69知识梳理椭圆(提高)

1、椭圆（提咼）【考纲要求】1. 了解椭圆图形的实际背景及形成过程；2. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质;3. 掌握椭圆的简单应用；4. 理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂:椭圆及其性质404776知识要点】考点一、椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点Fi、F2的距离之和等于常数（PFiPF22a Fi F2 ），这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 要点诠释：(1 )若 PRPF2F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2 ;若PFi PF2F1F2，则动点P的轨迹无图形.（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：

2、两个定形条件 坐标的形式确定标准方程的类型。考点二、椭圆的标准方程a、一个定位条件焦点坐标，由焦点（1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:2 x 2 a2 y_ b21 (a20），其中Ca2 b2 ；（2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:2y2a1 (a0），其中C2a2 b2 ；要点诠释：（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程;（2）在椭圆的两种标准方程中，都有a b 0和c2 a2 b2 ；（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为（c,0） , （ c,0）；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为（0, C），（0,

3、c）.考点三、椭圆的简单几何性质2 2椭圆笃爲 1 (a b 0)的的简单几何性质 a b(1)范围：Xa X a, y| b y b,(2)焦点(GO)，顶点(a,0)、(0, b)，长轴长=2a，短轴长=2b，焦距=2c，(3)离心率是e2 2椭圆y X2 21(aa b(1)范围：ya(2)焦点(0,c),(3)离心率是e -b 0)的的简单几何性质y a , Xb X b,顶点(0, a)、(b,0)，长轴长=2a，短轴长=2b，焦距=2c,a考点四、椭圆图像中线段的几何特征2 2椭圆与1的图像如图所示a2 b2V*,WiK1(1)PFiBFiPF2BF22a,|PFi|PMi|P F

4、2I|P M2Ie, |PMi| | PM2I 旦 cOF1OF2 c,C， AIF2A2F1A2BPF1F2中常利用余弦定理、三角形面积公式:厶Spf1f2 i|pfJ |pFzlsinFiPF b2ta n FiPF2AB将有关线段P F1 PR PF2的关系.2考点五、椭圆令aPF2、2 y b2Fi F2 ,有关角Fi PF2 (F1PF27a2 b2 ；PFiFiBF2)结合起来,建立PR PF2、(a b 0)的区别和联系标准方程2 2歸 1(a b 0)2 2右古1(a b 0)图形焦点Fi( c,0) , F2(c,0)Fi(O, c) , F2(0,c)焦距IF1F2I 2c

5、 (c Ja2 b2)厅店2| 2c(c ja b2)范围|x| a , |y| b|x| b , | y| a2对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0) , (0, b)(0, a) , ( b,0)长轴长=2a，短轴长=2b离心率e -(0 e 1) a准线方程*2ax c2 a y c焦半径*| PFj | a ex， | PF2 | a ex|PFi | a ey , | PF21 a ey要点诠释:2 2 椭圆笃笃 a2 b22 21，詁71 （ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a bc 0 和 e （0 e a【典型例题】1）, a2=b2+c2;不同点为两种

6、椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。类型一：求椭圆的标准方程例1.求中心在原点，一个焦点为（0,5寸2）且被直线y 3x 2截得的弦AB的中点横坐标为1的椭圆标准方程.【思路点拨】 先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定a、b （定量）.【解析】方法一：因为有焦点为（0,5J2）,2所以设椭圆方程为b22y502X1(b 0)， A(X1, yj , B(X2, y2)b由b22y_50y3x所以XiX2解得b225故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程因为弦AB中点22 由a2 y2 a22X1b22X2b2所以a23b222224，消去 y 得(1

7、0b50) X 12b X 46b b 0，12b2210b2 502y752 X252 y2 a1.2Xb2M (,-),所以2 222*y222X1X2又a21(ab 0), A(xi, yi), B(X2, y2).X1X21,y1y21， kAB2. 22(X1 X2)1-2 z 2b (y1y；)0,（点差法）(y1y2)(y1y2)y1(X1X2)(X1X2)X1X2b2502故椭圆标准方程为 J752 X25【举一反三】【高清课堂：椭圆及其性质404776 例 2】【变式1】如果方程X2 ky22表示焦点在丫轴上的椭圆，求实数k的取值范围。【解析】把X2 ky222整理为标准方程

8、：22L 12k因为焦点在丫轴上,解得0 k 1【变式2】已知椭圆在X轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为4( J21）.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为2*1(a b 0),并有acJ2c，解之得c4(72 1)4/2 , b4,2 2椭圆标准方程为L 13216类型二：圆锥曲线的焦点三角形2x 例2 .已知F1、F2是椭圆a2 y b2的两焦点，P是椭圆上一点，且F1PF2求Fi PF2的面积.【思路点拨】女口图求 RPF2的面积应利用SFiPF2ApF1 I IPF2 |sin ，即 S21晁 sin2_ 2 22a ,由余弦定理有

9、r1 s【解析】设 |PF1|r1，1 PF2 1 r2 ,122a(1)依题意有212222r1r2 cos 4c .(1) 2-(2)得2甲2（1cos )4(a2 c2),即 r1r24b2关键是求订2.由椭圆第一定义有r1 r2F1PF2cos s F1PF22曲巾b2 sinCOS【举一反三】【变式1】已知椭圆的焦点是F1（0, 1）,F2（O,1）,直线y 4是椭圆的一条准线.求椭圆的方程;设点P在椭圆上，且PF,a2【答案】c 1A 4,cPF21,求 cos F1PF2.22yxd2, L一143设PRm, PF222174mnm n 215cosm2n22mn cosF1PF

