苏教版高中数学必修二提高 平面上两点间的距离及点到直线的距离

1、精品文档用心整理平面上两点间的距离及点到直线的距离：【学习目标】1.掌握平面上两点间的距离公式.2.掌握平面上连结两点的线段的重点坐标公式.3.能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题.【要点梳理】要点一：两点间的距离公式两点p(x，y)，p(x，y)间的距离公式为111222pp=(x-x)2+(y-y)2.122121要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点二：点到直线的距离公

2、式a2+b2.点p(x，y)到直线ax+by+c=0的距离为d=00ax+by+c00要点诠释：（1）点p(x，y)到直线ax+by+c=0的距离为直线上所有的点到已知点p的距离00中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点三：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；距离公式：直线ax+by+c=0与直1a2+b2.线ax+by+c=0的距离为d=2c-c21资料来源于网

3、络仅供免费交流使用精品文档用心整理要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式d=|c1-c2|+ba22时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一：两点间的距离例1已知直线l过点p（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0，l2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程【答案】y=1或x=3【解析】设直线l与直线l1、l2分别交于点a（x1，y1）、b

4、（x2、y2），则12两方程相减，得(x1x2)+(y1y2)=5，由已知及两点间距离公式，得(x1x2)2+(y1y2)2=25，x+y+1=01x+y+6=02，由解得或111x-x=5x-x=0122y-y=0y-y=522，又点a（x1，y1）、b（x2，y2）在直线l上，因此直线l的斜率为0或不存在，又直线l过点p（3，1），所以直线l的方程为y=1或x=3【总结升华】从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的举一反三

5、：【变式】如图，直线l上有两点a、b，a点和b点的横坐标分别为x1，x2，直线l方程为y=kx+b，求a、b两点的距离【答案】|ab|=(1+k2)(x-x)2=1+k2|x-x|2121例2已知函数f(x)=小值时x的值x2-2x+2+x2-4x+8，求f(x)的最小值，并求取得最资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】4，103【解析】将函数表达式变形为：f(x)=(x-1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2，可以看作p（x，0）到点a（1，1）与到点b（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点p，使|pa|+|pb|最小f(x)=x2-2x+2+x2-4x+8=(x-

6、1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2它表示点p（x，0）到点a（1，1）的距离加上点p（x，0）到点b（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点p（x，0）与点a（1，1）、b（2，2）的距离之和的最小值由下图可知，可转化为求两点a（1，1）和b（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值f(x)的最小值为(1-2)2+(-1-2)2=10再由直线方程的两点式得ab的方程为3xy4=0令y=0，得x=44当x=时，33f(x)的最小值为10【总结升华】本例中，由“x2-2x+2=(x-1)2+(0-1)2”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“f(x)”的几何意义，利用图形的形象直

7、观，使问题得到简捷的解决举一反三：【变式】试求f(x)=(x+1)2+1+(x-2)2+4的最小值【答案】32【解析】f(x)=(x+1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2，它表示点p（x，0）到点a（1，1）的距离加上点p（x，0）到点b（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点p（x，0）与点a（1，1）、b（2，2）的距离之和的最小值可转化为求两点a（1，1）和b（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值f(x)的最小值为(-1-2)2+(-1-2)2=32类型二：点到直线的距离资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理(例已知在abc中，a（1，1），bm,m)时，ab

8、c的面积s最大？，c（4，2）（1m4），求m为何值【答案】94【解析】以ac为底，则点b到直线ac的距离就是ac边上的高，求出s与m之间的函数关系式a（1，1），c（4，2），|ac|=(4-1)2+(2-1)2=10又直线ac的方程为x3y+2=0，点b(m,m)到直线ac的距离d=|m-3m+2|10，m-11s=|ac|d=|m-3m+2|=2213212241m4，1131m2-m-，22232111320m-，s=-m-，2424239当m-=0，m=时，s最大249故当m=时，abc的面积最大4【总结升华】利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的

9、高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论举一反三：【两直线的交点与点到直线的距离381525要点（二）中的例1】【变式1】l过点m(-2,1)，且与点a(-1,2)，b(3,0)的距离相等，求直线l的方程【答案】y=1x+2y=0【解析】法一：直线l过ab的中点（1，1），所以l的方程为y=1资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理直线l/ab，则设l的方程为y-1=k(x+2)则k=-1，所以l的方程为：x+2y=02法二：由题意知直线l的斜率存在，设l的

10、方程为y-1=k(x+2)，则a、b两点到直线l的距离|k-1|1+k2=|5k+1|1+k2解得：k=0,k=-12所以l的方程为：y=1和x+2y=0【变式2】若点p（a，b）在直线x+y+1=0上，求a2+b2-2a-2b+2的最小值【答案】322例4已知直线l1：2x+y4=0，求l1关于直线l：3x+4y1=0对称的直线l2的方程【答案】2x+11y+16=03x+4y-1=02x+y-4=0【解析】解法一：由，得直线l1与l的交点为p（3，2），显然px-2348，解得b,-32+x0+40+y0-1=0也在直线l2上在直线l1上取一点a（2，0），又设点a关于直线l的对称点为b（

