第六章正弦交流电路分析和相量模型

1、1,6.1 正弦交流电的基本概念6.2 正弦交流电的相量表示法6.3 两类约束的相量形式6.4 阻抗和导纳相量模型6.5 正弦稳态电路分析6.6 实际应用6.7 小结,第6章 正弦交流电路分析和相量模型,2,6.1.1 正弦量的三要素,大小和方向随时间按正弦规律作周期性变化的电流(电压)称为正弦交流电，统称为正弦量，,6.1 正弦交流电的基本概念,当激励是正弦电压（电流）时，响应是由暂态和稳态分量组成，随着时间的增长，暂态分量为零，电路就进入正弦稳态状态，简称正弦稳态。,定义,本课分析正弦稳态电路时，一律采用 函数代表正弦量。,3,6.1.1 正弦量的三要素,电力系统中的交流电是由交流发电机产

2、生的，在实验室中也可由正弦信号发生器提供。,6.1 正弦交流电的基本概念,上式称为正弦量的瞬时值表达式，式中有三个常量： 称为最大值， 称为角频率， 称为初相位。,以正弦电压为例，其数学表达式为：,在电路中，首先必须规定一个参考方向,4,1. 正弦交流电的瞬时值、最大值,瞬时值是以解析式表示的：,最大值就是上式中的im， im反映了正弦量振荡的幅度。,2. 正弦交流电的周期、频率和角频率,角频率： 正弦量单位时间内变化的弧度数。,角频率与周期及频率的关系：,周期t： 正弦量完整变化一周所需要的时间。,频率f： 正弦量在单位时间内变化的周数。,周期与频率的关系：,5,3. 正弦交流电的相位、初相

3、,正弦量解析式中随时间变化的电角度 。,相位：,t=0时的相位 ，它确定了正弦量计时始的位置。,初相：,两个同频率正弦量之间的相位之差。,相位差：,相位,初相,u、i 的相位差为：,显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的初相之差。,6.1.2 正弦交流电的相位差(phase difference)。,6,j 0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；, j 0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,规定： | | (180)。,7,j 0， 同相：,j = (180o ) ，反相：,特殊相位关系：,= p/2： u 领先 i

4、p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,8,例6.1,判断图6.2正弦量的相位关系,图(a) 因为相位差为0， 和 同相；,解：,图(b) ? 超前 ?,图(c)因为 ， 和 反相；,图(d) ?,9,例6.2,设有两频率相同的正弦电流 问哪个电流滞后，滞后的角度是多少?,首先把 改写成用正弦函数表示，即,解：,则相位差为,注,只有同频率、同函数的正弦交流电才能进行相位差比较。,10,6.1.3. 周期性电流、电压的有效值,有效值指与交流电热效应相同的直流电数值。,交流电i 通过电阻r时，在t 时

5、间内产生的热量为q,直流电i 通过相同电阻r时，在t 时间内产生的热量也为q,即：热效应相同的直流电流 i 称之为交流电流 i 的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。,理论和实际都可以证明：,11,若一交流电压有效值为u=220v，则其最大值为um311v；,u=380v， um537v。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,12,6.2

6、正弦交流电的相量表示法,我们可以借用复数来表示正弦信号，使正弦稳态电路的分析和计算得到简化。,角频率、有效值(或最大值)、初相位是正弦交流的三要素，能唯一地确定一个正弦量，而电源的角频率往往是已知的。 因此求解正弦稳态电路的各支路电压、电流时，主要是求各支路电压、电流的有效值和初相位。 由数学知，一个复数具有模和幅角，恰好与正弦量的有效值、初相角两要素相对应。,13,6.2.1复数及复数运算*,学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解复数进行加减乘除运算的规则。,1 复数及其表示方法,复数a在复平面上是一个点，,原点指向复数的箭头称为它的模,模

7、r与正向实轴之间的夹角称为复,数a的幅角；,a在实轴上的投影是它的实部；,a在虚轴上的投影,称为其虚部。,复数a的（1）代数表达式为：a=a+jb,由图又可得出复数a的模值r和幅角 分别为：,r,14,a=rcos +jrsin,由图还可得出复数a与模,复数还可以表示为（指数形式和极坐标形式：,又可得到复数a的三角函数式为：,r及幅角 之间的关系为,复数的几种表示方法可以相互转换。,解,已知复数a的模a=5，幅角 =53.1，试写出 复数a的极坐标形式和代数形式表达式。,代数表达形式为：a=3+j4,例,15,2 复数运算法则,显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式

