椭圆与双曲线对偶性质选

1、学习好资料欢迎下载y、/|) G a ,、z|) r2 a ,PF1F2在边PF2 (或PF1)上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切于F1P 于 N ,椭圆、双曲线的对偶性质1 . (1)椭圆中，PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.证明：延长 F2H至M，交PFi于M / PT平分/ MPF2 ,又 F2H 丄 PT ,二 |PM | | PF2 |又 |PFi| IPF2I 2a , |PM | | PF | 2a |FiM | 2|OH | H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点(2)双曲线中，PT平分 PF1F

2、2在点P处的内角，则焦点在直线 圆，除去实轴的两个端点 .证明：延长 F1H至U M，交PF2于M，贝U PM PR，又 | PR | | PF2 | 2a， | F2M | 2a又H、0为MF1、F1F2中点，LL1 OHF2M |0H | a_ 2 2 H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点2. (1)椭圆中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.证明：设 PQ中点S,作PM丄l于M , SA丄l于A，QN丄l于N11|SA| (|PM| |QN|)(|PF2| |QF2|)22e1 1 2(|PF2| |QF2|) -|PQ| r以PQ为直径的圆必与对应准线相离 .(2)双曲

3、线中，以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交 证明：PB为焦点弦，S为PQ中点，作PC l于CSM l 于 M , QD l 于 D111则 |SM| -(|PC| |QD|)(|PF| |FQ|)- |PQ|22e21 |PQ | |SA|2以PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 注：抛物线中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相切.3. (1)椭圆中，椭圆焦三角形中 ，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切 证明：如图，设以焦半径MF 2为直径的圆的半径为 r1，圆心为01,由椭圆定义知 |MR| |MF2 | | AB| |MF1 | |AB| | MF2 |11- |OO1

4、| MF1 | (| AB | | MF2 |) a 口 /. 0、O O1 相内切22(2)双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径 MF2为直径的圆的半径为 r1，圆心为O1；以MF1为直径的圆的半径为 r2，圆心为O2,由双曲线定义知|MF1|MF2| |AB|11 |0。1 |F1M | -(| MF2 | | AB22二圆O1与圆O外切又 | MR | | AB | | MF2 |. 1 1- |。2 | -|F2M | 列 MF | | AB圆。2与圆O内切4. (1)设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则 A2 (或 A1).AU

5、0证明：设旁切圆切 x轴于A，切PF2于M,则 |PN|PM| |MF2|MA| IFNIIFAI |PFi| |PM | IF1F2 | IMF2I|PFi| IPF2I |F2A|FiF2| |F2A|2a 2c 2| F2A| F2A| a c | F2A2 | A与 A2 重合.(2)设Ai、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2的内切圆，必与 A1A2所在的直线切于 A2 (或Ai)证明：设 AA切X轴于点A，与PF切于M, PF2切于NjPFj |PF2 | 2a |PM | | MFi | | PN | | NF2 | 2a/ |PM|=|PN|,|MF i|,|NF2|=| A

6、F2 |- |FiA| |AF2| 2a J又 | RA| AF2 | 2cR/A,- | AF2 | c a | AaF2 |， A与A,重合.注：可知，圆心在直线x a或直线x a上.2 25. (1)椭圆 冷 爲 1 (abo)的两个顶点为 A( a,0) , A(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于Pi、P2时，AiPia b2 2与A2P2交点的轨迹方程是 冷 与1. a2 b2证明：设交点 S(x),yo)， P(m,n)， F2(m, n)KraKAiSKr?A2K FS，nyomaXoannyoyonyomamaXoa XdamaXoa222222r mn n mnb又p正11

7、222abbaama2.2222yo 2b2 22y-1.2即轨迹方程为冷Xoa aaba2:2(2)双曲线牛A71(a o,b o)的两个顶点为a b22时AiPi与A2F2交点的轨迹方程是X2王1ab2证明：设交点S(xo, yo), P(m,n),P2(m,n) KraKaisK F2A2K FS，nyomaXoannyoyonyomamaXoa Xdam axoa2 2nb222 5a m a22A ( a,0) , A (a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于Pi、P22 2又 m-21n_m2一 1a2b21b2a22,222 yobXoyo 2 222,2Xoaaab*6 . (