11、x0，y0），则y-040=05522故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0解法二：设直线l2上一动点m（x，y）关于直线l的对称点为m(x,y)，则x-x3x+xy+y25，解得y=y-y4=3+4-1=02225x=7x-24y+6-24x-7y+8显然m(x,y)在l1上，故27x-24y+6-24x-7y+8+-4=0，即2x+11y+16=0，2525资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】（1）（2，5）（2）11,26精品文档用心整理这便是所求的直线l2的方程【总结升华】求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或

12、两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程一般地，当对称轴的斜率为1时，求p（x0，y0）的对称点q，只需由对称轴方程解出x，再用y0代替y，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标举一反三：【变式】（1）求点p（x0，y0）关于直线xy+c=0的对称点坐标；（2）求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：x+y3=0的对称直线l3的方程【答案】（1）（y0c，x0+c）；（2）bx+ay3a3bc=0例5在直线l：3xy1=0上求一点p，使得：（1）p到a（4，1）和b（0，4）的距离之差最大；（2）p到a（4，1）和c（3，4）的距离之和最小77【解析】设b

13、关于l的对称点为b，ab与l的交点p满足（1）；设c关于l的对称点为c，ac与l的交点p满足（2）事实上，对（1），若p是l上异于p的点，则）|pa|-|pb|=|pa|-|pb|ac|=|pa|+|pc|（1）如图1所示，设点b关于l的对称点b的坐标为（a，b），akbbk=-1，即3b-4=-1，l,，且在直线l上，又由于bb的中点坐标为a+3b12=0ab+4223ab+4-1=0，即3ab6=022解得a=3，b=3，b（3，3）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理于是直线ab的方程为y-1x-4=3-13-4，即2x+y9=0（2）如图2所示，设c关于l的对称点为c，求出c

14、的坐标为,ac和l交点坐标为p,故p点坐标为11,【答案】p59,、q0,x-2y+2=024解由l的直线方程与ab的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l与ab的交点坐标为（2，5），所以p（2，5）32455ac所在直线的方程为19x+17y93=011267777【总结升华】由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l上求一点，使这点到两定点a、b的距离之差最大的问题，若这两点a、b位于直线l的同侧，则只需求出直线ab的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若a、b两点位于直线l的异侧，则先求a、b两点中某一点（如a）关于直线

15、l的对称点a，再求直线ab的方程，再求它们与直线l的交点即可对于在直线l上求一点p，使p到平面上两点a、b的距离之和最小的问题可用类似方法求解举一反三：【变式】已知点m（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点p和q，使mpq周长最小7242【解析】由点m(3,5)及直线l，可求得点m关于l的对称点m(5,1)同样容易求得1点m关于y轴的对称点m(-3,5)据m及m两点可得到直线mm的方程为21212x+2y-7=0，x+2y-7=059解方程组，得交点p,，令x=0，得到mm与y轴的交点127q(0,)2资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理类型三、两平行直线间的距离例6求

16、直线l:2x+3y-1=0与l:4x+6y-5=0的正中间平行直线方程.12【答案】4x+6y-7=0.2【解析】直线l的方程化为4x+6y-2=0.设正中平行直线的方程为4x+6y+c=0，142+62=，即|c+2|=|c+5|，解得c=-.所以正中间平行直线方程为42+62则|-2-c|-5-c|724x+6y-7=0.2【总结升华】先化一次项系数为相同，巧设正中间平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线l:ax+by+c=0，l:ax+by+c=0的正中平行直线1122方程为ax+by+(c+c)/2=0.12例7两条互相平行的直线分别过点a（6，2）和b（3，1

17、），并且各自绕着a、b旋转，如果两条平行直线间的距离为d（1）求d的变化范围；（2）当d取最大值时，求两条直线的方程【答案】（1）(0,310；（2）3x+y20=0和3x+y+10=0【解析】（1）当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=3，则它们之间的距离为9当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y2=k(x6)，l2：y+1=k(x+3)，即l1：kxy6k+2=0，l2：kxy+3k1=0k2+1=d=|3k-1+6k-2|3|3k-1|k2+1，即(81d2)k254k+9d2=0kr，且d0，d0，=5424(81d2)(9d2)0，即0d310且d9综合可知

18、，所求的d的变化范围为(0,310（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于abab=2-(-1)而k1=，6-(-3)3所求的直线的斜率为3故所求的直线方程分别为y2=3(x6)和y+1=3(x+3)，即资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理3x+y20=0和3x+y+10=0【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程举一反三：【变式】已知直线l1：2xy+a=0（a0），直线l2：4x+2y+1=0和直线l3：x+y1=0，且l1与l2的距离是7105【答案】（1）a=3（2）p,918（1）求a的值；（2）能否找到一点p，使得p点同时满足下列三个条件：p是第一象限的点；p2点到l1的距离是p点到l2的距离的1；p点到l1的距离与p点到l2的距离之比是25若能，求p点坐标；若不能，请说明理由137【解析】（1）直线l2即2x-y-12=0，l1与l2的距离d=1|a-(-)|222+1=7510解得a=3（2）能找到点p，使得p点同时满足三个条件设点p(x,y)，若p点满足条件，00则p点在l1、l2平行的