8、比较方便。,设有两个复数分别为：,a、b加、减、乘、除时的运算公式,图解法,16,在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：,注意：,代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。,17,6.2.2 正弦量的相量表示,假设某正弦电流为,利用欧拉公式,复指数函数的虚部正好是正弦电流,复数 其模为正弦电流的振幅（最大值） 幅角为该正弦电压的初相。 复值常数称为电流振幅相量。,18,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,相量

9、为有效值相量,包含了三要素：i、 、w ，相量包含了i , 。,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,19,在复平面上用向量表示相量的图,相量(phasor)是复数，为了与一般复数区别，利用它代表一个正弦量时，在相量的字母上端需加一点。,相量图,20,例6.3,已知同频率的正弦电压和正弦电流分别为,试写出的相量，画出相量图，并说明它们的相位关系。,解：,以正弦函数为标准的，因此， 以 函数表示的正弦电压 应化为以正弦函数表示，然后 再写相量。,注意,21,1. 线性性质,线性性质的表示为n个同频率正弦量线性组合的相量 等于各个正弦量相量的线性组合。,正弦量,的相量,22,例

10、6.4,已知,解：,求,根据相量的线性性质，运用相量求解，然后反变换。,第一步 将正弦量变换为相量，得,第二步 求之和的相量为,第三步 求反变换,返回,下一页,上一页,23,2. 微分性质,若已知正弦交流量 则有：,例6.5,2f电容上的电压为 求电容上的电流相量。,解：,电容上的电流相量超前电压相量，它们的频率相同。,24,3. 积分性质,若已知正弦交流量 则有：,在分析正弦稳态电路时，常常遇到正弦量之间的加、减、微积分运算，通常利用正弦量变换相量的运算性质，可以简化计算，利用相量法求得解答后再反变换为正弦量。,返回,下一页,上一页,25,6.3 两类约束的相量形式,本节重点掌握kcl、kv

11、l方程的相量形式及元件的伏安关系（vcr）的相量形式。,可以把直流电阻的分析方法推广应用于分析正弦稳态电路中。,在正弦电路中基本的无源元件是电阻、电感和电容，如果建立起元件的伏安关系及kcl、kvl方程的相量形式。,返回,下一页,上一页,26,1. 基尔霍夫电流定律（kcl）的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，kcl和kvl可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足kcl；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足kvl。,6.3.1 基尔霍夫定律的相量形式,2. 基尔霍夫电压定律（kvl）的相量形式,2

12、7,1. 基尔霍夫电流定律（kcl）的相量形式,流出任一节点的全部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。,沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零,6.3.1 基尔霍夫定律的相量形式,2. 基尔霍夫电压定律（kvl）的相量形式,注意,注意,下一页,上一页,下一页,上一页,28,例6.6,解：,如图所示，已知,求：表 的读数。,方法一：,采用相量和kvl计算,由kvl得,表的读数为10v。,方法二：,相量图法,利用平行四边形法则：,返回,下一页,上一页,29,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,ur=ri,6.3.2 电阻元件vcr的

13、相量形式,1. 电阻的电压与电流的关系,已知,下一页,上一页,30,2 波形图及相量图：,同相位,1. 电阻的电压与电流的关系,返回,下一页,上一页,下一节,上一节,31,时域形式：,相量形式：,2相量模型,相量关系：,6.3.2 电感元件vcr的相量形式,-,1. 电感的电压与电流的关系,返回,下一页,上一页,32,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:,xl= l=2fl，称为感抗，单位为 (欧姆) bl=1/ l =1/2fl， 感纳，单位为 s,感抗和感纳:,33,2.波形图及相量图：,电压超前电流900,电感电压与电流波形为同频率，电

14、感的电压相位要比电流的相位超前。,返回,下一页,上一页,下一节,上一节,34,例6.7,解：,正弦稳态电路中， 电感两端的电压为300v，初相角为 ，频率为50hz，试求通过电感的电流。,第一步：写出已知电感电压的相量,第二步：利用式(6.18)计算,第三步：写出对应的电流正弦量,可以利用时域关系计算，但将涉及积分运算，利用电感元件伏安关系的相量形式计算将很简单。,返回,下一页,上一页,下一节,上一节,35,时域形式：,相量形式：,2。相量模型,相量关系：,6.3.4 电容元件vcr的相量形式,1. 电容的电压与电流的关系,36,xc=1/w c， 称为容抗，单位为 (欧姆) b c = w

