艺术生高考数学专题讲义：考点19 三角恒等变换

1、1cos2cos2，1cos2sin2.配方变形：1sin(sincos)，21sin(sincos).2asinbcosa2b2sin()，其中tan.22降幂公式：cos，sin，考点十九三角恒等变换知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossin(s()sin()sincoscossin(s()cos()coscossinsin(c()cos()coscossinsin(c()tantantan()1tantan(t()tantantan()1tantan(t()2二倍角公式sin22sincos(s2)cos2cos2sin22cos2112sin2(c2)

2、2tantan21tan2(t2)3公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等常见变形如下：1cos21cos222升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin222正切和差公式变形：tantantan()(1tantan)，tantantantantantan11.22224辅助角公式bacos2155sin2155222典例剖析题型一给角求值例1(1)计算cos42cos18cos48cos72的值为_sin110sin20(2)计算的值为_11答案(1)(2)解析(1)cos42cos18cos48cos72cos42cos1

3、8sin42sin181cos(4218)cos60.(2)cos2155sin2155cos310cos50.sin110sin20sin70sin20cos20sin2021cos2155sin2155cos310cos50sin4021sin40.cos17sin47sin17cos30变式训练_答案12解析原式sin17cos30cos17cos17cos1725例2已知，sin.(1)求sin的值；(2)求cos52的值sin30cos17cos30sin17sin17cos30sin30cos171sin30.解题要点解题时先看角，观察是否有30、60、90等特殊角，或是观察能否通

4、过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.题型二给值求值2546，sin5，所以cos1sin225解析(1)因为255.故sinsincoscossin2254524425105，2(2)由(1)知sin22sincos253cos212sin2122，55525455510.2cos5cos2sin55331443362525所以cossin26610.2例3已知tan()，tan，那么tan等于_答案3解析因为，所以()，所以tantantan.22111变式训练已知cos，cos()，且，0，

5、则cos()的答案23解析0，2(0，)cos，cos22cos21，题型三利用角的凑配求值445422444443444332值等于_2721739sin21cos22429，而，0，(0，)，sin()1cos22223，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()714222239().22(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值2sin2x1，所以函数f(x)的最小正周期为t2(2)由(1)的计算结果知，f(x)2sin2x1.5当x0，时，2x，5由正弦函数ysinx在，上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值21；当2x5综上，f(x)在0，上的最大值为21，

6、最小值为0.变式训练函数f(x)3sinxcos(x)的最大值为_39327解题要点1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”22常见的凑配技巧：()()，()，22，2(2)(2)等题型四辅助角公式例4(2015安徽文)已知函数f(x)(sinxcosx)2cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；2解析(1)因为f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2x1sin

7、2xcos2x42.424444442844，即x2时，f(x)取最小值0.23答案1解析f(x)3sinxcos3cosxsin133sinx2cosx2sinxsin(x6)f(x)max1.解题要点利用辅助角公式将asinxbcosx化为asin(x)是常见的题型，转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角对于计算形如ysin(x),xa，b形式的函数最值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.当堂练习1(2015新课标理)sin20cos10cos160sin10_答案122sincos2解析sin20cos10cos16

8、0sin10sin20cos10cos20sin101sin30.sincos12若，则tan2_答案34tan12tan22tan1tan243.已知cos()，则sin(2)的值为_tan11解析由，得tan3，3，选b项3636答案13解析由cos()，得cos(2)2()21.所以sin(2)sin(2)cos(2).4若函数f(x)sin2(x)cos2(x)1，则函数f(x)是_3633133316323344周期为的偶函数周期为2的奇函数周期为2的偶函数周期为的奇函数解析f(x)sin2(x)sin2(x)12sin2(x)1cos(2x)sin2x答案44425(2015北京理

9、)已知函数f(x)2sincos2sin2.解析(1)因为f(x)222sinx(1cosx)sinx，(2)因为x0，所以3x.当x，即x时，f(x)取得最小值32所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.1已知cos，cos()，都是锐角，则cos_故正确xxx222(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值2242所以f(x)的最小正周期为2.444342442课后作业一、填空题35513答案3365解析，是锐角，0，又cos()0，0，(0，)，(，)，sin()，coscos()cos()cossin()sin.3答案k，k(kz)解析f(x)sin2x1143

10、2612434442224324444444611(2015浙江理)函数f(x)sin2xsinxcosx1的最小正周期是_，单调递减区间是_881cos2x1222233sin2x，t，由2k2x2k，kz，解得24222428kxk，kz，3k，7k，kz.单调递减区间是12(2015重庆理)已知函数f(x)sinxsinx3cos2x.7888二、解答题2(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在26，3上的单调性2sinx3cosx解析(1)f(x)sinx231333(1cos2x)sin2xcos2xsin2x，cosxsinx222232因此f(x)的最小正周期为，最大值为.2(2)当x，时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减55261212，