8、1)若 10 (xd , yo)在椭圆2X2y2.2ab1上，则过P)的椭圆的切线方程是XoXyoy12. 21ab证明：求导可得:2x-2a2y yb2Xob22 ,yoa切线方程：yyoXob22ya(x Xo)2yo ya2 2yoaxxo b2x；b2yoya2 xxb2xob22 2yoaa2b2yyo 1歹1(2)若 Po(Xo,y。)在双曲线2X2a2y_b2(a 0,b 0)上,则过F0的双曲线的切线方程是XoXyoy 1证明：求导可得：2y2ya bx27.()若 Fo(xo,yo)在椭圆ayx b2，切线方程yyoayo型(x Xo)yoaXoX2ayoyb2XoXyy证明

9、：设 P(x, yi), P(X2,y2) Po在 h、I2 上X1Xoa过P1, P2方程竽a1外，则过点yyoV则过Po作椭圆的两条切线，切点为Pl、P2,则切点弦Pl巳的直线方P、P2切线分别为XzXoy2yo2a bll :X1Xyiya2bX?x1,l2：yyo2b2x(2)若Po(Xo,yo)在双曲线-3a2y_b2(a o,b o)点弦P1P2的直线方程是2aXoXyyb2证明：设 P(x, y1), P(X2,y2)，则过RP2切线分别为b2 Po 在 h、12 上%y。2bXzXoa2b过RPa方程28. (1) AB是椭圆务aXoXa2y_yy1的不平行于对称轴且不过原点的

10、弦,证明：设 A(xa, yA), B(xb ,yB)K OM KAByA yB yyBXa2b2(2) AB是双曲线XbXa2Xb2a2X_2aXb2臣b22y_b2koMk ab 2 .a证明：设 A(xa, yA), B(xb ,yB)，则Kom K ab2又XA2a2 yA b2222yAyBL22LXaXb22XaXb2a2 2yyBb2Xa Xb Xa22XbYb_22ab2 a则过1,M为AB(a o,b o)的不平行于对称轴且不过原点的弦,XaXbyA yBXb2Xa2a222yyB2Xa242Xb2yAb2yB2，d OM AB2x9. (1)若 Po (xo, yo)在椭圆

11、2a证明：设中点弦交椭圆一个定点为.(2xo m)2 (2yo n)22右1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 A (m, n)，则另一个为B (2xo m,2 yoX)x2an)yoy2Xo一得: r2Xo xm2yoyn又kAB2yo2n2x0 2myoXo弦AB方程为yyo证明二：由第9题得:hop。b2 b2Xo2yab2Xo (2(x yoa2aXo) 弦AB方程为yyo(2)若p(Xo,y)在双曲线b2Xo 2 (X yoa2X 2 a证明：设中点弦交双曲线一个交点2y_b7A.(2Xo m)2(2yo n)2b22nb2Xo22m ya b2Xo (yo2(xyoa2x 1o.

12、( 1)若 po (Xo, yo)在椭圆 a证明：设弦交椭圆于p (x!, y!)，2X1a(2)2yo又K弦空2Xo方程为y2b22 mT a2nb2kABXo)21竺2 amX)b22y2b2kPP2若P)(Xo,yo)在双曲线证明：设弦与双曲线交于222 a2Xl2a2 y b22b211 . (1)过椭圆2y_b22X 2 ayy2axxo2XoyoXoyyob2XXoTa2b2Xo2 ， a yo2 匹 b22Xo 2 a1( a 0,b 0)内，则被(m, n)，则另一个Xo)2 n b2XoX2ayyb2Po所平分的中点弦的方程是XoXyo y2 yo b2B (2Xo i2Xo

13、 Xonm,2 yo n)2iyoyonb22Xi2 a2Yo_b22y_b2Pz(x2, y2)中点 S(m,n).mb22na1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2X) 2 ab2y b2 X2 aXoX2 a2 a2nya(X X2)b22(y1 y2)a2 maXomyonn ym Xo2 2即务七a bXoX2ayoyb20Fyoy了p2 2x_ y_ 1 a2 b2P(x1,yJ,P2(Xz,y2)，中点 S(m,n)2辿b2(a o,b o)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是2 X2a2yx)x22bayoyPP2(X X2)b2, 、2(y1mb2XoXoX2a匚1b2直线BC有定