10、2RFP2例3.椭圆中的几何性质已知椭圆上的点 P和左焦点F1，椭圆的右顶点 A和上顶点B，当PFjF1A , PO /AB (O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率【思路点拨】因为e-，所以本题应建立 a、c的齐次方程，使问题得以解决 a【解析】设椭圆方程为(a b 0), F1( c,0) , c2a2 b2 ,c,b2). a/ PO /AB ,二 kpokAB ,又 a, b acc.7b2 c272b,72b2【总结升华】求椭圆的离心率,即求c的比值，则可由如下方法求ae.(1)可直接求出a、c ；(2)在不好直接求出 a、c的情况下，找到一个关于 a、c的齐次等式或a、c用同一个量表示;

11、(3)若求e的取值范围，则想办法找不等关系【举一反三】【变式1】如图，椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线，交椭圆于A、uuuB两点，若椭圆上存在一点 C,使OAULUT UULTOB OC .求椭圆的离心率.设椭圆的方程为【答案】2右1 (a b0)，焦距为2c,则直线I的方程为X c,2V- 1b21X消去y得(a2 2b )x 2a2ex a2c2a2b20,设点A(Xi,yi)、b(x2, y2),则 X1 X22a2cEy1 y2 X1x2 2c2b2ca2 b2， OA + OB OC, C 点坐标为(2a2c22b c272).2 24b c-2 2z 2

12、 2b )(ab )422 c点在椭圆上，一2a c(a2a2b2.又c2b2 a2, 5c22a2.【变式2】设Fi、 F2为椭圆的两个焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，若PF1F25 P F2F1，则椭圆离心率为5 P F2F1 .【答案】如图，点P满足Ph PF2,且 PF1F2IPF1I在P F1F2中，有：sin PF2RIPF2IIF1F2Isin FrPF? PF1PF2, sin F1PF2sin 9001,22X2y令此椭圆方程为令右 1(aa2b2b 0)则由椭圆的定义有 |PF1I |PF2I 2a, | F1F2 | 2c,|P Fi| PF2IIF1F2I

13、sinP F2F1sinP F1F22csin F, PF2又PFiF2PF2F1,PF1F2750,PF2F1150,二 sinPF2F1sinPF1F2sin 750 sin1502a區24毎，即e毎7633例4.(2015浙江高考)椭圆=1 (a b 0)的右焦点F (c, 0)关于直线y上X的对称点Q在椭c圆上，则椭圆的离心率是2【答案】【解析】(m, n),由题意可得亠十 m - C b 卫丄止2 C 222 2 晋1a b由3 _ .2G CDm=,a(4e4- 4e2+1) +4e2=1,6 2 , c可得:n=空密，代入可得:2a2a解得e2可得，4e6+e2- 1=0.即 4

14、e6 - 2e4+2e4 - e2+2e2 - 1=0, 可得(2e2- 1) (2e4+e2+1) =02解得e=爭故答案为【举一反三】【变式11( 2015杭州校级模拟)已知P为椭圆1上一点，F1 ,F2是椭圆的两个焦点，/ F1PF2=60则 F1PF2的面积【答案13V3【解析1由椭圆的标准方程可得: c=4,设 |PF1|=t1, |PF2|=t2,S=a=5, b=3,同理得到点(-1,0)到直线I的距离d2ba 1)4abb(a 1)yab所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10，在F1PF2 中，/ F1PF2=60所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2 -2|PF1

15、|PF2|cos60=|F1F2|2= (2c) 2=64 ,整理可得：t12+t22 - t1t2=64 ,把两边平方得t12+t22+2t1t2=100 ,所以-得t1t2=12 , 3 PF.占t毋F1P F2=3/ .故答案为： 负.1亠 C. 乙X2y2【变式2】双曲线 J 1 (a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离 a b4与点(-1,0)到直线l的距离之和SA C.求双曲线的离心率e的取值范围.5【答案】直线I的方程为bx+ay- ab=0.由点到直线的距离公式，且a1,得到点(1,0)到直线I的距离d1, ab 2abs d1

16、 d2f12歹,4 2ab由SA c,得5 c2 2a例 5.已知 ABC 中，B( 3,0) , C(3,0) , A为动点，若 AB、AC边上两中线长的和为定值15.求动点A的轨迹方程.【思路点拨】充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点A(x, y),且y 0,则AB、AC边上两中点D、E的坐标分别为(g,)，(B2 2 2b24-c,5 即 5a Jc2 a2 2c2. 于是得 5 Je21 2e2. 即 4e4- 25e2+25 0.5解不等式，得-w e21, 所以e的取值范围是国2类型五：轨迹方程 |BE | |CD | 15,于3 3)2 (f)2

17、 15,即 J(x 9)2 y2 J(x 9)2 y2 30.从上式知，动点 A到两定点(9,0) , (9,0)的距离之和为常数 30,故动点A的轨迹是以(9,0) , (9,0)为焦点且2a 30, 2c 18, b 12的椭圆，挖去点(5,0).2 2动点 A的轨迹方程是 1( y 0).225144解法二：设 ABC的重心 G(x , y )， y 0,动点A(x, y),且y 0,2则 |GB I |GC| 15 10.3 G点的轨迹是以B(3,0) , C(3,0)为焦点的椭圆(挖去点(5,0),且 2a 10,2c 6,b 4.2 2其方程为d (11_25161( y 0).2

18、缶1(y 0)为所求.【总结升华】求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式,建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程【举一反三】【变式1】已知圆(x 4)2 y225的圆心为M1，圆(x 4)22 . .y 1的圆心为M2，动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P(x, y),动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得：IPMj R 5，|PM2 I R 1. I PM11 5 I PM2 I 1,1 PM1 I I PM2 I 4.动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，. b2=12，2 2故所求轨迹方程为I $ 1(x 2).【变式2】若动圆P与圆C : (x