15、c， 称为容纳，单位为 s,频率和容抗成反比, 0， |xc| 直流开路(隔直) w ，|xc|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,返回,下一页,上一页,下一节,上一节,37,电压与电流波形同频率，电容的电流相位超前电压 。,2.波形图及相量图：,电流超前电压900,返回,下一页,上一页,38,例6.8,解：,电路如图6.12(a)所示已知,相量模型如图6.12(b)所示。,求： ， ， 及其有效值相量。,根据rlc元件相量形式的vcr方程求电流：,39,例1,试判断下列表达式的正、误：,l,返回,下一页,上一页,下一节,上一节,40,通过分析电阻、电感及电容元件的伏安关系相

16、量形式，可以得知电压相量与电流相量的比值是一个复常数（电阻是实数，电感为感抗、电容为容抗）,6.4 阻抗和导纳相量模型,相量模型是一种运用相量分析方法方便地对正弦稳态电路进行分析、计算的假想模型，建立相量模型是分析正弦稳态电路的重要步骤。,对于含有多个元件但不含独立电源的单口网络，可以求得端口的电压相量与电流相量的比值，从而得到阻抗的概念，相应引出导纳的定义，阻抗和导纳可以进行等效变换。,返回,下一页,上一页,41,正弦稳态情况下,单位：,阻抗模,阻抗角,欧姆定律的相量形式,6.4.1 阻抗,1. 阻抗的定义,定义阻抗impedance)为端口处电压相量与电流相量的比值，,下一页,上一页,42

17、,1.阻抗的定义,阻抗是复数，它的表示形式可以是极坐标形式，还有代数形式和指数形式，可以相互转换：,是阻抗的虚部，称为电抗分量，,是阻抗的实部，称为电阻分量，,阻抗由指数形式向代数形式转换时,已知阻抗的代数形式求指数形式,43,当无源网络内为单个元件时有：,z可以是实数，也可以是虚数,返回,下一页,上一页,44,2. rlc串联电路,相量模型(phasor model),保持原来电路的结构不变，电路的元件用阻抗表示，也就是 该模型中电压、电流都使用相量，,其参考方向不变。,这样的模型是一种假想的模型，是分析正弦稳态电路的工具，称为相量模型。,返回,下一页,上一页,45,2. rlc串联电路,由

18、kvl：,返回,下一页,上一页,下一 节,上一节,46,z 复阻抗；r电阻(阻抗的实部)；x电抗(阻抗的虚部)； |z|复阻抗的模；z 阻抗角。,转换关系：,或,阻抗三角形,返回,下一页,上一页,下一 节,上一节,47,分析 r、l、c 串联电路得出：,（1）z=r+j(wl-1/wc)=|z|jz为复数，故称复阻抗,（2）wl 1/wc ，x0， j z0，电路为感性，电压领先电流；,相量图：选电流为参考向量，,三角形ur 、ux 、u 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。,电压三角形,返回,下一页,上一页,48,(2)wl1/wc， x0， jz 0，电路为容性，电压落后电流；,wl=1/

19、wc ，x=0， j z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。,49,已知：r=15, l=0.3mh, c=0.2f,求 i, ur , ul , uc .,解,其相量模型为：,例6.9,50,则,ul=8.42u=5，分电压大于总电压。,相量图,注,例6.9,51,3. 阻抗串联的电路,当个阻抗串联时，其等效阻抗为各个串联阻抗之和。,52,1. 导纳的定义,正弦稳态情况下,单位：s,导纳模,导纳角,定义导纳admittance)为端口电流相量与电压相量的比值。,导纳也是阻抗的倒数。,53,已知导纳代数形式求指数形式,g是导纳的实部，称为电导,b是导纳的虚部，称为电纳,已知导纳指数形式求代数形

20、式,？,54,2.rlc并联电路,u超前i，y呈感性。,i超前u，y呈容性。,u i同相，y呈阻性。,下一页,55,电路呈容性,， 及 构成一个直角三角形 称为电流三角形,2.rlc并联电路,电流三角形,做rlc并联电路相量图时，常选择电压相量作为参考相量，画在实轴上，其他相量以它为基准。,当电路呈感性呢？,56,3. 阻抗并联的电路,各个导纳的电流为,n个并联的导纳可用一个等效导纳来替代,57,阻抗与导纳互为倒数,阻抗角与导纳角差一负号,模互为倒数,6.4.3 阻抗与导纳的等效,1. 已知阻抗z，求导纳y,2. 已知导纳y，求阻抗z,58,6.4.3 阻抗与导纳的等效,一般情况并非 是r的倒

