苏教版高中数学必修四知识讲解_同角三角函数的基本关系式_基础

1、精品文档用心整理同角三角函数基本关系：【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:sin2a+cos2a=1,sinacosa=tana，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(2)商数关系：sinacosa=tana(3)倒数关系：tanacota=1，sinacsca=1，cosaseca=1要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(

2、2)sin2a是(sina)2的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：sin2a=1-cos2a，cos2a=1-sin2a，12sinacosa=(sinacosa)22商数关系式的变形sina=cosatana，cosa=sinatana。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值4例1若sina=-，且a是第三象限角，求cosa，tana的值。5【思路点拨】由sina求cosa，可利用公式sin2a+cos2a=1，同时要注意角所在的象限。【答案】-3453【解析】si

3、na=-45，a是第三象限，43cosa=-1-sin2a=-1-=-，255资料来源于网络仅供免费交流使用tansin454cos533精品文档用心整理。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知sin35，求cos，tan的值。【解析】因为sin350，所以是第三或第四象限角。3162由sin+cos2=1得1sincos2212525。当是第三象限角时，cos0，于是

4、cos164255，从而tansin353cos544；当是第四象限角时，cos0，于是cos164255，从而tansin353cos544。类型二：利用同角关系求值【同角三角函数关系公式385948例2】例2已知：tancot2,求：（1）sincos的值；（2）sincos的值；（3）sincos的值；（4）sin及cos的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）122222,（2）2（3）0（4）或,2222【解析】（1）由已知2sincos2sincossincos12sincoscossin22资料

5、来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（2）(sinq+cosq)2=1+2sinqcosq=1+1=2sinq+cosq=2（3）(sinq-cosq)2=1-2sinqcosq=1-1=0sinq=cosq=sinq=-cosq=-sinq-cosq=0sinq+cosq=2（4）由，解得sinq-cosq=022或222222【总结升华】本题给出了sinq+cosq,sinq-cosq及sinqcosq三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了sin2q+cos2q=1这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知sina-cosa=2，求下列各式的值：（1）tana+cota

6、；（2）sin3acos3a。2两边平方得sinacosa=-【解析】由sina-cosa=1。2（1）tana+cota=sinasin2a+cos2a1+=-2。cosasinacosasinacosa（2）sin3a-cos3a=(sina-cosa)(sin2a+sinacosa+cos2a)no=(sia-cas2)o)+(1asinac=s。2【同角三角函数关系公式385948例3】1例3已知：tanq=-，求：2（1）sinq+cosqsinq-3cosq；-+1【解析】（1）原式=2=-371+2sinqcosq（2）；sin2q-cos2q（3）2sin2q-3sinqcos

7、q-5cos2q。1tanq+11tanq-312(sinq+cosq)(sinq-cosq)sinq-cosq=tanq+1（2）原式=（3）原式=(sinq+cosq)2sinq+cosq=2sin2q-3sinqcosq-5cos2qsin2q+cos2q1=-tanq-13资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理=2tan2q-3tanq-5tan2q+12+-542151312=-+14【总结升华】已知tana的值，求关于sina、cosa的齐次式的值问题如（1）、（2）题，cosa0，所以可用cosna（nn*）除之，将被求式转化为关于tana的表示式，可整体代入tana=m

8、的值，从而完成被求式的求值；在（3）题中，求形如asin2a+bsinacosa+ccos2a的值，注意将分母的1化为1=sin2a+cos2a代入，转化为关于tana的表达式后再求值。举一反三：【变式1】已知tanatana-1=-1，求下列各式的值.sina-3cosa(1);sina+9cosa(2)sin2a+sinacosa+2【解析】tana=12,sina-3cosatana-35=-;sina+9cosatana+919sin2a+sinacosatan2a+tana13sin2a+sinacosa+2=+2=+2=.sin2a+cos2atan2a+15类型三：利用同角关系化

9、简三角函数式例4化简：（1）1-2sin10cos10sin10-1-sin210；（2）若3p2a2p，化简1-cosa1+cosa+。1+cosa1-cosa【思路点拨】把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。【解析】（1）原式=(cos10-sin10)2sin10-cos210（2）3p2|cos10-sin10|cos10-sin10=-1。=sin10-cos10sin10-cos10a2p，sina0，(1-cosa)2(1+cosa)2原式=+(1+cosa)(1-cosa)(1-cosa)(1+cosa)s|c(1-cosa)2(1+cosa)2|1-coa|+1aos

10、|=+=+nssin2asin2a|sia|ain|资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理原式=-1-cosasina0，1+cosa2-=-sinasinasina。【总结升华】解答此题目常用的方法有：（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2a+cos2a=1，以降低函数次数，达到化简的目的。举一反三：【变式1】化简q2kp-,2kpkz；（1）1-2sinqcosqsinq-co

11、sq,p2例5求证：（1）sinq(1+tanq)+cosq(1+1（2）1-sin22-1-cos22；【答案】（1）1（2）-cos2-sin2(sinq-cosq)2|sinq-cosq|【解析】（1）原式=-1sinq-cosqsinq-cosq（2）原式=cos22-sin22=|cos2|-|sin2|=-cos2-sin2类型四：利用同角关系证明三角恒等式11)=+tanqsinqcosq；（2）cosasina2(cosa-sina)-=1+sina1+cosa1+sina+cosa。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【证明】

12、（1）左边=sinq1+cosq1+=sinq+cosqsinqsinqcosqsin2qcos2q+cosqcosqsinqsin2q+cos2qsin2q+cos2q11+=+=右边，sinqcosqsinqcosq原等式成立。（2）左边=cosa+cos2a-sina-sin2a(cosa-sina)(1+sina+cosa)=1+sina+cosa+sinacosa1+sina+cosa+sinacosa2(cosa-sina)(1+sina+cosa)1+sin2a+cos2a+2sina+2cosa+2sinacosa=2(cosa-sina)(1+sina+cosa)(1+sin

13、a+cosa)22(cosa-sina)=右边，1+sina+cosa原等式成立。【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。举一反三：资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】求证：cosx1+sinx=1-sinxcosx精品文档用心整理.左边=cosx(1+sinx)【解析】证法一：由题意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0.cosx(1+sinx)1+sinx=右边.(1-sinx)(1+sinx)cos2xcosx原式成立.证法二：由题意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0.又(1-sinx)(1