高中数学题型全面归纳不等式的综合

1、第五节不等式的综合命题趋势探究1. 从内容上看，不等式经常作为一种工具与函数和方程结合在一起，去研究函数和方程的有关题目；或利用函数和方程的理论研究不等式. 如根的分布、恒成立、解析几何中参数的取值范围问题等都是高考命题的热点内容，在高考试题中往往以综合题出现. 另外，高考试题中还常以应用题的形式考查函数、方程和不等式的综合问题.2. 从考查形式上看，选择题主要考查实数的大小比较及简单的综合问题；填空题主要考查含参数问题中参数的取值范围及函数的最值等；解答题主要是考查不等式与函数、数列、解析几何等知识的综合题目 .知识点精讲不等式经常作为一种研究函数和方程有关命题的工具，反之，利用函数和方程的

2、理论也可研究不等式，如恒成立和根的分布问题等 . 这些都是高考命题中的重点内容，往往以综合题形式出现 .题型归纳及思路提示题型 101 不等式恒成立问题中秋参数的取值范围思路提示解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图像来解决，其方法大致有：（ 1）借助函数图像或利用一元二次方程判别式来求解. 将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正（或非负）、恒负（或非正）的问题，再借助图像或判别式来求解.（ 2）分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.（ 3）变更主元，利用函数与方程的思想求解.（ 4）借助两个函数图像比较两函数值的大小. 构

3、造两个函数，并画出它们的图像，通过图像来比较两个函数值的大小，即用数形结合思想来解决恒成立问题.一、利用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到很好解决.例 7.33对于 xR，不等式 x22x3m0 ，求实数 m 的取值范围 .变式 1 若对于 xR，不等式 mx22mx30 ，求实数 m 的取值范围 .例 7.34已知函数f ( x)x22kx2 在 x1时恒有f ( x)k ，求实数 k 的取值范围 .变式1 已知函数 f (x)x lg( x2 1 x) ，若不等式 f (m 3x )f (

4、3x9x2) 0对任意 xR恒成立，求实数m 的取值范围 .二、分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题通过等价变形， 将变量与参变量从整体式中分离出来，转化为f ( x)( 或，) a恒成立问题：（ 1）若 f ( x) 在定义域内存在最大值m ，则 f ( x)a( f ( x)a) 恒成立am（或a m ）；（ 2）若 f ( x) 在定义域内存在最小值m ，则 f ( x)a( f (x)a) 恒成立am （或a m ）；（ 3）若 f ( x) 在定义域内不存在最值，只需找到f ( x) 在定义域上的最小上界（或最大下界） m ，即 f ( x) 在定义域上增大

5、（或减少）时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可取到.例 7.35当 x(1,2) 时，不等式x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是.变式 1 设函数 f ( x)x2 1对任意的 x3 ,) ， f ( x ) 4m2 f ( x) f ( x 1)2m4 f ( m) 恒成立，则实数m 的取值范围是.变式 2不等式 | x3| x1|a23a 对任意实数x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （）A.( ,14,)B.(25,)C. 1,2D.(, 12,)变式3若不等式lg(2 lg( aax)x)1在x1,2 时恒成立，试求a 的取值范围.变式 4

6、已知不等式1111 log a ( a 1)2 对于一切大于1 的自然数都n1n 22n123成立，试求实数a 的取值范围 .三、变更主元例7.36若不等式 2x1m( x21)，对满足2m2 的所有m 都成立，求x 的范围.变式1 对于满足 0p4 的所有实数p ，使不等式x2px4xp3 都成立的 x 的取值范围是（）A. (, 1) (3,)B.(13, )C. (1,3)D. 1,3例 7.37已知 f( x) 是定义在 1,1上的奇函数，且f (1) 1. 若 a, b 1,1， a b0 ，有 f (a)f (b)0 .a b（ 1）判断函数 f ( x) 在 1,1上是增函数还是

7、减函数；（ 2）解不等式 f ( x1 )f (2 x1 ) ；22（ 3）若 f (x) m 22am1 对所有 x 1,1， a 1,1恒成立，求实数 m 的取值范围 .变式 1 已知 f (x)2xaR) 在区间 1,1上是增函数 .x2( x2（1）求实数 a 的值所组成的集合A ；1的两根为 x1 ， x2 ，试问：是否存在实数m ，使得不等式（ 2）设关于 x 的方程 f (x)xm2tm 1 | xx |对任意 aA 及 t 1,1恒成立？若存在，求出m的取值范围；若12不存在，请说明理由.题型 102 函数与不等式综合思路提示对于函数不等式，要注意从函数观点出发，转化为利用函数

8、的图像和性质来解不等式.例7.38若不等式9x2k( x2)2 的解集为区间 a, b，且 ba2 ，则k.变式 1 已知函数 f ( x) 的定义域为 2, ) ，部分对应值如表7-3 ， f ( x) 为 f ( x) 的导函数，函数 yf ( x) 的图像如图 7-22所示，若两正数 a ， b 满足 f (2 ab) 1，则 b3 的a3取值范围是（）表 7-3x201f ( x)111A.(6,4)B.(3,7)7353C.(2,6)D.(1 ,3)3531xln x 在 1,) 上为增函数 .例 7.39 设函数 f ( x)ax（1）求正实数 a 的取值范围；（2）当 a1 时，

9、求证 1111ln n 1111(n N * 且 n 2) .234n23n1变式 1 已知函数 f ( x) x22xaln x .（ 1）若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上恒为单调函数，求实数a 的取值范围；（ 2）当实数 t 1时，不等式f (2 t 1) 2 f (t) 3 恒成立，求实数 a 的取值范围 .最有效训练 30（限时45 分钟）1.不等式 x2| x |20的解集是（）A. x | 2 x 2 B. x | x2 或 x 2C. x | 1 x 1D. x | x1或 x 12.已知不等式 ax 2bx10 的解集是 1 ,1 ，则不等式 x2bxa0 的解集是

10、（）23A.(2,3)B.(,2)(3,)C.(1, 1)D.(, 1)( 1 ,)32323.不等式 | xlog 2 x | x | log 2 x | 的解集是（）A.(0,1)B.(1,)C.(0,)D.(,)4.若不等式 x2ax1 0 对一切 x(0,1 成立，则 a 的最小值为（）25A.0B.2C.D.325.设函数 f ( x)x24x6, x 0 ，则不等式f ( x)f (1)的解集是（）x6, x0A.(3,1)(3,)B.(3,1)(2,)C. (1,1)(3,)D.(,3) (1,3)6.若关于 x 的不等式 (m 1)x4xx2的解集为 x | 0x2 ，则实数 m（）A.1B.1C.2D.027. 已知 x ， a ， b ， y 成等差数列，x ， c ， d ， y 成等比数列，则(ab)2的取值范围cd是.8.x2x20的整数解的集合为 2 ，则实数 k 的取值范关于 x 的不等式组(2k5)x 542x20围是.1, x09.已知符号函数 sgn x0, x0，则不等式 (x1)sgn x2 的解集是.1, x010. 已知集合 A x | x25x40 ，B x | x22ax a20 ，若 B ? A ，求实数 a的取值范围.11. 已知函数f (x)| xa |.（ 1）