14、向且证明：设两直线与椭圆交于点yoyb22na yoy2)a2mamK2 K POS na2nXoman y m Xoyoy丁，(a o, b o)上任一点A(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则kBcb2Xo2a yo(X1,yJ gy2).(常数).2Xi2X22y22XokAByiyoXiXokACX2XoXi Xoyi yoX2Xoy2yoyiyoX2Xob2y2yoXiXo b2XXoy2yo2 , aX2Xoyi2yo a展开(y“2yy2yoyi2 2yo)a(X1X2X2XoXiXo2 2(y2yoyiyy2yo)a(X1X2XiXoX2Xo2 22a

15、 yo(yi y?) 2b Xo(xX2)由题意得二x；)b2 X：)b2.2得：丄丄仝 Kbc （定值）NX a yo2 2（2）过双曲线 笃 爲1 （ao,bo） 上任一点 A（Xo,y）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两a b点，则直线BC有定向且kBC聖（常数）a yo证明：设两直线与双曲线交于点(X,y),(X2,y2)，则2yi2 2X2y22 2Xoy2b2b2b2k ykABXiyoXXob2Xoyiyo2 aVi/ky2yoX2Xob2kACX2Xoy2yo2 ayiyo(X2Xo) b2y2yoXiXiXoy22yo aX2Xoyi展开(yMyy2yiyo2 2y

16、o)ab2(X1X2(yMyoyiyy2yf)a2b2(X1X2yiy22b Xo2K BC（定值）XiX2a yo由题意得=2 2i （a b 0）的左右焦点分别为Xo yoXoXiXoX2XoXiXo) o 2、XoX2Xo ) oFi, F 2,点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点Fi PF2则椭圆的焦点三角形的面积为I PF | PF2 |2b2；1 cosS F1PF2IPF21 n，则2a.由余弦定理m22mn cos4c24a24b2 (m2 2n) 4b ,2b2(icos )mnIPFi IIPF2 |2b21 cosSf1pf21 . m n sin22 b21 cossin

17、b2tanc | yp | ,2- yp% n-2 2b tan2b2 tan； P(2学习好资料欢迎下载2(2)双曲线X2a2 y b1 (a 0,b o)的左右焦点分别为Fi ,F 2,点P为双曲线上异于顶点任意一点则双曲线的焦点三角形的面积为IPFi IIPF2 |2b21 cosS F1PF2证明：设 | PR | m,| PF2 |2mn2 2mn cosn,I m4c2n I 2a4a24b22b2mn( cos1)IPFi IIPF21(m n)22b21 cos4b2 ,SVR pf21 mn2sinsincos 1b2 b2cot2 c|yp|,b2- ypccot 22 y

18、 b2Xp-Jc2cb2 tan2 2P(RPF2,Fi, F 2是焦点，PF1F2PF2F,则actan co t .ac2 2证明：设IPFIA I PF21 r2r122a ,12aI F1 F2 Ic2si n-cos-cos-又r1r2sin sin222F1F2Isi n()2si n-cos-cos-222上异于长轴端点的任一点1 ( a b 0)213 . (1) 若 P为椭圆笃acoscossin sin2222coscossin sin22221 tan tan2 21 tan tan 2 2由、得：tan ta n 2 22 2(2)若p为双曲线x2a2 b2a ca c

19、1 (a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点,PRF2PF2F证明：设P在左支,c a/ _(X c a，贝Utan cot (或c a 22 c atan cot )2 2IPF2I PF I 2a, IFF2I 2cI PF2 I I PF I aI F F21 cIPF2I IPFI吋2丨sin sin2sincos2 2sin2sin( )2sincos2 2si n 2sin cos sincos-2 2 2 21 tancot 2 2sin cos sincos2 2 2 21 tan cot2 21 tancot 由、得：a 2_2c 1 tanc

