19知识梳理定积分

1、定积分 【考纲要求】 1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。 2. 正确计算定积分，利用定积分求面积。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、定积分的概念 定积分的定义：如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a XoXi Xi 1 Xi Xn b将 i (i 1,2,n)，作和式 区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间Xi 1, x上任取一点 In f( i) X i 1 nf( i)，当 n i 1 n 时，上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f(x)在 b 区间a,b上的定积分.记作 f(x)dx ,即 f(x)dx = lim aa

2、n L_af(i),这里，a与b分别叫做积分下 限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数, X叫做积分变量，f (x)dx叫做被积 式. 要点诠释： (1) 定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； (2) 用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和; 要点二、定积分的性质 取极限 (1) b kf (x)dx a b k f (x)dx a (k为常数)， (2) b a f1(x) b f2(x) dx a b f1(x)dxf2(x)dx a (3) b f(x)dx a c f(x)dx a b f (x)dx (其中 c a c b), (4) 利用函

3、数的奇偶性求积分： 若函数y f (X)在区间 b,b上是奇函数， 则 b f (x)dx b 若函数y f (x)在区间 b,b上是偶函数， 则 b bf(x)dx 0 ； b 2 0 f(x)dx. F(b) F(a),其中 F(x)叫做 f (x)的一 要点三、微积分基本定理 b 如果 F (x) f (x)，且 f (x)在 a,b 上连续，贝y f (x)dx a 个原函数.由于F(x) c f (x), F(x) c也是f(x)的原函数, 其中c为常数. 般地，原函数在 a,b上的改变量F(b) F(a)简记作F(x) a.因此，微积分基本定理可以写成形式: F(b) F(a).

4、b a f(x)dx F(x) 要点诠释： 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数 由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. 要点四、定积分的几何意义 设函数f(x)在区间a,b上连续. 在a,b上，当f(X)0时，定积分 b f (x)dx在几何上表示由曲线yf (x)以及直线x a,x b与 a x轴围成的曲边梯形的面积；如图(1) 所示. 在a,b 上，当f(X)0时, 由曲线y f (x)以及直线x a,x b与x轴围成的曲边梯形位于x轴下 方，定积分 b f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; a 在a,b 上，当f (x)

5、既取正值又取负值时，定积分 b f(x)dx的几何意义是曲线 y f (x)，两条直线 a x a,x b与x轴所围成的各部分面积的代数和.在x轴上方的面积积分时取正号， 在x轴下方的面积积 分时，取负号.如图(2)所示. 要点五、应用 (一)应用定积分求曲边梯形的面积 1.如图, 由三条直线 x a， x b (a b), x轴(即直线y g(x) 0)及一条曲线y f(X) (f(x) 2.如图, 由三条直线 X b b 0)围成的曲边梯形的面积: b 及一条曲线y f (x) (f(x) 3.如图, 由曲线 yf1(x) y 0)围成的曲边梯形的面积: b b g(x) f(x)dx ；

6、 a a， x b (a b)围成图形的面 b 积公式为：S f1(x)dx f2(x)c fi(x)dx ac f2(x)dx. a 乃 4.利用定积分求平面图形面积的步骤: (1) (2) (3) (4) x b (a b)，那么变力F(x)所作的功 b a F(x)dx. 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； 借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限; 写出定积分表达式； 求出平面图形的面积. (二)利用定积分解决物理问题 变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v v(t)(v(t) 0)在时间区间a,b上的定 b 积分，即S

7、 v(t)dt. a 变力作功 物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x a移动到 【典型例题】 类型一：运用微积分定理求定积分 例1.运用微积分定理求定积分 0 x (1) 0 (sin x cosx)dx ; (2)：(X x2 -)dx ； x (3)(cosx e )dx. 【解析】 cosx sin x) sin x cosx， 0 (sin x cosx)dx ( cosx sin x) (2)v ( 2 x2 x3 In x) 2 1(x -)dx x x2 (T In x) 5 ln2 - 6 (3)v (sin x X e ) cosx ex

8、， 0 (cosx ex )dx (sin x 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得 F (x) f (x)的原函数 F(x)。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求 F(x)，即利用求导函数与求原 函数互为逆运算。 举一反三： 【变式】计算下列定积分的值: _ 1 (1) 2 (x sinx)dx,(2)(8x 0 0 1 2 【解析】(1) o2(x sinx)dx x2 1rX9 (2) (8x x8)dx ( ) 0In8r x8 )dx cosx) 903In 2 9 【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】 例2

