微分中值定理教案

1、第二章一元函数微分学 2.6微分中值定理 【课程名称】高等数学 【授课题目】微分中值定理 【授课时间】20XX年11月18日 【授课对象】20XX级电子信息专业 【教学内容】 本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理一一 拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle ）定理可以看成是拉格朗日中值 定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。 微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的 导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。 微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立 在这个基础之上，后

2、面将要讨论的洛必达（L hospital ）法则、泰勒（Taylor） 公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。 【教学目标】 1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不 等式以及方程根的存在性等； 2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归 纳与总结，形成系统的知识层次与结构； 3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用 的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。 【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。 【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。 【教学方法及手段】以启发式讲授为主

3、，采用多媒体辅助演示 262拉格朗日中值定理 一、内容回顾 定理1 (Rolle )若函数f (x)满足条件 (1) 在闭区间a,b上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f(a)二 f(b)。 C o ab X 则至少存在一点 ；(a,b)，使得f ( ) = 0。几何意 义：在定理的条件下，区间(a,b)内至少存在一点， 使得曲线在点()处具有水平切线。 二、拉格朗日中值定理 定理2(Lagrange)设函数f (x)满足条件: (1) 在闭区间a,b上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点， 使得 f (、 f(b)- f(a) f ( P

4、 b - a 或写成 f(b) - f(a)二f ()(b-a)。上述公式称为 拉格朗日中值公式，且对于 b a也成立 几何意义：如果连续曲线y二f (x)上除端点外处处具有 不垂直于x轴的切线，则在曲线弧 AB上至少存在一点 (,f ()，在该点处曲线的切线平行于弦 AB。 (幻灯片1) 板书标题 (幻灯片2) 首先回顾前面所 学习的内容，然 后通过提问引入 新课的内容：微 分中值定理的核 心内容-拉格 朗日(Lagrange ) 中值定理。 由拉格朗日定理 (幻灯片3) 【本节重点】 板书定理内容 解释定理的条 件及结论，指出 定理条件的一 般性。 (幻灯片4为 Lagra nge 生平简

5、 介。) (幻灯片5) 借助于多媒体， 图文并茂地解释 定理几何意义。 的几何意义可以 看出，当函数满 足 f(a)二 f(b) 时，此时弦AB 的斜率等于零。 即 f ( 0。这便 是罗尔定理的结 论。所以罗尔定 理可以看成是拉 格朗日中值定理 的特殊情形。 即 Lagrange 中值 定理 心叫Ro lie定理 证明分析：若记 f(b)- f(a) k b - a ，要证(1)式， 即证 数满足罗尔定理例1证明 f()= k = f ( ) - k = 0 = f (x)-kxj =0= f(x)-kx|xj =0 也就是是否存在 ；(a,b)，使函数 (x)二 f (x) - kx 在x

6、处的导数为零？即)= 0。 证明：作辅助函数(x)二f(x)-kx , x a,b。 容易验证(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b) 内可导，且 (a)二 f (a) _ ka = f (a) _a b - a bf (a) - af (b) b a 二(b) 从而(x)满足罗尔定理的条件，即至少存在一点 (a,b)，使)=0。即 ()=f(b)- f(a) b a 证毕 【本节难点】 板书分析证明的 思路 引导学生采用 逆向思维的方式 ，从结论入手分 析得出需证明的 结论的条件。 (幻灯片6) (幻灯片7) 此定理的证明关 引导学生通过观 察图形的区别引 导学生思考拉格 朗日中值定理

7、与 罗尔定理的关系 条件，然后利用 罗尔定理的结论 证明。 此处提出问题让学生思考是否还有别的方法构造辅助函数满足条件，然 后给出提示。 由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论： 推论 设函数f(X)在开区间(a, b)内可导,且 f (x) =0，则在(a,b)内f (x)为常数。即 f (x) = 0，x (a,b)二 f (x) = C,x (a,b)，其中 C 为常数。 ji arcsin x arccosx , x - 2 证：设 f (x)二 arcsin x arccosx ，则在(-1,1)上 1 1 f (x) = Ji - x J1 -xr0 ，由推论1可知 f (x)二

8、arcsin x arccosx 二 C (常数)。令 x = 0，得 it C = ?。又 31 f(-),故 证：任取,X2 (a,b)，不妨设 为 X2，在X1,X2】上 所证等式在定义 应用定理2,得f(X?) - f (xj = f)(x - X2)，其中 域T,1上成 匕 (X1，X2)u (a,b)。因为厂(x)三 0,x (a,b)，所以 立。 f V)三0 ,从而f (xj = f (X2)。由X1，x (a,b)的任 练习1 ：证明 意性可知，f (x)为常数 arctan x arccot x = 2 三、定理的应用 （幻灯片10） 板书例题的详细证 明过程。 此处应提醒

9、学生 注意证明过程的 严谨性和完整 性。 （幻灯片11） 此处可以请一名学 生回答，然后教师做 点拨。 , 1 f (x)2 1 jo ，由推论可知 f （x）二 arctan x arccot x，贝卩在（-：，二）上， （幻灯片8-9 ） 此处引导学生思考证明的思路与方法，然后由学生回答，最后教师总结 完整证明过程。 f (x)二 arctanx arccot x 三 C , 令 x = o,得 C = 。 故所证等式在定义域(-：，=)上成立。 x 例2证明不等式ln(x)“ x (x 0)。 1 + x 证：设f(t)二ln(1 t)，则f(t)在0, x上满足拉格朗 日中值定理条件，

10、因此有 f(x) - f(0) = f ( )(x 0),0 x Xx x 即ln(1x)二厂，又因为C厂r, 所以 ln(1 x) x (x 0)。 1 x 练习2:证明不等式 b-a , bb- a ln(0 a b)。 a a a 证：设 f (x) = In x，x a,b，则 f (x)在a,b上满 足拉格朗日中值定理的条件，因此有 f (b) - f(a)二 f ( )(b-a), a b (幻灯片12) 板书证明的分析过 程。 指出本题的关键是 找出研究的对象一 函数，注意观察不 等式的特点，找出合 适的函数，合理运用 定理证明不等式。 ,b b-ab-a b-a b-a 即ln

11、訂，因为w ” = b-a , b b-,、 所以ln(0 a b). a a a (幻灯片13 ) 此处请一名学生上讲台做练习，然后巡视其他学生的答题情况，最后教 师做总结。 (1)= f (1) 0 。由零点定理知 (x)在(0,1)内 至少存在一个零 点，即方程 f (x) x_ 1 = 0 在(0,1)内至少 有一个实根。 唯一性(反证法) 假设方程 f ( x) - x 1 在(0,1)内有两 个实根X!，X2，不 f (xj 证：存在性 f (x2) = 1 - x2。 设(x)二 f (x) X-1,X 0,1 对函数f (x)在 例3设f (X)在0,1内可导，且0 ”： f (x) ” 1，又对于 (0,1)内的所有点x有f (x)= -1，证明方程 f(x) X-1二0在(0,1)内有唯一实根。 片，X2 上应用 则(x)在0,1内可导,连续。又0 f(x) : 1，所以 拉格朗日中值定理，知存在：（X1,X2），使得 f (戶 f ( X )- f (必)(1 2X -)-( 1x X2X1 X2 - X1 设（X）八1矛盾，唯一性得证。 课堂小结: 、拉格朗日中值定理（注意与罗尔