若此人步行的速度为 50 m/min ，则该扇形的半径的长度为()A 50 5 mB 50 7 mC50 11 mD 50 19 m解析： 选 B 设该扇形的半径为r，连接 CO，如图所示由题意，得 CD150(m) ， OD 100(m)， CDO 60，在 CDO 中，由余弦定理得， CD2OD 2 2CD OD cos 60 OC2，即 15021002 2 150 1001 r2， 2解得 r 507(m) 5.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20 n mile 的

16、B 处，海轮按北偏西60的方向航行了 30min 后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向上， 则海轮的速度为 _n mile/min.解析： 由已知得 ACB 45， B 60，由正弦定理得AC AB，sin BsinACB所以 AC ABsin B20 sin 60 6(n mile) ，sin 45 10sin ACB1066所以海轮航行的速度为303 (n mile/min) 答案：636.某同学骑电动车以24km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S 在电动车的北偏东30方向上， 15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东75方向上，则点

17、B 与电视塔的距离是_km.15解析 ：如题图，由题意知AB 2460 6(km)，在 ABS 中， BAS30， ABS 18075 105， ASB 45，由正弦定理知BS AB，sin 30sin 45 BSABsin 30sin 45 3 2(km)答案：327.一艘海轮从 A 出发， 沿北偏东 75的方向航行 (2 3 2)n mile 到达海岛B，然后从 B 出发，沿北偏东 15的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.(1)求 AC 的长；(2)如果下次航行直接从解： (1)由题意，在A 出发到达ABC 中，C，求CAB的大小 ABC180 75 15 120， AB (23

18、2)n mile ， BC 4 n mile ，根据余弦定理得，AC2 AB2 BC2 2ABBCcos ABC (2 3 2)2 42 (2 3 2) 4 24，所以 AC 2 6.故 AC 的长为 2 6 n mile.3(2)由正弦定理得， sin CAB BC sin ABC422，所以 CAB 45.AC2 628.已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为AM 100 m 和 BN 200 m，一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q，在点 Q 处测