9、.求2x 0 【解析】 0W1 sin2xdx Jsin2 xcos2xdx sin x cos x dx sin x cosx dx sin x cosx dx 04 (cos x sin x)dx 2 (sin X cos x) dx 4 (sin x cos x) I ( cosx sin x) 3 0 0 0 1 逅1 2逅 【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止 举一反三： 【变式】计算下列定积分的值 . 3 1x(4 x)dx ; 2 3 (x 1)3dx; 【解析】（1） 3 1x(4 x)dx 3 1(4x x2)dx (2x2 2 3 4 (x 1)3dx 232

10、 1 (x3 3x2 3x 1)dx (1 x4 1 3 3x) 3 2 -x 2 20 3 2 1 14 x) 2 1(x x)dx (-x 1 :2 2x 2 In x) 12 In 2. 例3.求定积分 3 x , x 0,1 f (x)jx, x 1,2 2x, x 2,3 ，求函数 (3)1 (長)2dx f（x）在区间0,3上的积分; 【解析】 3 0 f(x)dx 2 1 f(x)dx 3 2 f(x)dx x3dx 0 Vxdx 1 3 22匕 4 x 1 2x3 2 2x 4 0 3 1 ln2 1 f(x)dx 0 3 2 4 In2 472 123 【总结升华】当被积式为

11、分段函数时，应分段积分。 举一反三： 【变式】求定积分: x 1 dx; 3 【解析】 1dx = 3 1dx + x 1dx 13 (X (1 x)dx + 1(X 1)dx 1 2 1 1 2X)|0 (2X X) |i 类型二：利用定积分的几何定义 例4.(2016河南商丘模拟 )求定积分: 24 x2dx; 【解析】设y J4 X2，则 (y 0,0 X 2)表示 由定积分的概念可知，所求积分就是 x2dx 1 4 4 举一反三: 【变式】求定积分: 2j16 X2dx 0 【解析】设y 6X2 16 (y 0,0 X 2)表示如图的曲边形, 其面积S S扇形 273, 故X2 dx

12、0 273. 类型三：利用定积分求平面图形面积 例5.(2015山东淄博一模 )如图所示，曲线y= X2 1,x= 2, 阴影部分的面积为( A. 2 (1 X 1 dx B. dx y= 0围成的 dx C. D. dx X2 dx 如下图形的 【答案】 面积相等，即0|x2 1 dx，选A. J i) i 2* 2 y= |x2- 1|的对称性，所求阴影部分的面积与 【解析】 由曲线 画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形； 找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限) 确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键； 写出表示各曲边梯形面积

13、的定积分表达式； 计算各个定积分，求出所求的面积. 【高清课堂：定积分和微积分基本定理 394577典型例题一】 【变式 1】由直线x 曲线 y -及x轴所围图形的面积为(). x 15 A . 4 17 4 C. 【解析】 121dx 2 x In x In 2 ln(1)2ln 2 2 【答案】 【变式 D 2】(2015江西宜春月考 )已知函数f(x) = X3 x2+x+ 1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x) = x2 【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤 是： (1) (2) (3) (4) (5) 举一反三： 围成的图形

14、的面积. 【解析】心上)为曲线f(x) = x3 x2 + x + 1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k, 则 k = f (1) = 3x2 2x+ 1= 2, 过点(1,2)处的切线方程为y 2 = 2(x 1), 即 y = 2x. y= 2x与函数g(x) = x2围成的图形如图：由 y X可得交点A(2,4). y 2x y= 2x与函数g(x) = x2围成的图形的面积 S 0 2x x2 dxx2 1 x3 |2 4 3 a1.8米/秒 2 刹 到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度 类型四：利用定积分解决物理问题 例6.汽车以每小时32公里的速度行驶， 车，问从开始刹车

15、到停车，汽车走了多少距离？ 【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间， 当t 0时，汽车速度v032公里/小时=32 1000米/秒8.88米/秒. 3600 刹车后汽车减速行驶，其速度为V(t) V at 8.88 1.8t. 当汽车停车时，速度 V(t) 0 , 故从V(t) 8.88到V(t) 0用的时间t 竺M 4.93秒. 1.8 于是在这段时间内, 4.93 S 0 V(t)dt 汽车所走过的距离是 4.93 0(8.88 1.8t)dt =(8.88t 1.8 1)|0.93 21.90 米. 2 21.90米才能停住. 解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应 即在刹车后，汽车需走过 【总结升华】解决实际应用问题， 的函数式. 举一反三： 【变式1】一物体在力F(x) 3x 4的作用下，沿着与 F相同的方向，从 x 0处运动到x 4处， 求力F所做的功。 4)dx (-3 x2 4x) |0 40. 44 【解析】W o