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文档简介

1、名师推荐精心整理学习必备 第三节：基本不等式 1、基本不等式： （1）如果a、b是正数，那么冬尹兰Tab （当且仅当a=b时取“二”） （2） 对基本不等式的理解：a0, b0, a,b的算术平均数是a+b/2, 几何平均数是_b. 叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、基本不等式的推广： （1）若aR，则a2Z0, a 0（当且仅当a=0时,取=） （2）若a,b R,则a2 b2 _ 2ab（当且仅当a 时取等号）. （3）若a,b R ,则a b_2 .ab（当且仅当a =b时取等号）. 22 F2 （4）若a,bR+,则a +ba+bi（当且仅当a=b时取 2I 2丿

2、 等号）. 注意：用基本不等式求最值的要点是：一正、二定、三相等 三个正数的均值不等式： a 3 abc. aia2 .an n n个正数的均值不等式: 3、四种均值的关系 a2 .an 两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之 间的关系是：兰廊兰匕訂0注 1 +12 V 2 a b 4.最值定理 设 x0,y0,由 x+y 2 xy （1） 若积xy=P（定值），则和x+y有最小值2如; （2）若和x+y=S（定值）,则积xy有最大值 12丿 即:积定和最小，和定积最大 （不等式的证明） 例1、证明基本不等式宁色 ab （跟踪训练）已知a,b都是正数 ,求证：-2. a

3、b 一己矢口口 2 求1证：口 H -4. 例2、 己知 （跟踪训练） 2,求ilH : 2a 74+ 2 V2. 1 2 11 例 3、若 x0,y0,x+y=1. 求证：(1，一)(1)-9 xy （跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证 ig lg lg lg a lg b lg c. （利用基本不等式求最值） 求函數”斗乂昭+三自勺最刀、值_ 例3、汇 （跟踪训练1） .求1函娄fey = 的最刁、值. （跟踪训练2）若x、y r则x+4y=1,求x.y的最大值 十a - 例4、若正数a,b满足 一求a+b的最小值 （跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小

4、值 1 1 1 十 （跟踪训练2）设x、y均为正数，且一二一 丫 ；求xy的最小值 2 例5、若x,y,z R, x-2y+3z=0,则厶 的最小值为 xz (跟踪训练)若直线2ax by+2=0(a b 0 )始终平分圆 的周长，贝S的最小值为 a b 例6、已知a、b都是正实数，且满足川 応.： 求 4a+b的最小值 Ba - - 6 0 . (跟踪训练)设x,y满足约束条件1- 若目标函数z=ax+by 2 b (a0,b0)的最大值为12,求 的最小值 （利用均值不等式判断不等式的成立） 例7、设a0, b0,则下列不等式中不成立的是（） A. C. 1 a b -2 2 Tab a2 b 2 1 1 B. (a b)()一4 a b 2ab D.ab a + b （跟踪训练）下列不等式不一定成立的是

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