平面向量应用举例练习题(含答案)

1、学习好资料欢迎下载 平面向量应用举例练习题 、选择题 1. 一物体受到相互垂直的两个力f1 f2的作用，两力大小都为 5 3N,则两 56 D. 2 个力的合力的大小为（） A . 10 3NB . ON C . 5.6N 2. 河水的流速为2m/s, 艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸， 则小船在静水中的速度大小为（） A . 10m/s B . 2 26m/s C . 4,6m/s D . 12m/s 3 . （2010 山东日照一中）已知向量 a= （x1, y1）, b= （x2, y2）,若|a匸2, |b| = 3, ab=-6,则鑿的值为（ 5- 6 - D. 5-

2、 6 G 2- 3 - B 2 一 3 A 4已知一物体在共点力F仟（Ig2 , Ig2）, F2= （Ig5, Ig2）的作用下产生位移 S =（2lg5,1），则共点力对物体做的功 W为（） A. Ig2B. Ig5 C. 1D. 2 5在 ABC所在的平面内有一点 P，满足PA+ PB+ PC = Ab，则 PBC与 ABC的面积之比是（） 厂2,3 C.3D.4 6. 点P在平面上作匀速直线运动，速度 v = (4,- 3),设开始时点P的坐标 为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s,长度单位：m)() A . (-2,4)B. (-30,25) C . (10,-

3、 5) D. (5, - 10) 7. 已知向量a, e满足：a e, |e|= 1,对任意t R，恒有|a-te| |a- e|,则 () A. a丄eB. a丄(a- e)C . e(a- e)D . (a+ e)丄(a-e) 8 .已知 匸 1, OB匸 3, OA丄OB,点 C 在/ AOB 内，/ AOC = 30 设OC 学习好资料欢迎下载 =mOA+ nOB,则 m =() A.3B. 3C. 3,3D.33 二、填空题 9. 已知a= (1,2), b= (1,1),且a与a+ 2b的夹角为锐角，则实数 入的取值范 围是. 10. 已知直线ax+ by+ c= 0与圆0: x2

4、 + y2= 4相交于A、B两点，且|AB| = 2 近，则 OAOB =. 三、解答题 11. 已知 ABC是直角三角形，CA= CB, D是CB的中点，E是AB上的一 点，且 AE = 2EB. 求证：AD丄CE. 12. A ABC是等腰直角三角形，/ B = 90 D是BC边的中点，BE丄AD，垂 足为E,延长BE交AC于F，连结DF,求证：/ ADB = / FDC. 13. (2010江苏,15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1, 2), B(2,3), C(-2, 1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； 设实数t满足(ABtOC)Oc=o,求

5、t的值. 14. 一条宽为.3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头 A、B, 已知AB= 3km,船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安 排航行速度可使它最快到达彼岸 B码头？用时多少？ 1 15. 在?ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=3BD，求证： M , N, C三点共线. 16. 如图所示，正方形 ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形, 用向量方法证明FA= EF. 学习好资料欢迎下载 17. 如图所示，在厶ABC中，AB = AC, D是BC的中点，DE丄AC, E是垂足, F是DE的中点，求证AF丄BE. 学习好资料

6、欢迎下载 平面向量应用举例参考答案 1. 答案C 解析根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为.2X 5.3 = 5.6(N). 2. 答案B 解析设河水的流速为vi,小船在静水中的速度为V2，船的实际速度为v, 则 |vi|= 2, |v|= 10, V 丄 V1. V2= v vi, v vi= 0, |V2|= :v2 2v vi + v2= ：100 0 + 4= 104= 2： 一：26. 3. 答案B 解析 因为|a|= 2, |b|= 3, 又 a b= |a|b|cosa, b= 2X 3Xcosa, b= 6,可得cosa, b= 1.即a, b为共线向量且反向，又|a|