21、数， ，应根据 来推导,注意,r、g、x、b等均为 的函数，只有在某一指定频率时才能确定r、g的数值和x、b的数值及其正负号。等效相量模型只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。,注意,59,例6.11,解：,已知,求： ， ，,所以,60,例6.12,电路如图6.26(a)所示，已知 ，试求含受控源电路的输入阻抗。,做出相量模型如图6.26(b)所示。,解：,利用kvl的相量形式,根据输入阻抗的值，含受控源的等效电路可以视为一个负电阻和电感的串联，其阻抗角大于900。,61,分析以上的所有例题，可以得到结论：,(1) 单口无源网络的串联等效电路和并联等效电路，并不是简单地将两个元件由串联变为并

22、联，参数之间也不是简单的倒数关系，它们之间的关系见式(6.45)和式(6.46)；,(2) 阻抗和导纳是随频率改变而改变的，等效电路是对某一特定频率而言的。当频率改变时，阻抗和导纳改变，等效电路也随之不同；,(3) 如单口网络中仅由 元件组合的电路，一定会有 ，或 ；当单口网络中含有受控源时，可能会有阻抗的实部 ，或 的情况。,62,电阻电路与正弦电流电路的分析比较：,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。,6.5 正弦稳态电路的分析,63,例6.13,电路如图6.27（a）所示，已知,试用网孔法求电流 。,解

23、：,先做出（a）电路的相量模型，如图（b）所示,6.5.1 网孔法的应用,列网孔方程，与直流电阻方程类似，不同的是网孔电流相量分别为 , 用自阻抗和互阻抗来列方程，,64,例6.13,解：,6.5.1 网孔法的应用,65,例6.14,电路如图6.27（a）所示，试用节点法求电流 。,解：,利用电路相量模型图6.27(b)，将电压源和阻抗串联等效变换为电流源和阻抗并联后，流入流出节点的电流为三个，等效电路图如6.28所示。,6.5.2 节点法的应用,图6.28 例6.14图,（2）节点方程为：,66,方法一：电源变换,解,6.5.3 电源变换及戴维南定理的应用,例6.14,67,方法二：戴维南等

24、效变换,求开路电压：,求等效阻抗：,例6.14,6.5.3 电源变换及戴维南定理的应用,解,68,电路如图6.30(a)所示，利用戴维南定理求,求开路电压：,例6.16,6.5.3 电源变换及戴维南定理的应用,解,将ab端断开，电路如图6.30(b)，因为,所以电容上无电压。,69,求等效阻抗：,例6.16,6.5.3 电源变换及戴维南定理的应用,解,因为网络有受控源，不能利用阻抗的串、并联公式求。利用外加电压源法，将内部的独立源置零后得到等效电路 .,70,例6.17,6.5.4 相量图法的应用,解,图6.31(a)所示电路中， ，求输出电压 对输入电压 的相位关系。,方法一、用相量图法求解

25、电路的步骤为:,(1) 首先选取参考相量，画在正实轴上。本题是串联电路，宜取电流为参考相量，在图6.31(c)中，表示第一笔画。,(2) 利用元件电压与电流的相位关系绘出各元件的电压相量，电阻元件的电压应与电流同相；电容元件的电压 滞后于 的角度为90，得图中的和。,(3) 根据kvl可知 。因此， 应为 与 的相量和，得图中的。,71,例6.17,6.5.4 相量图法的应用,解,方法一、用相量图法,绘出相量图后，显然 可见总是超前于 的，其相位差角可在相量图上利用几何、三角关系求得。由相量图中 、 和 构成的直角三角形可得到,方法二：相量解析法(代数法)。,72,例6.18,解,在如图6.3