20、ot 2 2c atan cotc a 22同理，P在右支时，邑卫 tan cot- c a 222 214 .(1)椭圆务占1(a b0)的焦半径公式:a2 b2IMF1 I aeXo，IMF21 a exo.(F( c,0) , F? (c,0) ,M(Xo，y。).学习好资料欢迎下载证明：椭圆上点2M到左右准线距离 dX)a , d2c2Xo，| MFi | a ex) c| MF2 | a exo22(2)双曲线 与 yr 1 (a0,b0)的焦半径公式：(R( c,0) , F2(c,0) , M(Xo,y。) a b| MFi | (ex) a) ,| MF2 |(e& a).证明

21、：若M在右支，则M到左准线距离di2aXo，&2d2Xo，I MFi I die exjaIMF2 I exj a&2c2c若M在左支，则diX0， d2ax)，I MFi I diea ex0I MF2 Ia ex022ccXi5 . ( i) P为椭圆弋yTi ( a b 0 )上任一点，Fi、F2为左、右焦点，A为椭圆内一定点，ab当X) o时，取“ + ”当X) 0时，取“一”.2a |AF2|PA| |PFi | 2a | AFi |,当且仅当 A,F2,P三点共线时，等号成立 证明：若A、F2、P不共线，在厶 APF2 中 |PA| IAF2IIPF2I | PA| | AF2 |

22、 | PF 2|苛- IPF2 |IAF2I|PA|IPF2| AF2|，2a | AF2 |PA| 門| 2a |AF2|当A、P、F2共线时取等号.2(2) P为双曲线二 a| AF2 | 2a |PA|2厶 1 (a 0,b 0) 上任一点 尸戶为左、右焦点，A为双曲线内一定点，则 b|PFi |,当且仅当A,F2,P三点共线且 P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.|PA| IPF2 |，I : y k(xaI PFi | | PF2 |证明：若A、P、F2不共线，在 VAPF2 中 IAF2I |PA| | PF2 | | AF2 | | PA |二 IAF2 | 2a |PA| |

23、 PFi |当且仅当P和A、F2在y同侧且共线时，|AF2|此时 I AF2 I 2a I PA I I PFi I2 2i6 . (i)椭圆2 yr i (a b 0) 上存在两点关于直线a b分析:该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线2xdz 22 2 0,b 0)上存在两点关于直线I : yz 22 2k(x Xo)对称的充要条件是xo2 理詁a b k证明：该问题等价于在双曲线找两点，过这两点直线li，斜率为i，其中垂线I为y k(x xo)，则 k2 2 22 (a b )a b k设l1方程为y2xx mk ky 代入弋 a2 y b22 2 2 2 2 2 得(b k a )

24、y 2mb k y2、2a b 02 22mbk_中占为2 jI 八、丿-7amb2k2b2k2 a22 2mk(a b )得 X02 2 2 1b k ay1 y2 蔽则I可以写成y，即x0/ mka2(2 22 ,2 2b k a b kmka24 、k(x 2 22)代入b k a2 2 2 2 2m k (a b )(b2k2 a2)2其中4m2b2k44b2(k2 m2mb2k22 )a(Xo,O)2 2 2 2、 a )(b k a )a2 b2k2十代入，得2X02 2 2(a b )x17 . (1) P是椭圆 y证明：P(acos ,bsinacos(a b 0) 上一点,则

25、点 P对椭圆两焦点张直角的充要条件是二(a cos2 2 a cosc)(acos2.2 .c b sinbsin uuiv ),F1Pc)2(acos b2 sin2又 cos21 sin2,a2(1 sin211 sin2x(2)P是双曲线y证明：设P(asec,bta n设焦半径为uuuu二 PC1uuuurPC2C, c20，即2 2 a secb2 tan22X18 . (1 )已知椭圆X2a2y b2贝AB I =|CD证明：设直线方程为y2bkx2y_b2UJUVc,bsin ) , F2P (acos1c2 b2 sin21 e2asec (a0,b0)上一点，则点b tan)，双曲线方程为a2 b2,焦点 G(c)(asec(a seca2 (ta n2c,bsin11 sinUUVUUUVF1PF2PPF.011 t