7、 = 2, |b|= 3,所以 有 3(xi, yi)= 2(x2, 2 yi = 3丫2, 所以 2 xi + yi 3(x2+ y2) X2 + y2X2 + y2 3, 从而选B. 4. 答案D 解析 W= (F1 + F2) S= (lg2 + lg5,2lg2) (2lg5,1) = (1,2lg2) (2lg5,1) = 2lg5 + 2lg2 = 2,故选 D. 5. 答案C 解析 由PA+ PB+ PC = Ab,得PA+ PB+ EBA+ PC= 0,即PC = 2AP,所以点 P是CA边上的三等分点，如图所示.故 Spbc PC 2 Sabc AC 3 6. 答案C 解析5

8、 秒后点 P 的坐标为：(一10,10)+ 5(4, 3) = (10, 5). 7答案C解析由条件可知|a te|2 |a e|2对t R恒成立，又v |e| = 1, 学习好资料欢迎下载 t2 2aet+ 2a e 1 0 对 t R 恒成立，即 = 4(a e)2 8a e + 40, 5+ 3 20, 3.当 a 与 a+ /b 同向时，a+ 2b= ma(m0), 即(1+ 入 2+ /= (m,2m). 1 +/= m/= 05 -，得， 5且入工0. 2+ /= 2mm= 13 解析 V |AB| = 2 3, |OA|= |OB|= 2,AOB= 120. OA OB= |OA

9、| | OB| cos120 = 2. 三、解答题 11. 证明以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设 AC = a, 则 A(a,0), B(0, a), D 0, 号,C(0,0), E fa, 2a . AD = a, 3a， / AD ce= a- 2 + a 1 - - 3 a a= 0,二 AD 丄CE. 12. 证明如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设 欢迎下载 学习好资料 A(0,2), C(2,0),则 D(1,0), AC= (2, - 2) 菲=3,3, cos/ ADB = DA DB 犬 |DA| |DB| 5 cos/ FDC =

10、呼冷, IdFiidCi 5 设 AF = 2AC, 则 BF= BA+ AF= (0,2)+ (2 入-21) = (2 入 2-21), 又 DA= (- 1,2) 由题设 BF 丄 DA,二 BF DA= 0, 2 + 2(2- 21= 0,二 1= |. DF = BF-BD = 3, 2，又DC = (1,0), 又/ ADB、/ FDC (0, n) / ADB= / FDC. 13. 解析 由题设知 AB= (3,5), AC= (- 1,1),则AB + AC= (2,6), AB- AC =(4,4).所以 AB+ AC| = 2.10, |AB-AC|= 4 2. 故所求的

11、两条对角线长分别为 4,2和2 10. (2)由题设知 OC= (-2,- 1), AB- tOC= (3 + 2t,5 +1). 由(AB tOC) OC = 0,得(3 + 2t,5 +1) (-2,- 1) = 0,从而 5t=- 11,所以 t 11 =-5. 14. 解析如图所示，设AC为水流速度，Ad为航行速度，以AC和AD为 邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意AC丄AE,在 RtAADE 和?ACED 中, 学习好资料 欢迎下载 |DE匸 |AC|= 2, |AD| = 4, / AED = 90二 殖|AD|2-|DEf= 23, 1 sin/EAD

12、= 2，EAD= 30 用时 0.5h. 答：船实际航行速度大小为 4km/h，与水流成120角时能最快到达B码头, 用时半小时. 15. C 证明 MN = BN BM. 因为BM=2bA, bN=bd = *（BA+ Bc），所以 MN=1Ba+Bc-2ba, =bc-!a.由于mc=BCbm=bC-ba, 3625 可知MC = 3MN，即MC/ MN.又因为MC、MN有公共点 M，所以M、N、C 三点共线. 16 分析本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标 来解决，为此只要写出pA和 EF的坐标，证明其模相等即可. 证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 a,则 A(0, a).设 DP匸 X 0),则 F 富入 ), P 警入E， 学习好资料欢迎下载. 所以EF =孑入a,#入，PA=乎人a自， 因为|EF|2= ；: 2aMa2, I阮|2=卡一2a Ha2,所以 |PA|, 即 FA= EF. 17. D C 证明t AB = AC,且D是BC的中点， 二 AD丄 BC,二 AD BD = 0.又DE丄 AC, /. DE AE = 0. BD= DC, F 是 DE 的中点，二 EF = 2De. AF Bl= (AE+EF)