26、2(a)所示正弦稳态电路中，电流表a、a1、a2的指示均为有效值，若a为10a，a1为8a，求电流表a2的读数。,方法一、用相量图法求解,(1) 首先选取参考相量，画在正实轴上。本题是并联电路，宜取电压为参考相量，在图6.32(c)中设 表示第一笔画。,(2) 利用元件电压与电流的相位关系绘出各元件的电压相量，电阻元件的电压应与电流同相；电感元件的电流 滞后于 的角度为90， 。得图中的和。,得未知电流 的有效值为,电流表a2的读数为6a,73,例6.19,6.5.5 叠加定理的应用,解,试用叠加定理求图6.33(a)电路中,应用叠加定理计算多个正弦电源作用下线性时不变电路的稳态响应时，需要注

27、意到两种不同的情况：其一，正弦电源的频率相同其二，正弦电源的频率不相同。,，,(1) 单独作用时的相量模型如图6.33(b)所示，电压源短路,74,例6.19,6.5.5 叠加定理的应用,解,，,(2) 单独作用时的相量模型如图6.33(c)所示，电流源开路,两个正弦激励为同频率，可以不用叠加方法。做出的相量模型也可用其他方法求得答案。,75,例6.19,6.5.5 叠加定理的应用,解,如图6.34(a)所示电路中，已知,其二，正弦电源的频率不相同。不同频率的电源作用于电路，因为做不出适合所有频率的相量模型，须用叠加定理求响应，即分别做出各个频率电源作用时对应的相量模型，求出对应的相量，并写出

28、瞬时值，将瞬时值叠加。,，,试用叠加定理求u,（1）计算 单独作用时产生的电压 。用开路代替电流源,76,例6.19,6.5.5 叠加定理的应用,解,其二，正弦电源的频率不相同。,（2）计算 单独作用时产生的电压 。用短路代替电压源,(3) 求u,将每个正弦电源单独作用时产生的电压相加,动态元件的阻抗和导纳是频率的函数，正弦电源的频率不相同因此计算时使用的相量模型是不同的。响应分量“叠加”必须在时间域中进行。,77,6.5.5 叠加定理的应用,，,在工程实践中，电路信号除了正弦信号之外，非正弦的周期信号也广泛地出现，例如在自动控制、计算机等技术领域中大量应用的是脉冲电路，电压、电流都是非正弦信

29、号。,非正弦周期信号电路的分析依据是线性电路的叠加定理,(1) 信号分解：将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数,锯齿傅里叶级数为,(2) 计算各次谐波响应：分别计算各次谐波分量作用于电路时产生的响应，计算方法与直流电路及正弦交流稳态电路完全相同。但要注意：各次谐波分量作用于电路时需分别做不同频率的相量模型，即电感和电容对不同频率的谐波有不同的电抗，对于直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路。,(3) 叠加响应：应用叠加定理，将电路在各次谐波作用下的相量响应写出对应的瞬时值解析式，再进行叠加，求出非正弦电流(电压)的解析式。,78,6.5.5 叠加定理的应用,非正弦的周期信号,不同频率的正弦

30、量不能进行相量相加，也不能画在同一相量图上，必须用瞬时值叠加。,注意,(4) 非正弦周期信号的有效值计算。,非正弦周期信号的有效值在定义上与正弦交流电相同。如用i表示该非正弦周期信号的有效值电流,返回,下一页,上一页,下一 节,上一节,79,例6.21,6.5.5 叠加定理的应用,解,如图6.36(a)所示电路中，激励为非正弦周期信号，即激励为,，,非正弦的周期信号,求电流 及其有效值,用叠加定理，分别计算出输入电压各谐波分量单独作用时的电流分量。然后，在时域进行叠加，求出输入电流, 当直流分量电压单独作用时，此时电感为短路，电容为开路，电路的导纳为, 基波电压分量单独作用时，电路导纳为,80

31、,例6.21,6.5.5 叠加定理的应用,解,，,非正弦的周期信号, 三次谐波电压单独作用时，电路的导纳为, 同理五次谐波电压单独作用时，电路的电流为, 利用叠加定理，求出端口输入电流为,计算电流 的有效值,81,交流电桥电路如图所示，电桥平衡条件与电阻电桥电路相似，所以当,6.6 实际应用,在电子仪器与测量中，常常利用交流电桥电路测量电感或电容。,可以利用上式测量电感或电容,已知c，,的大小，,并可知其阻值，未知电感为,调电阻,的大小，使电流表的,为可调电阻，,读数为零。,82,已知：u=220v , u1=110v , u2=176v , r1=55w , f=50hz 求： 线圈的电阻r2和电感l2 。,方法一：利用相量代数法