统计学第九章双因素和多因素方差分析

1、第九章 双因素和多因素方差分析,学习目标,掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、无重复观察值）资料的方差分析方法。 熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来源期望均方构成。 了解：缺失数据的估计原理及方差分析方法。,讲授内容,第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换,第一节 双因素方差分析概述,一、双因素试验汇中的几个基本概念 1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，如包装方式对果汁销售量的影响。 2、互作效应（interaction）：两个或

2、多个实验因素的相互作用而产生的效应。,3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(two-factor without replication)：两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个因素对试验数据的影响。 4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (two-factor with replication)：如果两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响。,二、双因素交叉分组试验设计的描述,（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算,（一）试验数据的

3、描述,（二）观测值的描述,对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述,（三）平方和与自由度的分解,1、平方和的分解 总平方和sst被分解为a因素所引起的平方和ssa、b因素所引起的平方和ssb、ab交互作用所引起的平方和ssab、误差平方和sse,a因素误差平方和 b因素误差平方和 ab交互作用误差平方和 随机误差项平方和,2、平方和的分解 与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dft=abn-1 a因素处理间自由度：dfa=a-1 b因素处理间自由度：dfb=b-1 交互作用自由度：dfab=(a-1)(b-1) 处理内自由度：dfe=ab(n-1) dft=dfa+dfb+dfab+d

4、fe,（四）平方和的简便计算方式,（五）各项均方的计算,第二节 不同实验类型的双因素方差分析,一、固定模型 （一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型 2、提出假设,3、检验统计量的计算,计算平方和(ss) ab交互作用误差平方和 随机误差项平方和,在f检验时，a因素、b因素和互作效应的检验统计量均以mse做分母：fa=msa/mse fb=msb/mse fab=msab/mse 用f分布的上尾检验，拒绝域为ff,4、均方期望,（二）无重复无交互作用实验的双因素方差分析 1、观测值的描述 2、提出假设,3、检验统计量的计算 在f检验时，a因素、b因素的检验统计量均以mse做分

5、母 fa=msa/mse fb=msb/mse 用f分布的上尾检验，拒绝域为ff,（三）交互作用的判断,tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的判断 p171,用不同原料与不同温度发酵的酒精产量,本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的,题解,发酵实验方差分析表,查f分布表，得：f0.95(2,27)f0.95(2,30)=3.316, f0.99(2,27)f0.99(2,30)=5.390, f0.95(4,27)f0.

6、95(4,30)=2.690, f0.99(4,27)f0.99(4,30)=4.018, fa,fb均达极显著，标上“* *”，fab只达显著，标上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。,f测验,在固定效应模型中，若各f统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。例如在上例中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了 。,各处理间进行多重比较,如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab

7、个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用duncan法。,把各处理平均数从大到小排列(记为x1x9)： 49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 15.5，求出各对差值，列成下表：,多重比较,求得： ，df=27,查duncan检验的r值表， df=27, k=29,duncan检验的r值,分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6 x9差异均达极显著。另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。

8、由于现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2，x3视为无差异,x1，x2，x3视为无差异,当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法把ssab与sse分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义的。 对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。,几点注意事项：,二、随机模型 1、观察值的线性统计模型 2、提出假设,3、检验统计量的计算 在f检验时，a因素、b因素主效应的检验统计量是以msab做分母；互作效应的检验统计量以mse做分母 fa=m

9、sa/msab fb=msb/mab fab=msab/mse 用f分布的上尾检验，拒绝域为ff 注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同,4、均方期望,三、混合模型（以a为固定因素、b为随机因素为例） 在混合模型中，a、b因素的效应为非可加性， 为固定效应， 为随机效应 对a做检验时，统计量的计算方法按照随机模型的统计量计算方法，对b及ab交互效应做检验时，统计量的计算方法按照固定模型的统计量计算方法。 p177,例2：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？,题解,解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种

10、。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析。,小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。,例3：用两种不同的饲料添加剂a和b，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。请进行统计分析，并回答下列问题。,该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？ 如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？ 若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何影响？,题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复。 （2）分析：固定模型下：,查f分布表：

11、,所以fa、fb、fc均达极显著，所以大白鼠增重与添加剂a、b及其交互作用都有显著关系。,随机模型下： 查f分布表： fa显著但未达极显著，fb不显著，fab极显著。 所以大白鼠增重与a、ab的交互作用有显著关系。 综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法进行。,第三节 多因素试验的方差分析,一、观测值的描述 假设在一个试验中，a因素有a个水平，b因素有b个水平，c因素有c个水平，每个因素有n次重复，那么观测值的线性统计模型为,a3,b1,a3,b1,(a) 无交互效应 (b) 有交互效应,图中每条曲线代表b因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行

12、，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。,交互效应,四、方差分析的规律总结 一、假设 (1) 对于固定效应a的假设： (2) 对于随机效应b的假设： 二、平方和与自由度的分解 平方和的分解根据线性统计模型计算 自由度的分解规律如下：每一组因素主效应的自由度为该因素的水平减1，每一交互作用的自由度是产生交互作用各因素的自由度的乘积，误差自由度是各因素水平与重复数减1的乘积,三、均方期望的推演方法 （一）对均方期望做规律性规定 方差分析中均方数学期望的推导是选择合适检验统计量的前提。以多因素实验为例，均方期望的规律性做如下规定：,1、下标： 中的下标写为 ，括号中的ijk为不同处理水平组合的下标，称为 “死下标”；括号外的l和其他方差分量中的下标均称为“活下标”。 2、固定模型中各因素的效应分别改模型分量的平方和除以自由度表示，如a因素的效用 表示，,3、随机模型中各因素的效应分别以希腊字母为下标的方差表示，如a因素的效应记为 ；b因素的效应记为 ，ab交互作用的效应记为 ，以上各量分别称为各因素的方差分量。 4、混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机的，则交互作用即被认为